Slide Equação Exponencial -

Slide sobre as Propriedades das potências e equações exponenciais.
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CAMPO ELÉTRICO - EXERCÍCIOS NUMÉRICOS de FÍSICA

Lista de exercícios de Física sobre Campo Elétrico com a solução das questões.
Os exercícios são apenas para treinar o cálculo envolvendo o campo elétrico.
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DÚVIDA DE FÍSICA – Queda Livre dos Corpos

Vou responder a uma dúvida enviada por um estudante, que me pediu para resolver um problema de Física:

“UM CORPO É LANÇADO DE UMA ALTURA DE 125m. DETERMINE O TEMPO QUE ELE GASTA PARA ATINGIR O SOLO E A VELOCIDADE COM QUE ATINGE. CONSIDERE g = 10m/s^2”

Muito bem, vou tentar explicar-lhe da forma mais clara que puder.

Veja bem, trata-se de um lançamento vertical para Baixo e, neste caso, assim como no lançamento para Cima, usamos duas Fórmulazinhas básicas da FÍSICA (as do Movimento Uniformemente Variado):

DA VELOCIDADE:

V = V₀ + gt (V₀ é Veloc. Inicial e g é aceleração da gravidade)

DOS ESPAÇOS:

S = S₀ + V₀t + ½ gt² (S é Espaço Final(altura) e S₀ é Espaço Inicial)

Veja na figura o que está acontecendo nesse lançamento:

Veja que o Espaço Inicial e a Velocidade inicial no lançamento são ZERO. Isso porque o corpo está em repouso antes do lançamento, ok!!!!!

Então depois de ver isso, fica fácil, pois

Da Fórmula dos espaços, resta:

S = ½ gt²

Substituindo a Altura em S e a metade da gravidade, vc obtém:

125 = 5t²

t² = 125/5 ==> t² = 25 ==> t = 5 segundos

Da velocidade, resta:

V = gt ( a veloc inicial não aparece, pois vale zero)

Substituindo o tempo de 5 s encontrado e a gravidade:

V = 10.5 = 50 m/s

Prontinho. O corpo atingiu o solo em 5 segundos e com velocidade de 50 m/s.

Queda Livre dos Corpos – Exercícios de Física

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FÍSICA • ENSINO MÉDIO

Queda Livre dos Corpos

Exercícios de Física com resoluções comentadas

Lançamento vertical para cima e para baixo

MATEMÁTICA DO PI | Prof. Jonas Portal

📘 Introdução

A queda livre é um movimento no qual a única aceleração considerada é a aceleração da gravidade. Próximo à superfície da Terra, podemos utilizar aproximadamente g = 9,8 m/s² ou, para facilitar os cálculos, g = 10 m/s², conforme indicado em cada exercício.

Quando um corpo é lançado verticalmente para cima, sua velocidade diminui durante a subida. No ponto mais alto, a velocidade instantânea é zero. Depois, o corpo começa a descer, aumentando o módulo de sua velocidade.

Quando um corpo é abandonado, ele parte do repouso. Quando é lançado verticalmente para baixo, já possui uma velocidade inicial dirigida para baixo.

📌 Fórmulas fundamentais

1. Velocidade em função do tempo

v = v₀ + at

2. Posição em função do tempo

s = s₀ + v₀t + at²/2

3. Equação de Torricelli

v² = v₀² + 2aΔs

4. Altura máxima em lançamento para cima

Hmáx = v₀²/(2g)

5. Tempo de subida

ts = v₀/g

6. Tempo total de voo

T = 2v₀/g

A expressão T = 2v₀/g é válida quando o corpo retorna à mesma altura de lançamento e a resistência do ar é desprezada.

Convenção de sinais: nas questões de lançamento para cima, consideraremos o sentido vertical para cima como positivo. Assim, a aceleração da gravidade será a = −g. Nas questões de queda para baixo, utilizaremos as distâncias percorridas e o módulo da aceleração g para simplificar os cálculos.

📝 Lista de exercícios

Tente resolver cada exercício antes de clicar em “Ver resolução passo a passo”.

