Demonstrações – Derivadas II: A Regra do Produto
Fundamentação matemática • Definição de derivada • Incrementos
1. O problema matemático
Considere duas funções diferenciáveis, \(h\) e \(g\), e uma terceira função \(f\), definida pelo produto:
\[ f(x)=h(x)\cdot g(x) \]Desejamos determinar a expressão de \(f'(x)\), isto é, a derivada do produto dessas duas funções.
Observe que a derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas. É necessário somar dois produtos: a derivada da primeira função pela segunda função, mais a primeira função pela derivada da segunda.
2. Relembrando a definição de derivada
A derivada de uma função \(f\), em um ponto \(x\), é definida pelo limite:
\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} } \]O símbolo \(\Delta x\) representa um incremento na variável independente.
Para as funções \(h\) e \(g\), podemos escrever:
\[ \Delta h=h(x+\Delta x)-h(x) \] \[ \Delta g=g(x+\Delta x)-g(x) \]Assim:
\[ h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h \] \[ g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g \]Essas relações serão fundamentais para a demonstração.
3. Demonstração pelo método dos incrementos
Vamos desenvolver a demonstração seguindo a abordagem clássica dos incrementos, utilizada na publicação original de 2010.
Consideremos:
\[ y=f(x)=h(x)g(x) \]Quando \(x\) sofre um incremento \(\Delta x\), a função também sofre um incremento \(\Delta y\). Portanto:
\[ y+\Delta y=f(x+\Delta x) \]Como \(f(x)=h(x)g(x)\), temos:
\[ y+\Delta y= h(x+\Delta x)g(x+\Delta x) \]Utilizando as relações dos incrementos:
\[ y+\Delta y= [h(x)+\Delta h][g(x)+\Delta g] \]Como queríamos demonstrar.
4. Por que o último termo desaparece?
Este é um dos detalhes mais importantes da demonstração e merece atenção especial.
Na expressão:
\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]quando \(\Delta x\to0\), temos:
\[ \Delta g\to0 \]Por outro lado, como \(h\) é diferenciável:
\[ \frac{\Delta h}{\Delta x}\to h'(x) \]Consequentemente, pelo teorema do limite do produto:
\[ \lim_{\Delta x\to0} \left( \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \right) =0\cdot h'(x)=0 \]5. Uma segunda demonstração: diretamente pela definição
Podemos chegar ao mesmo resultado utilizando uma reorganização algébrica do quociente incremental.
Partimos de:
\[ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-h(x)g(x)} {\Delta x} \]Somamos e subtraímos o termo \(h(x+\Delta x)g(x)\) no numerador:
\[ \begin{aligned} f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \Bigg[ &h(x+\Delta x) \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x) \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \Bigg] \end{aligned} \]Agora, aplicando as propriedades dos limites:
\[ \begin{aligned} f'(x)={}& h(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \end{aligned} \]Reconhecendo as definições das derivadas:
\[ \boxed{ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) } \]Obtivemos novamente a regra do produto, agora por uma reorganização direta do quociente incremental.
6. Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Produto de funções polinomiais
Determine a derivada de:
\[ f(x)=(x^2+3)(2x-1) \]Identificamos:
\[ h(x)=x^2+3 \qquad g(x)=2x-1 \]Suas derivadas são:
\[ h'(x)=2x \qquad g'(x)=2 \]Aplicando a regra do produto:
\[ f'(x)=2x(2x-1)+(x^2+3)\cdot2 \] \[ f'(x)=4x^2-2x+2x^2+6 \]Exemplo 2 — Produto envolvendo função trigonométrica
Determine a derivada de:
\[ f(x)=x^2\sen x \]Temos:
\[ h(x)=x^2,\qquad g(x)=\sen x \] \[ h'(x)=2x,\qquad g'(x)=\cos x \]Aplicando a regra:
\[ f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x \]Exemplo 3 — Produto envolvendo exponencial
\[ f(x)=e^x(x^3+1) \]Pela regra do produto:
\[ f'(x)=e^x(x^3+1)+e^x(3x^2) \] \[ \boxed{f'(x)=e^x(x^3+3x^2+1)} \]7. Por que a regra do produto funciona?
