Slide Equação Exponencial -

Slide sobre as Propriedades das potências e equações exponenciais.
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CAMPO ELÉTRICO - EXERCÍCIOS NUMÉRICOS de FÍSICA

Lista de exercícios de Física sobre Campo Elétrico com a solução das questões.
Os exercícios são apenas para treinar o cálculo envolvendo o campo elétrico.
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O Jogo de Xadrez e a Matemática

A prática do Xadrez tem se tornado muito comum em todos os ambientes sociais. Para alguns, um simples  passatempo, para outros, uma forma de treino mental e ainda para os amantes das Ciências, Exatas ou não, uma maneira de despertar habilidades como Raciocínio lógico-dedutivo, concentração e elaboração de estratégias. Para mim, defino o jogo como exercício mental, altamente competivo e saudável.

Minha paixão particular pelo Xadrez me fez elaborar este artigo que faz uma estrita relação com as Ciências Exatas, em especial a Matemática.

Várias lendas sobre a origem do Xadrez podem ser encontradas facilmente na internet ou em livros, mas a que mais me interessou foi a de Sissa, um brâmane indiano, que havia criado o Jogo para curar o tédio de um certo rei.

 

Como recompensa à criação do enigmático jogo, o rei desejou recompensar o seu brilhante súdito com o que desejasse:

Então, Sissa se dirigiu ao Rei e pediu:

- Bondoso rei, desejo um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda casa, quatro (=2²) pela terceira, Oito (=2³) pela quarta, e assim por diante, dobrando o número de grãos na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos correspondentes (ou seja, 2⁶³).
O rei achou esse pedido muito modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:
_ Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava lhe conceder muitas riquezas, mas como é o que desejas, isso te darei. Então o rei ordenou aos seus subordinados que satisfizessem o pedido de Sissa.

Conclusão: O número de grãos que Sissa tinha pedido corresponde à fórmula 2⁶⁴-1 que é igual a 18.446.744.073.709.551.615
É um número monstruoso, na casa dos quintilhões.

Então, O rei descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era suficiente para satisfazer o pedido de Sissa. E mais, em todo o mundo conhecido na época não havia trigo suficiente para atender àquele pedido!

O valor de 2⁶⁴-1 grãos de trigo corresponde à soma da série:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... + 9.223.372.036.854.775.808.

De acordo com Jhon Wallis, matemático inglês, essa quantidade de grãos de trigo poderia encher um cubo que tivesse 9400m de aresta. Se contássemos esses grãos á razão de 5 por segundo, trabalhando dia e noite sem parar, gastaríamos nessa contagem, 1170 milhões de séculos.

(Adaptado de: TAHAN, Malba. O Homem que Calculava)

Nas séries de postagens seguintes vou publicar vários recursos matemáticos, com os quais é possível calcular esse número que corresponde à quantidade de grãos pedidos por Sissa.

Xadrez e Progressão Geométrica

Vamos inicialmente à definição:

Progressão Geométrica (P.G) é toda seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por um constante, denominado razão q da progressão geométrica.

Ex. (1, 2, 4, 8, .........) P.G infinita; razão q = 2
Para acharmos um termo qualquer de uma P.G. adota-se a seguinte fórmula: an = a₁ . q^{n - 1} , onde:
an: termo geral
a₁: primeiro termo
q: razão
n: número de termos

Portanto, no caso da lenda do xadrez fica fácil descobrir sem ter que fazer muita conta, claro que usando uma calculadora científica do quanto era grande a recompensa de Sissa, com o seguinte cálculo:
a₆₄ = 1 . 2^64-1 o que daria o mesmo valor mencionado acima para a 64^a casa do tabuleiro de xadrez.

 

E a fórmula que fornece a Soma dos termos de Uma PG, de que forma, podemos usá-la aqui?

Muito bem, consideremos q≠1 (razão da PG) e n um número inteiro positivo qualquer, temos

S = 1 + q + q² + q³ + ...+qⁿ (I)

e observemos que

qS = q + q² + q³ + q⁴ +...+qⁿ⁺¹. (II)

Portanto, subtraindo (I) de (II), obtemos

qS – S = qⁿ⁺¹ – 1, donde

Que é a fórmula da Soma que está sendo usada nos cálculos.