Slide Equação Exponencial -

Slide sobre as Propriedades das potências e equações exponenciais.
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CAMPO ELÉTRICO - EXERCÍCIOS NUMÉRICOS de FÍSICA

Lista de exercícios de Física sobre Campo Elétrico com a solução das questões.
Os exercícios são apenas para treinar o cálculo envolvendo o campo elétrico.
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Apostila Resumida de Geometria Analítica

Boa apostila de Geometria Analítica para dar uma estudada básica.
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Geometria Analítica

O Jogo de Xadrez e a Matemática

A prática do Xadrez tem se tornado muito comum em todos os ambientes sociais. Para alguns, um simples  passatempo, para outros, uma forma de treino mental e ainda para os amantes das Ciências, Exatas ou não, uma maneira de despertar habilidades como Raciocínio lógico-dedutivo, concentração e elaboração de estratégias. Para mim, defino o jogo como exercício mental, altamente competivo e saudável.

Minha paixão particular pelo Xadrez me fez elaborar este artigo que faz uma estrita relação com as Ciências Exatas, em especial a Matemática.

Várias lendas sobre a origem do Xadrez podem ser encontradas facilmente na internet ou em livros, mas a que mais me interessou foi a de Sissa, um brâmane indiano, que havia criado o Jogo para curar o tédio de um certo rei.

 

Como recompensa à criação do enigmático jogo, o rei desejou recompensar o seu brilhante súdito com o que desejasse:

Então, Sissa se dirigiu ao Rei e pediu:

- Bondoso rei, desejo um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda casa, quatro (=2²) pela terceira, Oito (=2³) pela quarta, e assim por diante, dobrando o número de grãos na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos correspondentes (ou seja, 2⁶³).
O rei achou esse pedido muito modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:
_ Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava lhe conceder muitas riquezas, mas como é o que desejas, isso te darei. Então o rei ordenou aos seus subordinados que satisfizessem o pedido de Sissa.

Conclusão: O número de grãos que Sissa tinha pedido corresponde à fórmula 2⁶⁴-1 que é igual a 18.446.744.073.709.551.615
É um número monstruoso, na casa dos quintilhões.

Então, O rei descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era suficiente para satisfazer o pedido de Sissa. E mais, em todo o mundo conhecido na época não havia trigo suficiente para atender àquele pedido!

O valor de 2⁶⁴-1 grãos de trigo corresponde à soma da série:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... + 9.223.372.036.854.775.808.

De acordo com Jhon Wallis, matemático inglês, essa quantidade de grãos de trigo poderia encher um cubo que tivesse 9400m de aresta. Se contássemos esses grãos á razão de 5 por segundo, trabalhando dia e noite sem parar, gastaríamos nessa contagem, 1170 milhões de séculos.

(Adaptado de: TAHAN, Malba. O Homem que Calculava)

Nas séries de postagens seguintes vou publicar vários recursos matemáticos, com os quais é possível calcular esse número que corresponde à quantidade de grãos pedidos por Sissa.

Xadrez e Progressão Geométrica

Vamos inicialmente à definição:

Progressão Geométrica (P.G) é toda seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por um constante, denominado razão q da progressão geométrica.

Ex. (1, 2, 4, 8, .........) P.G infinita; razão q = 2
Para acharmos um termo qualquer de uma P.G. adota-se a seguinte fórmula: an = a₁ . q^{n - 1} , onde:
an: termo geral
a₁: primeiro termo
q: razão
n: número de termos

Portanto, no caso da lenda do xadrez fica fácil descobrir sem ter que fazer muita conta, claro que usando uma calculadora científica do quanto era grande a recompensa de Sissa, com o seguinte cálculo:
a₆₄ = 1 . 2^64-1 o que daria o mesmo valor mencionado acima para a 64^a casa do tabuleiro de xadrez.

 

E a fórmula que fornece a Soma dos termos de Uma PG, de que forma, podemos usá-la aqui?

Muito bem, consideremos q≠1 (razão da PG) e n um número inteiro positivo qualquer, temos

S = 1 + q + q² + q³ + ...+qⁿ (I)

e observemos que

qS = q + q² + q³ + q⁴ +...+qⁿ⁺¹. (II)

Portanto, subtraindo (I) de (II), obtemos

qS – S = qⁿ⁺¹ – 1, donde

Que é a fórmula da Soma que está sendo usada nos cálculos.

Os Poliedros de Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452-1519) foi o  “cara” do Renascimento por excelência: Artista, Matemático, Cientista e Engenheiro. Ele era um grande amante da Geometria e muito tempo dedicado ao trabalho com figuras geométricas. Sua realização mais notável é o “poliédrico”, que são ilustrações para Luca Pacioli (frade franciscano, 1445-1509, que é conhecido por seu compêndio de matemática do século XV, “Summa de Arithmetica, Geometrica, proportioni et proportionalita” (1494) e “De divina proportione” (1509).

O termo Ycocedron Abscisus na placa título significa icosaedro truncado. Os desenhos são feitos manualmente com uma perfeição admirável.

Vejamos algumas das figuras feitas por Da Vinci, especicamente aquelas que ilustram a Esfera, Cone, Cilindro, Pirâmide e os Sólidos Platônicos.

ESFERA

TETRAEDRO

CUBO

 

OCTAEDRO

 

ICOSAEDRO

 

DODECAEDRO

PIRÂMIDE QUADRANGULAR

 

CILINDRO E CONE

A Beleza da Matemática - Absolutamente Impressionante

 Recebi por e-mail de um amigo uma apresentação de slide muito especial. Resolvi então mostrar a todos o que se pode fazer com os números ...

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888 

Veja a Simetria

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

FORMAS

Apreciando as diversas formas




O que me encanta é a riqueza de detalhes


Dão vida às imagens.