Vamos socializar problemas e questões que podem vir no modelo do PROFMAT para a prova desse mês. Aqui vão algumas questões que tenho estudado, para quem quizer treinar, podendo postarem respostas para que possamos discutir!!
VESTIBULAR DA PUCCAMP-ITA-USP e outros
1- Adriano assistiu o treinamento de seus amigos numa pista de ciclismo e anotou o tempo que cada um deles levou para completar a prova. Veja os dados, em segundos, anotados no quadro:
362 367 382 380 360 400 370 363
A média aritmética dos tempos utilizados pelos ciclistas é (A) 6 min 13 s (B) 6 min 15 s (C) 6 min 18 s (D) 7 min 10 s (E) 7 min 20 s
2- Um veículo parte em viagem com adultos e crianças, sendo o número de adultos o dobro do número de crianças. Somente os adultos sabem dirigir. Sorteando uma dessas pessoas, ao acaso, a probabilidade de ser um homem adulto é 1/5 e a probabilidade de resultar um menino é 2/7 . Escolhendo uma pessoa do sexo masculino, ao acaso, a probabilidade de que ela possa dirigir o veículo é de:
(A) 1/5 (B) 2/7 (C) 7/17 (D) 17/35 (E) 2/3
3- No diagrama abaixo, representa-se uma pista de atletismo sobre um referencial cartesiano, cuja unidade de medida de comprimento é o metro.
A pista é composta por dois trechos retos paralelos e duas semi-circunferências de mesmo tamanho. A equação cartesiana da circunferência de abcissa positiva é:
(A) x2 + y2 + 30y + 125 = 0
(B) x2 + y2 - 30y + 125 = 0
(C) x2 - y2 + 30x + 125 = 0
(D) x2 + y2 + 30x + 125 = 0
(E) x2 + y2 - 30x + 125 = 0
4- No final do ano de 2005, o número de motocicletas licenciadas em certa cidade era de 450 e, no final de 2008, esse número passou para 690 . Admitindo-se que o gráfico do número de motocicletas em função do tempo seja formado por pontos situados sobre uma mesma reta, pode-se estimar que, no final de 2012, o número de motocicletas nessa cidade será igual a: a) 850 b) 930 c) 1010 d) 1090
5- No retângulo ABCD da figura abaixo, M é ponto médio de AD e os segmentos AC e BM se cortam em P . Além disso, sabe-se que a área desse retângulo mede 180 unidades. Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida da área do triângulo APM, em unidades de área, é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
6- Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a probabilidade de ser aceso: Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a
Hoje, os matemáticos celebram o DIA DO PI (3/14 na notação norte-americana), pois a maioria das pessoas conhece a aproximação 3,14 para o π.
O ponto forte das comemorações acontece à 1:59 da tarde, considerando 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal.
Do mesmo modo que as pessoas celebram o Dia dos Namorados ou outros dias comemorativos, pessoas (principalmente os ligados às áreas de exatas) ao redor do mundo reverenciam essa razão relacionada à circunferência e seu diâmetro e que é uma das mais belas constantes matemáticas do universo.
Só pra constar, hoje 14 de março, também é o dia do nascimento de Albert Einstein, o que agrega mais fãs das ciências exatas às comemorações.
O SOM DO PI
O músico Michael John Blake resolveu interpretar musicalmente o número Pi.
Ouça essa obra de arte!!
Ouça também a música de Kate Bush com o nome "PI". Ele canta algumas casas decimais do pi.
Como professor do Ensino Médio numa escola Estadual já conheço bem a realidade do nível de aprendizagem dos nossos alunos e do medo que sentem ao encarar um problema dos mais simples da Matemática. Não quero julgar professores nem alunos, mas há de se concordar que é muito comum nos depararmos com situações em que não dá pra encontrar explicações para verdadeiros absurdos, como algumas vezes acontece de você comprar alguma coisa e, no meu caso, o produto custar R$ 8,00 eu dou uma nota de R$ 20,00 e então o vendedor, condicionado a não pensar, ter que usar a calculadora para saber quanto deveria me dar de troco ( e lógico que chegou aos R$12,00 tão difíceis de saber hehehehehe).
Outra situação é uma certa promoção, que considero ridícula, pois na verdade passa anos e anos e nunca acaba: quando você chega para comprar e logo de cara o vendedor fala, por exemplo, “UM É R$ 3,00 E DOIS É R$ 5,00” . Ora, mas eu quero comprar só um por R$ 2,50 que seria o mais lógico, então o vendedor me diz que “não, mas aqui a matemática é diferente, pois é promoção”, e sou obrigado a levar dois só por que a matemática, nesse caso, não vale ou diferente?!?