A regra do produto possui uma interpretação interessante quando pensamos nas variações simultâneas de duas grandezas.
Considere a área de um retângulo:
\[ A=b\cdot h \]em que \(b\) representa a base e \(h\) representa a altura.
Se a base e a altura variam com o tempo, a área também varia. Derivando em relação ao tempo:
\[ \frac{dA}{dt} = h\frac{db}{dt} + b\frac{dh}{dt} \]Isso significa que a taxa de variação da área depende de duas contribuições:
- A variação da base, considerando a altura atual;
- A variação da altura, considerando a base atual.
Essa interpretação mostra que a regra do produto não é apenas uma manipulação algébrica: ela expressa matematicamente como a variação de duas grandezas influencia o produto entre elas.
8. Atenção aos erros mais frequentes
Erro 1: afirmar que a derivada do produto é o produto das derivadas.
\[ (hg)'\neq h'g' \]Erro 2: esquecer que uma das funções permanece sem derivar em cada parcela.
Erro 3: eliminar o termo \(\Delta h\Delta g/\Delta x\) sem justificar a passagem ao limite.
Erro 4: confundir a regra do produto com a regra da soma.
9. Teste seus conhecimentos
Resolva os exercícios e confira as respostas depois de tentar desenvolver cada demonstração.
Questão 1 — Aplicação direta
Determine a derivada de:
\[ f(x)=(x^2+1)(x+3) \]Ver resolução
\[ f'(x)=2x(x+3)+(x^2+1) \] \[ \boxed{f'(x)=3x^2+6x+1} \]Questão 2 — Função trigonométrica
Determine a derivada de:
\[ f(x)=x\cos x \]Ver resolução
\[ f'(x)=1\cdot\cos x+x(-\sen x) \] \[ \boxed{f'(x)=\cos x-x\sen x} \]Questão 3 — Conhecendo as derivadas em um ponto
Sabendo que \(h(2)=5\), \(g(2)=3\), \(h'(2)=4\) e \(g'(2)=-2\), determine a derivada de \(f(x)=h(x)g(x)\) em \(x=2\).
Ver resolução
\[ f'(2)=h'(2)g(2)+h(2)g'(2) \] \[ f'(2)=4\cdot3+5(-2) \] \[ \boxed{f'(2)=2} \]Questão 4 — Reflexão conceitual
Explique por que, na demonstração pelo método dos incrementos, o termo
\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]tende a zero quando \(\Delta x\to0\).
Ver resposta
Porque a continuidade de \(g\), garantida por sua diferenciabilidade, implica \(\Delta g\to0\), enquanto a diferenciabilidade de \(h\) implica que \(\Delta h/\Delta x\to h'(x)\), um limite finito. Portanto, o produto tende a zero.
10. Considerações finais
A regra do produto é uma das ferramentas fundamentais do Cálculo Diferencial. Sua demonstração evidencia a importância da definição de derivada e das propriedades dos limites.
Mais do que memorizar:
\[ (uv)'=u'v+uv' \]é importante compreender por que essa igualdade é verdadeira.
A matemática ganha profundidade quando deixamos de apenas aplicar fórmulas e passamos a investigar a origem dos resultados.
Demonstrações – Derivadas III: Demonstração da regra do quociente.
Na próxima publicação, demonstraremos como derivar o quociente de duas funções diferenciáveis, novamente partindo da definição de derivada.
11. Referências bibliográficas
- STEWART, James. Cálculo. Volume 1. Cengage Learning.
- GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 1. LTC.
- APOSTOL, Tom M. Calculus: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Volume 1. Wiley.
