As transformações das funções trigonométricas são um dos assuntos mais recorrentes no ENQ do PROFMAT. Saber identificar **amplitude**, **período**, **translações** e **reflexões** permite resolver rapidamente diversas questões. A forma geral da função seno é $$ f(x)=a+b\sin(c(x-d)), $$ ou, de forma equivalente, $$ f(x)=a+b\sin(cx-\varphi). $$ Cada parâmetro possui uma interpretação geométrica: - \(a\): translação vertical; - \(b\): amplitude (\(|b|\)); - \(c\): altera o período; - \(d\): translação horizontal. O período é dado por $$ T=\frac{2\pi}{|c|}. $$ --- # Exemplo Resolvido Construa a função \(g\) obtida a partir de $$ y=\sin x $$ aplicando, nesta ordem, as seguintes transformações: 1. Compressão horizontal de fator \(3\); 2. Reflexão em relação ao eixo \(x\); 3. Amplitude igual a \(4\); 4. Translação de \(\dfrac{\pi}{6}\) para a direita; 5. Translação vertical de uma unidade para cima. Em seguida determine: a) a expressão de \(g(x)\); b) o período e a imagem; c) o menor valor positivo de \(x\) para o qual \(g(x)=1\). --- # Solução ## Passo 1 – Compressão horizontal Uma compressão horizontal de fator \(3\) significa substituir $$ x\longrightarrow 3x. $$ Logo, $$ \sin x \longrightarrow \sin(3x). $$ --- ## Passo 2 – Reflexão em relação ao eixo \(x\) Refletir em relação ao eixo \(x\) equivale a multiplicar a função por \(-1\): $$ \sin(3x) \longrightarrow -\sin(3x). $$ --- ## Passo 3 – Amplitude igual a 4 Multiplicando por \(4\), $$ -\sin(3x) \longrightarrow -4\sin(3x). $$ --- ## Passo 4 – Translação de \(\dfrac{\pi}{6}\) para a direita Uma translação horizontal para a direita é feita substituindo $$ x\longrightarrow x-\frac{\pi}{6}. $$ Assim, $$ -4\sin\!\left(3\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right). $$ Simplificando, $$ 3\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 3x-\frac{\pi}{2}. $$ Logo, $$ -4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right). $$ --- ## Passo 5 – Translação vertical Somando \(1\), $$ g(x) = 1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right). $$ Portanto, $$ \boxed{ g(x)=1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right) } $$ --- # Período Como o coeficiente de \(x\) é $$ c=3, $$ temos $$ T=\frac{2\pi}{3}. $$ Assim, $$ \boxed{T=\frac{2\pi}{3}}. $$ --- # Imagem da função Sabemos que $$ -1\leq\sin x\leq1. $$ Multiplicando por \(-4\), $$ -4\leq -4\sin x\leq4. $$ Somando \(1\), $$ -3\leq1-4\sin x\leq5. $$ Logo, $$ \boxed{\operatorname{Im}(g)=[-3,5].} $$ --- # Menor valor positivo de \(x\) tal que \(g(x)=1\) Temos $$ 1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=1. $$ Logo, $$ \sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=0. $$ Como $$ \sin\theta=0 \Longleftrightarrow \theta=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}, $$ obtemos $$ 3x-\frac{\pi}{2}=k\pi. $$ Assim, $$ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi, $$ e $$ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}. $$ As soluções são $$ x=\frac{\pi}{6},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{6},\ldots $$ Portanto, o menor valor positivo é $$ \boxed{x=\frac{\pi}{6}.} $$ --- # Resumo A função obtida é $$ \boxed{ g(x)=1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right) } $$ com: - Amplitude: $$ \boxed{4} $$ - Período: $$ \boxed{\dfrac{2\pi}{3}} $$ - Imagem: $$ \boxed{[-3,5]} $$ - Menor \(x>0\) tal que \(g(x)=1\): $$ \boxed{\dfrac{\pi}{6}} $$ --- # Dica para o ENQ Sempre memorize o significado de cada parâmetro na expressão $$ f(x)=a+b\sin(c(x-d)). $$ - \(a\): desloca o gráfico para cima ou para baixo; - \(b\): determina a amplitude (\(|b|\)); - \(c\): altera o período (\(T=\dfrac{2\pi}{|c|}\)); - \(d\): desloca o gráfico horizontalmente. Dominar essas transformações permite resolver rapidamente boa parte das questões envolvendo funções trigonométricas no ENQ/PROFMAT.