Pode-se então perguntar: o matemático usa máquina de calcular? claro que sim. É uma das ferramentas de que dispomos para o nosso trabalho. Imagine que como um carpinteiro que tem em sua mente o quer construir, então escolhe a madeira mais adequada, desenha, tira as medidas e compra os outros materiais necessários e só então, no momento certo, utiliza do martelo e do serrote. Da mesma forma, a calculadora na matemática deve ser usada de forma adequada no momento oportuno, ou seja, quando realmente for necessária.
AGORA VAMOS AO TESTE DO INÍCIO DO POST
Tentaram fazer? e então, qual foi o resultado? usaram a calculadora?
Pra quem fez “na ponta do lápis” ou de “cabeça”, parabéns. Pra quem fez usando a calculadora, parabéns também. Pois pelo menos tentaram!
Agora se você nem sequer tentou, ainda assim vou te levar a analisar junto comigo a resposta.
As porcentagens acima são bem simples, veja:
25% de 75, você deve multiplicar 25 vezes 75 e dividir por 100
e 75% de 25, você deve multiplicar 75 vezes 25 e dividir por 100
Perceba que dá o mesmo resultado (18,75), pois a multiplicação é comutativa e “a ordem dos fatores não altera o produto”.
A matemática não é coisa de outro mundo, está à nossa volta e exige que sejamos desafiados a pensar. Mas ora, o que temos a fazer é parar para pensar, pois Matemática é bom senso.
Tem o objetivo de agregar, compartilhar experiências e divulgar a Matemática através dos blogs de Matemática.
"Sabemos que a matemática é fundamental para o desenvolvimento do pensamento lógico, que auxilia no processo de construção do conhecimento e desenvolve a autonomia do raciocínio e da criação de soluções das mais variadas situações problema. Neste contexto, esperamos que o uso da internet crie situações favoráveis à aprendizagem dos conceitos, auxiliando neste aprendizado contínuo da matemática.
Com esta ideia, criamos o a União dos Blogs de Matemática (UBM), um espaço na internet com objetivo de divulgar e agregar todos os blogs de matemática do país, mas estará de portas abertas para os blogs estrangeiros que tratam desta maravilhosa ciência.
Além disso, o blog possui um pequeno estatuto, uma página com a descrição de todos os blogs filiados e também dicas para melhorar o seu blog.
Para filiar-se é muito simples, basta ter um blog de Matemática com publicações periódicas, ser um seguidor da UBM, cumprir os estatuto e escolher e adicionar o banner da UBM (click aqui) a sua escolha.
Compartilhe esta ideia de divulgar a Matemática de forma gratuita e interessante na internet. Para saber mais visite a UBM (http://ubmatematica.blogspot.com/)".
O Grupo PET-Matemática da Universidade Federal de Campina Grande disponibilizou a correção da prova para o Mestrado profissional em Matemática-PROFMAT 2011.
Quem tiver interesse pode fazer o download do arquivo pelo link abaixo, direto do site da UFCG:
Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em: A) 25% B) 30% C) 50% D) 60% E) 80%
Solução:
Meta: 420 kcal em 30’
Gastou: 240kcal em 20’: 240/20= 12kcal/min
Ele deve gastar mais 180 kcal em 10’: 18kcal/min
Fazendo 18kcal-12kcal=6kcal
Usamos uma regra de três simples:
12kcal----100%
6kcal-----x
X=50%
Resp.: C
QUESTÃO 2
Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições: a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas, b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor. De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes). A) 12 B) 24 C) 30 D) 60 E) 72
Solução:
Essa solução eu fiz usando a figura:
Considerando as condições estabelecidas, temos:
4 possibilidades para V1
3 possibilidades para V2 ,
2 possibilidades para V3
V4, V5, V6 tem a mesma cor de V2,V1 e V3, respectivamente, restando para eles apenas uma possibilidade.
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4x3x2x1=24 modos distintos
Resp: B
QUESTÃO 3
Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6 ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então: A) 16π B) 20π C) 24π D) 28π E) 32π
Solução:
Vamos analisar a figura:
Usaremos a relação de semelhança entre as medidas:
Que resultou numa função quadrática com gráfico cuja concavidade é voltada para cima. Portanto, devemos encontrar o valor mínimo de x que será encontrado usando Xv=-b/2a
Temos:
Letra A
5ª QUESTÃO
A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente? A) 100% B) 90% C) 80% D) 72% E) 64%
Solução:
Total de abordagens: X
Meta de Sucesso: 60% de X = 0,6X
Quando realizou 75% das abordagens, ou seja 0,75X, teve sucesso de 56%. Portanto, devemos fazer:
56% de 0,75X = 0,42X
Faltam, então 0,6X – 0,42X = 0,18X, ou seja, 18% do total de abordagens.
