Números Primos e os Divisores de um Número

Você já deve ter se deparado com um problema que peça a quantidade de divisores de um número.

Por exemplo, QUANTOS SÃO OS DIVISORES POSITIVOS DO NÚMERO 432?

Para resolver esse problema usamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).

Mas primeiro devemos transformar o número num Produto de fatores primos. Assim:

432 = 2⁴.3³

Então, qualquer divisor de 432 deve ser da forma 2^m.3ⁿ, onde m = 0,1,2,3 ou 4 e n = 0,1,2 ou 3. Por exemplo, 2².3¹ = 12 e 432:12 = 36.

Existem 5 possíveis valores para m e 4 possíveis valores para n. Pelo PFC o número total de possibilidades é:

5x4 = 20

Logo, o número 432 possui 20 divisores.

Com base no que vimos podemos dizer que dado um número natural X, sendo sua forma fatorada X = 2^mx3ⁿ x5^px... Podemos dizer que o número de divisores positivos de X é dado por

(m+1)x(n+1)x(p+1)x…

 Para treinar: Quantos divisores possui o número 1800?

Números Primos e o Problema do Triângulo Retângulo

É possível que as medidas dos lados de um triângulo retângulo (numa mesma unidade) sejam todas números primos?

(um problema da RPM)

Antes de dar a solução deste problema devo lembrar um pouco dos números primos.

Na história da Matemática atribui-se a Pitágoras, filósofo e matemático grego, os primeiros estudos sobre números primos.

A palavra primo refere-se a primário e não tem relação alguma com parentesco. Os pitagóricos chamavam números “primários” todos os números naturais que não podiam ser obtidos através do produto de outros números, como é o caso dos números naturais: 2, 3, 5, 7, etc. Aos que são gerados a partir do produto de outros números eram chamados números “secundários”, como por exemplo: 12 = 2 x 6,  15= 5 x 3, etc.

Atualmente definimos,

TODO NÚMERO NATURAL MAIOR DO QUE 1 QUE É DIVISÍVEL APENAS POR 1 E POR ELE PRÓPRIO.

Veja (2, 3, 5, 7 , 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, …). Perceba que, com excessão do 2, todos  os outros números são ímpares.

Vamos ao problema!

Solução:

A resposta é não. Do teorema de Pitágoras temos a igualdade . Sendo a, b e c primos, não podem ser todos ímpares e, como e , devemos ter ou . Digamos . Teremos então:

e analisando os possíveis valores de e , que são 1, 2 ou 4, concluímos que a situação é impossível.

FONTE: Sociedade Brasileira de Matemática