Sabendo que restam apenas 25%=0,25 de abordagens para serem realizadas, usamos uma regra de três simples:
Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é: A) 50m2 B) 80m2 C) 110m2 D) 160m2 E) 310m2
Solução:
Calculamos inicialmente ÁREA DO CÍRCULO(Ac) -ÁREA DO HEXÁGONO(Ah):
Sabendo que l=r=10m e considerando π=3,14 e raiz quadrada de 2 igual a 1,73, temos:
Multiplicando por 2 encontramos a área da rosácea:
O matemático que aproximou a Matemática dos fenômenos físicos e da realidade experimental
Hidrodinâmica • Probabilidade • Mecânica • Teoria cinética dos gases
A Matemática não apenas descreve os fenômenos da natureza: ela permite descobrir as relações que os governam.
Apresentação: quem foi Daniel Bernoulli?
Daniel Bernoulli (1700–1782) foi um matemático, físico e médico suíço, nascido em Groningen, nos Países Baixos. Pertencente à célebre família Bernoulli, tornou-se um dos principais representantes da ciência do século XVIII.
Seu nome está associado principalmente ao desenvolvimento da hidrodinâmica e ao princípio que estabelece uma relação entre pressão, velocidade e energia em escoamentos de fluidos. Entretanto, limitar sua contribuição a esse resultado seria reduzir consideravelmente a dimensão de sua produção científica.
Daniel Bernoulli também investigou a teoria cinética dos gases, as oscilações de cordas, a probabilidade, os riscos econômicos, a mecânica e diferentes problemas relacionados à Medicina.
Folha de rosto da primeira edição de Hydrodynamica, publicada em 1738. Documento histórico preservado em coleções de obras científicas raras.
Seu trabalho representa um momento importante da história da ciência: a passagem de uma abordagem predominantemente descritiva dos fenômenos naturais para uma investigação que buscava estabelecer relações matemáticas entre grandezas físicas.
Ideia central deste estudo: Daniel Bernoulli foi um dos grandes responsáveis pela aproximação entre teoria matemática, experimentação e aplicação física, contribuindo para a formação da mecânica dos fluidos e de importantes ideias da Física estatística.
1. O contexto histórico: a família Bernoulli e a ciência europeia
O século XVIII foi um período de intensa transformação científica. Os trabalhos de Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Christiaan Huygens e outros estudiosos haviam ampliado as possibilidades da Matemática e da Física.
O desenvolvimento do cálculo diferencial e integral ofereceu instrumentos poderosos para investigar movimento, equilíbrio, forças, oscilações e fenômenos naturais.
Nesse ambiente destacou-se a família Bernoulli, originária de uma tradição de estudiosos que produziu matemáticos e cientistas de grande influência.
Entre seus membros mais conhecidos estão:
Jakob Bernoulli (1655–1705): contribuições à probabilidade, ao cálculo e aos números de Bernoulli.
Johann Bernoulli (1667–1748): desenvolvimento do cálculo, mecânica e ensino da Matemática.
Daniel Bernoulli (1700–1782): hidrodinâmica, probabilidade, mecânica e teoria cinética dos gases.
Nicolaus II Bernoulli (1695–1726): contribuições à probabilidade e à Matemática.
Johann II Bernoulli (1710–1790): matemática e física matemática.
A família teve papel importante na consolidação da tradição matemática europeia, especialmente na Suíça e em centros científicos como a Academia de Ciências de São Petersburgo.
Atenção à nomenclatura: o princípio da hidrodinâmica apresentado neste artigo é associado a Daniel Bernoulli. Já os números de Bernoulli e a lei dos grandes números estão associados principalmente a Jakob Bernoulli. O sobrenome comum não significa que todas essas descobertas tenham sido realizadas pelo mesmo pesquisador.
2. Biografia: formação, estudos e trajetória acadêmica
Daniel nasceu em 1700, em Groningen, onde seu pai, Johann Bernoulli, exercia atividades acadêmicas. Ainda criança, retornou com a família à cidade de Basileia, na Suíça.
Desde cedo esteve cercado por discussões matemáticas. Seu pai era um dos matemáticos mais influentes de seu tempo, e a tradição familiar exercia forte influência sobre sua formação.
Apesar disso, Johann inicialmente desejava que Daniel seguisse uma carreira comercial. Posteriormente, diante do interesse do filho, concordou que estudasse Medicina.
Daniel estudou nas universidades de Basileia, Heidelberg e Estrasburgo, obtendo seu doutorado em Medicina em 1721.
Mesmo com a formação médica, nunca abandonou o interesse pela Matemática. Sua produção científica demonstra uma integração muito particular entre os conhecimentos matemáticos e os problemas físicos e biológicos.
2.1. A Academia de Ciências de São Petersburgo
Em 1725, Daniel foi para São Petersburgo, na Rússia, onde assumiu uma posição acadêmica. Seu irmão mais velho, Nicolaus II, também estava ligado à instituição.
Após a morte prematura do irmão, Daniel enfrentou dificuldades pessoais e demonstrou insatisfação com a vida na cidade.
Foi nesse período, entretanto, que desenvolveu algumas de suas pesquisas mais importantes.
Em São Petersburgo, estabeleceu uma colaboração intelectual muito produtiva com Leonhard Euler (1707–1783), um dos maiores matemáticos da história.
Leonhard Euler, colaborador de Daniel Bernoulli em investigações sobre mecânica, fluidos e oscilações.
Euler contribuiu para desenvolver matematicamente diversas ideias físicas investigadas por Daniel. A colaboração entre ambos é um exemplo importante da relação entre intuição física e formalização matemática.
Daniel retornou definitivamente a Basileia em 1733, onde posteriormente ocupou diferentes posições acadêmicas, inclusive a cátedra de Física.
3. Hydrodynamica: a obra que transformou a mecânica dos fluidos
Imagem histórica ilustrativa de uma obra matemática antiga. Para a documentação específica da Hydrodynamica, consulte a reprodução original indicada a seguir.Danielis Bernoulli, Hydrodynamica, 1738. O frontispício representa máquinas e dispositivos associados ao movimento e à utilização da água.
A obra mais importante de Daniel Bernoulli foi publicada em 1738, com o título:
Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii Comentários sobre as forças e os movimentos dos fluidos.
O livro foi desenvolvido a partir de pesquisas realizadas durante sua permanência em São Petersburgo. Apresentava uma abordagem matemática do movimento dos líquidos e de diferentes problemas relacionados à pressão, à velocidade, ao equilíbrio e à energia.
Um dos aspectos mais importantes da obra foi a utilização de princípios de conservação da energia para interpretar fenômenos envolvendo fluidos.
Daniel investigou, por exemplo, a saída de água por orifícios, o funcionamento de bombas, máquinas hidráulicas e o comportamento de líquidos em tubos e recipientes.
O livro também apresentava discussões sobre o comportamento dos gases e antecipava aspectos da teoria cinética que seria desenvolvida posteriormente.
3.1. A importância histórica da obra
Hydrodynamica não foi simplesmente uma coleção de fórmulas. Seu mérito esteve em organizar uma interpretação física e matemática dos fenômenos relacionados ao movimento dos fluidos.
O trabalho ajudou a estabelecer as bases da hidrodinâmica como campo de investigação científica.
É importante observar que a mecânica dos fluidos moderna não foi construída exclusivamente por Daniel. Os trabalhos de Euler, d'Alembert, Lagrange, Navier, Stokes e muitos outros foram essenciais para a consolidação da disciplina.
É possível consultar o documento histórico e suas pranchas ilustradas.
4. O princípio de Bernoulli
O princípio de Bernoulli estabelece uma relação entre pressão, velocidade e altura em um escoamento de fluido sob determinadas condições.
Em sua forma mais conhecida, para um fluido ideal, incompressível, em escoamento estacionário, a soma das contribuições de pressão, energia cinética por unidade de volume e energia potencial gravitacional por unidade de volume permanece constante ao longo de uma linha de corrente.
p + ½ρv² + ρgh = constante
Em que:
p: pressão estática do fluido, em pascals (Pa).
ρ: massa específica ou densidade do fluido, em kg/m³.
v: velocidade do escoamento, em m/s.
g: aceleração da gravidade, em m/s².
h: altura em relação a um referencial escolhido, em metros.
Cada termo representa uma energia por unidade de volume:
Termo
Interpretação
p
Energia associada à pressão por unidade de volume.
½ρv²
Energia cinética por unidade de volume.
ρgh
Energia potencial gravitacional por unidade de volume.
4.1. Interpretação física
Em um escoamento horizontal, a altura permanece constante. Nesse caso, a equação pode ser escrita como:
p + ½ρv² = constante
Para esse modelo ideal, um aumento da velocidade corresponde a uma redução da pressão estática, ao longo da mesma linha de corrente.
É importante compreender que a relação não significa que qualquer região de maior velocidade em qualquer escoamento real necessariamente apresente menor pressão. A aplicação depende das hipóteses do modelo e da comparação adequada entre pontos do escoamento.
5. Dedução matemática simplificada do princípio
Uma maneira de compreender a equação de Bernoulli é partir do teorema trabalho–energia.
Considere um pequeno volume de fluido que se desloca de uma posição 1 para uma posição 2, em um tubo de corrente.
O trabalho realizado pelas forças de pressão é:
W = p₁V − p₂V
Como o volume considerado é o mesmo nas duas seções, podemos utilizar a massa:
m = ρV
A variação da energia cinética é:
ΔEc = ½m(v₂² − v₁²)
A variação da energia potencial gravitacional é:
ΔEp = mg(h₂ − h₁)
Aplicando o teorema trabalho–energia, no modelo ideal:
(p₁ − p₂)V =
½m(v₂² − v₁²) + mg(h₂ − h₁)
Dividindo por V e utilizando m/V = ρ:
p₁ − p₂ =
½ρ(v₂² − v₁²) + ρg(h₂ − h₁)
Reorganizando:
p₁ + ½ρv₁² + ρgh₁
= p₂ + ½ρv₂² + ρgh₂
Essa é a forma usual da equação de Bernoulli.
Observação de rigor: essa dedução representa o modelo ideal sem perdas mecânicas. Em escoamentos reais, a viscosidade, a turbulência, as bombas, as turbinas e as perdas de carga precisam ser consideradas. A equação de energia da hidráulica incorpora esses efeitos.
6. Aplicações do princípio de Bernoulli
6.1. Venturi e medição de vazão
O tubo de Venturi possui uma região de seção transversal menor, chamada garganta. Quando o fluido atravessa essa região, sua velocidade aumenta.
Em condições apropriadas, a pressão estática diminui, permitindo relacionar a diferença de pressão à vazão.
Esse princípio é utilizado em medidores de vazão industriais e sistemas de instrumentação.
Esquema de um tubo de Venturi, no qual a redução da seção provoca alteração da velocidade e da pressão estática.
6.2. Tubo de Pitot
O tubo de Pitot é utilizado para medir a velocidade de um escoamento, especialmente em aplicações aeronáuticas.
O instrumento compara a pressão de estagnação com a pressão estática. Para um escoamento incompressível, ideal e em condições apropriadas:
v = √(2Δp/ρ)
Em que Δp representa a diferença entre a pressão de estagnação e a pressão estática.
Esse instrumento possui aplicações em aeronaves, laboratórios de aerodinâmica e sistemas de medição de fluidos.
6.3. Asas de aeronaves e aerodinâmica
O princípio de Bernoulli aparece frequentemente nas explicações introdutórias sobre aerodinâmica. Entretanto, a sustentação de uma aeronave não deve ser explicada apenas pela afirmação de que o ar percorre distâncias diferentes sobre e sob a asa.
Uma análise adequada envolve a distribuição de pressão ao redor do perfil, a conservação da quantidade de movimento, a circulação do escoamento e as condições de contorno impostas pela geometria e pelo movimento da aeronave.
A equação de Bernoulli é uma ferramenta importante para relacionar pressão e velocidade em regiões do escoamento onde suas hipóteses são aplicáveis.
Representação conceitual da sustentação aerodinâmica. A análise completa envolve pressão, velocidade e quantidade de movimento do fluido.
6.4. Outros campos de aplicação
Engenharia hidráulica: dimensionamento e análise de sistemas de tubulações.
Engenharia mecânica: máquinas hidráulicas, bombas e turbinas.
Engenharia aeronáutica: análise de escoamentos e instrumentação.
Engenharia química: transporte de fluidos e processos industriais.
Física: conservação de energia em sistemas fluidos.
Medicina: interpretação de fenômenos hemodinâmicos, respeitando as limitações dos modelos simplificados.
7. Daniel Bernoulli e a teoria cinética dos gases
Uma contribuição menos conhecida de Daniel Bernoulli está relacionada ao comportamento dos gases.
Em Hydrodynamica, ele apresentou uma interpretação molecular na qual a pressão exercida por um gás poderia ser compreendida a partir do movimento de suas partículas.
A ideia era que as partículas de um gás se movimentariam continuamente e colidiriam com as paredes do recipiente. Essas colisões produziriam uma força média por unidade de área, isto é, a pressão.
Representação conceitual do comportamento de partículas de um gás em um recipiente. A interpretação microscópica da pressão foi uma das ideias antecipadas por Daniel Bernoulli.
7.1. Relação entre pressão e movimento molecular
Na formulação moderna da teoria cinética dos gases ideais, a pressão pode ser relacionada à energia cinética média das partículas:
p = ⅓ρ⟨v²⟩
Em que:
p é a pressão do gás;
ρ é a densidade do gás;
⟨v²⟩ é a média dos quadrados das velocidades moleculares.
Essa expressão pressupõe um modelo de gás ideal com movimento molecular isotrópico.
Daniel Bernoulli antecipou aspectos fundamentais dessa interpretação no século XVIII. A teoria cinética moderna, entretanto, foi desenvolvida posteriormente por diversos pesquisadores, especialmente Rudolf Clausius, James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann.
7.2. A equação dos gases ideais
Uma das relações mais importantes da Termodinâmica é:
pV = nRT
Essa equação relaciona pressão, volume, quantidade de matéria e temperatura absoluta de um gás ideal.
Embora não seja uma equação desenvolvida por Daniel Bernoulli, seu trabalho sobre o movimento microscópico dos gases constitui um antecedente histórico importante para a teoria cinética que ajudou a fundamentar a compreensão moderna dessa relação.
8. Cordas vibrantes, música e séries harmônicas
Daniel Bernoulli também realizou contribuições importantes para a teoria das oscilações.
Durante o século XVIII, diversos matemáticos investigaram o comportamento de cordas submetidas a vibrações. O problema era compreender matematicamente como uma corda esticada poderia produzir diferentes frequências sonoras.
Daniel propôs que o movimento de uma corda vibrante poderia ser interpretado como a superposição de diferentes modos harmônicos de vibração.
Representação de modos de vibração de uma corda. A combinação de modos permite compreender a formação de diferentes sons.
8.1. Frequências naturais de uma corda ideal
Para uma corda uniforme, perfeitamente flexível, sob tensão constante, com extremidades fixas, as frequências naturais são dadas por:
fₙ = n/(2L) · √(T/μ)
Em que:
fₙ é a frequência do modo n;
L é o comprimento da corda;
T é a tensão aplicada;
μ é a densidade linear de massa;
n é um número inteiro positivo.
As frequências são múltiplos inteiros da frequência fundamental:
f₁, 2f₁, 3f₁, 4f₁, ...
Essas frequências estão relacionadas aos harmônicos e aos modos normais de vibração.
8.2. A controvérsia das cordas vibrantes
O estudo das cordas vibrantes foi um dos problemas matemáticos mais importantes do século XVIII.
Daniel Bernoulli, Jean le Rond d'Alembert e Leonhard Euler apresentaram abordagens diferentes para compreender a forma da corda em movimento.
Uma questão central era saber quais funções poderiam representar o movimento de uma corda e como diferentes movimentos poderiam ser combinados.
Esse debate contribuiu para o desenvolvimento da teoria das equações diferenciais parciais e, posteriormente, para o estudo das séries de Fourier.
É importante destacar que Fourier e seus estudos pertencem a um período posterior. A controvérsia do século XVIII foi um dos antecedentes fundamentais dessa evolução matemática.
Conexão interdisciplinar: esse tema permite relacionar Matemática, Física, Engenharia de Áudio, Acústica, Música e Processamento Digital de Sinais.
9. Daniel Bernoulli e a teoria das probabilidades
Outra contribuição importante de Daniel Bernoulli está relacionada à teoria das probabilidades e à análise das decisões em situações de incerteza.
Em 1738, publicou um trabalho que se tornou fundamental para o desenvolvimento da teoria da utilidade esperada.
O problema central era compreender por que as pessoas não avaliam riscos e ganhos exclusivamente pelo valor monetário esperado.
Em outras palavras: por que uma pessoa pode preferir um ganho certo a uma aposta cujo valor esperado é maior?
9.1. O paradoxo de São Petersburgo
O paradoxo de São Petersburgo foi formulado a partir de um jogo de azar envolvendo lançamentos sucessivos de uma moeda honesta.
O jogo funciona da seguinte maneira:
Uma moeda é lançada repetidamente.
Se sair cara no primeiro lançamento, o jogador recebe R$ 2.
Se sair coroa e depois cara, recebe R$ 4.
Se forem necessárias três jogadas para sair cara pela primeira vez, recebe R$ 8.
O prêmio continua dobrando a cada lançamento adicional sem cara.
A recompensa é, portanto, igual a 2 elevado ao número de lançamentos necessários para obter a primeira cara.
9.2. O valor esperado do jogo
A probabilidade de receber 2ⁿ unidades monetárias é:
P(X = 2ⁿ) = 1/2ⁿ
O valor esperado é:
E(X) = Σ (1/2ⁿ) · 2ⁿ
Ou seja:
E(X) = 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Portanto, a soma diverge:
E(X) = ∞
O paradoxo está no fato de que o valor esperado matemático é infinito, mas as pessoas normalmente não estariam dispostas a pagar qualquer quantia arbitrariamente alta para participar do jogo.
9.3. A solução proposta por Daniel Bernoulli
Daniel Bernoulli argumentou que o valor monetário não representa sozinho a satisfação ou a utilidade proporcionada por uma riqueza.
Uma quantia adicional pode ter importância muito maior para alguém que possui poucos recursos do que para alguém que já possui uma fortuna.
Ele propôs uma função logarítmica de utilidade:
U(W) = ln(W)
Em que W representa a riqueza e U(W) sua utilidade.
Essa função é crescente, mas apresenta utilidade marginal decrescente:
U'(W) = 1/W
U''(W) = −1/W²
Assim, o aumento da riqueza produz satisfação adicional, mas essa satisfação cresce a taxas cada vez menores.
Para uma riqueza inicial W₀ e um prêmio 2ⁿ, a utilidade esperada do jogo, segundo essa formulação, é:
EU = Σ (1/2ⁿ) · ln(W₀ + 2ⁿ)
Essa soma converge para uma riqueza inicial positiva, diferentemente do valor monetário esperado.
Importância histórica: Daniel Bernoulli antecipou uma ideia central da Economia moderna: decisões sob incerteza dependem não apenas dos valores monetários possíveis, mas também da maneira como os indivíduos avaliam esses valores.
9.4. Aplicações contemporâneas
Economia comportamental e teoria da decisão.
Finanças e avaliação de investimentos.
Seguros e análise de riscos.
Economia da saúde.
Tomada de decisões em ambientes de incerteza.
Seu trabalho não corresponde integralmente às teorias modernas de decisão, mas é considerado um marco na formação da teoria da utilidade esperada.
10. Medicina, pressão e experimentação
A formação médica de Daniel Bernoulli teve influência sobre suas pesquisas físicas.
Seu interesse pela pressão dos fluidos também se relacionava à circulação sanguínea e ao funcionamento do organismo humano.
Em seus estudos, investigou a relação entre pressão e velocidade do movimento de líquidos, utilizando dispositivos experimentais que permitiam observar a pressão dentro de tubos.
Representação histórica de dispositivos associados à investigação da pressão em escoamentos. A experimentação foi uma parte importante do trabalho de Bernoulli.
Essas investigações possuem relevância histórica para o desenvolvimento da instrumentação e da compreensão dos fenômenos hemodinâmicos.
Entretanto, é necessário distinguir a investigação histórica de pressão em tubos da medição clínica moderna da pressão arterial, que utiliza técnicas e instrumentos próprios.
11. O legado científico de Daniel Bernoulli
A contribuição de Daniel Bernoulli ultrapassa o campo da hidrodinâmica. Seu trabalho demonstra a capacidade da Matemática de estabelecer conexões entre áreas aparentemente diferentes do conhecimento.
Área
Contribuição
Aplicação atual
Hidrodinâmica
Relações entre pressão, velocidade e energia
Hidráulica e engenharia de fluidos
Física
Interpretação energética de fenômenos
Mecânica e termodinâmica
Teoria cinética
Interpretação molecular da pressão
Física estatística
Acústica
Modos de vibração e harmônicos
Música e engenharia de áudio
Probabilidade
Utilidade esperada
Economia e análise de riscos
Medicina
Estudos de pressão em fluidos
Fisiologia e instrumentação
Daniel Bernoulli faleceu em Basileia, em 1782, deixando uma produção científica que continuou influenciando o desenvolvimento da Física Matemática e de diversas áreas aplicadas.
12. Cronologia de Daniel Bernoulli
1700: nascimento em Groningen, nos Países Baixos.
1716–1721: estudos superiores e formação em Medicina.
1724: publicação de Exercitationes, seu primeiro tratado matemático importante.
1725: início de sua trajetória acadêmica em São Petersburgo.
Década de 1730: desenvolvimento de pesquisas sobre fluidos, gases, mecânica e probabilidade.
1733: retorno a Basileia.
1738: publicação de Hydrodynamica e do trabalho sobre utilidade esperada.
1740: reconhecimento em trabalhos premiados pela Academia de Ciências de Paris, em colaboração com Euler.
1750: assume a cátedra de Física em Basileia.
1782: falecimento em Basileia.
13. Daniel Bernoulli e a família: uma distinção necessária
Para evitar erros em trabalhos acadêmicos, é importante identificar corretamente as contribuições dos diferentes membros da família.
Matemático
Contribuições associadas
Jakob Bernoulli
Lei dos grandes números, probabilidade, números de Bernoulli.
Johann Bernoulli
Cálculo diferencial e integral, mecânica e equações diferenciais.
Daniel Bernoulli
Hidrodinâmica, oscilações, teoria cinética dos gases e utilidade esperada.
Também é importante distinguir o princípio de Bernoulli dos chamados números de Bernoulli. Os números de Bernoulli pertencem à teoria dos números e à análise matemática e estão associados principalmente a Jakob Bernoulli.
14. Orientações para pesquisa acadêmica
Para transformar o estudo de Daniel Bernoulli em um trabalho de pesquisa, é importante ir além da apresentação biográfica.
Uma investigação acadêmica precisa delimitar um problema, formular objetivos, estabelecer procedimentos metodológicos e utilizar fontes adequadas.
14.1. Possíveis temas de pesquisa
Matemática e Engenharia: análise das aplicações da equação de Bernoulli em sistemas hidráulicos.
Física: interpretação energética dos escoamentos e suas limitações.
Estatística e Economia: o paradoxo de São Petersburgo e a origem da utilidade esperada.
Matemática aplicada: a contribuição de Daniel Bernoulli para a teoria das oscilações.
História da Ciência: a colaboração entre Daniel Bernoulli e Leonhard Euler.
Termodinâmica: os antecedentes históricos da teoria cinética dos gases.
Medicina e Física: a relação entre pressão, movimento dos fluidos e circulação sanguínea.
14.2. Exemplo de problema de pesquisa
Tema: O princípio de Bernoulli e suas aplicações na Engenharia.
Problema: Em que condições a equação de Bernoulli pode ser utilizada para descrever o comportamento de um fluido em movimento e quais são suas limitações na análise de sistemas reais?
Objetivo geral: Investigar os fundamentos matemáticos e físicos do princípio de Bernoulli e analisar suas aplicações em sistemas de engenharia.
Objetivos específicos:
Estudar o contexto histórico da Hydrodynamica.
Compreender a dedução da equação de Bernoulli.
Identificar as hipóteses necessárias para sua aplicação.
Resolver problemas envolvendo pressão, velocidade e altura.
Comparar o modelo ideal com situações reais que envolvem perdas de carga.
14.3. Metodologia recomendada
Para uma pesquisa bibliográfica, recomenda-se:
Levantar fontes primárias e secundárias sobre Daniel Bernoulli.
Consultar livros acadêmicos de Mecânica dos Fluidos, Física e História da Matemática.
Identificar os fundamentos matemáticos envolvidos.
Comparar diferentes interpretações históricas e científicas.
Apresentar aplicações e exemplos de resolução.
Registrar as referências bibliográficas segundo as normas adotadas pela instituição.
Para pesquisas experimentais, pode-se construir um sistema simples de escoamento, medir diferenças de pressão e comparar os resultados observados com as previsões do modelo ideal.
15. Recursos digitais e fontes para aprofundamento
1. Mathematical Association of America
Artigo histórico sobre a obra Hydrodynamica, sua importância científica e as imagens originais do livro.
Para trabalhos acadêmicos, as referências abaixo constituem um ponto de partida. Recomenda-se consultar as edições efetivamente utilizadas e completar os dados bibliográficos conforme as normas da instituição.
Fontes primárias
BERNOULLI, Daniel. Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii. Strasbourg, 1738.
BERNOULLI, Daniel. Specimen theoriae novae de mensura sortis. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1738.
BERNOULLI, Daniel. Exercitationes quaedam mathematicae. 1724.
Fontes secundárias e estudos históricos
BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da Matemática.
KATZ, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction.
GRATTAN-GUINNESS, Ivor (ed.). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940. Elsevier, 2005. Capítulo sobre Daniel Bernoulli e Hydrodynamica.
MIKHAILOV, G. K. Estudos históricos sobre a vida e a obra de Daniel Bernoulli.
DUTKA, Jacques. On the St. Petersburg Paradox. Archive for History of Exact Sciences, v. 39, 1988, p. 13–39.
Livros para aprofundamento técnico
WHITE, Frank M. Fluid Mechanics.
FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. Introduction to Fluid Mechanics.
ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física.
ROSS, Sheldon. A First Course in Probability.
Considerações finais
Daniel Bernoulli representa uma das expressões mais importantes da aproximação entre Matemática e ciência experimental no século XVIII.
Seu trabalho demonstra que uma mesma estrutura matemática pode ser utilizada para investigar fenômenos de diferentes naturezas: o movimento da água, o comportamento dos gases, a vibração de uma corda e as decisões econômicas diante da incerteza.
Na Engenharia, suas ideias continuam presentes na análise de escoamentos e sistemas hidráulicos. Na Física, constituem parte da história da conservação da energia e da teoria cinética. Na Matemática, seus estudos sobre oscilações e probabilidade contribuíram para discussões que continuariam por gerações.
Talvez sua maior contribuição tenha sido mostrar que a Matemática não precisa permanecer isolada em estruturas abstratas: ela pode dialogar com a observação, com a experimentação e com os problemas concretos da humanidade.
Compreender a natureza é também descobrir as relações matemáticas que organizam seus fenômenos.
MATEMÁTICA DO PI
Da Educação Básica à Pesquisa Acadêmica.
Professor Jonas Portal
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