PARTE I — LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA

QUESTÃO 01

Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s², calcule:

a) O tempo gasto para atingir a altura máxima;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo;
c) O tempo gasto para retornar ao solo;
d) A velocidade ao chegar ao solo.

Ver resolução passo a passo

Dados: v₀ = 30 m/s; g = 10 m/s².

a) Tempo de subida

No ponto mais alto, v = 0. Utilizando v = v₀ − gt:

0 = 30 − 10t

t = 3 s

b) Altura máxima

H = v₀²/(2g)

H = 30²/(2 × 10) = 900/20

H = 45 m

c) Tempo total

Como o corpo retorna ao mesmo nível de lançamento:

T = 2 × 3 = 6 s

d) Velocidade ao chegar ao solo

Desprezando o ar, o módulo da velocidade de retorno é igual ao da velocidade inicial, mas o sentido é contrário.

v = −30 m/s

Respostas: a) 3 s; b) 45 m; c) 6 s; d) −30 m/s.

QUESTÃO 02

Um móvel é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de 40 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², calcule:

a) O tempo de subida;
b) A altura máxima atingida;
c) O tempo total para retornar ao solo;
d) A velocidade ao tocar o solo.

Ver resolução passo a passo

a) Tempo de subida

t = v₀/g = 40/10 = 4 s

b) Altura máxima

H = 40²/(2 × 10)

H = 1600/20 = 80 m

c) Tempo total

T = 2 × 4 = 8 s

d) Velocidade de retorno

O corpo retorna com o mesmo módulo da velocidade inicial, em sentido descendente.

v = −40 m/s

Respostas: a) 4 s; b) 80 m; c) 8 s; d) −40 m/s.

QUESTÃO 03

Um jogador de beisebol imprime uma velocidade inicial v₀ = 30,48 m/s a uma bola, que sobe verticalmente. Que altura máxima a bola atingirá? Adote g = 9,8 m/s².

Ver resolução passo a passo

Na altura máxima, a velocidade final é zero.

Utilizamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² − 2gH

Substituindo v = 0:

0 = 30,48² − 2 × 9,8 × H

H = 30,48²/19,6

H = 929,0304/19,6

H ≈ 47,4 m

Resposta: aproximadamente 47,4 metros.

QUESTÃO 04

Um móvel é lançado do solo verticalmente para cima e retorna ao local de lançamento após 12 segundos. Adotando g = 10 m/s², calcule:

a) A velocidade inicial do lançamento;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo.

Ver resolução passo a passo

O tempo total de voo é 12 s. Como a subida e a descida duram o mesmo tempo:

ts = 12/2 = 6 s

a) Velocidade inicial

v₀ = g × ts

v₀ = 10 × 6 = 60 m/s

b) Altura máxima

H = v₀²/(2g)

H = 60²/20 = 3600/20

H = 180 m

Respostas: a) 60 m/s; b) 180 m.

QUESTÃO 05

Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de 3 m/s, de uma altura de 2 m acima do solo. Determine o intervalo de tempo desde o lançamento até a pedra chegar ao solo. Adote g = 10 m/s².

Ver resolução passo a passo

Adotamos o solo como posição zero e o sentido para cima como positivo.

Dados: s₀ = 2 m; v₀ = 3 m/s; a = −10 m/s².

Usamos a equação horária da posição:

s = s₀ + v₀t − gt²/2

Quando a pedra chega ao solo, s = 0:

0 = 2 + 3t − 5t²

Organizando:

5t² − 3t − 2 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

t = [3 ± √(9 + 40)]/10

t = [3 ± 7]/10

As raízes são:

t₁ = 1 s; t₂ = −0,4 s

O tempo negativo não corresponde ao intervalo posterior ao lançamento. Portanto, usamos t = 1 s.

Resposta: 1 segundo.

PARTE II — QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO PARA BAIXO

QUESTÃO 06

Um corpo é abandonado em um ponto situado a 80 metros acima da superfície da Terra, numa região em que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s². Despreze a resistência do ar.

a) Quanto tempo o corpo gasta até atingir o solo?
b) Com que velocidade atinge o solo?
c) Qual é a altura do corpo 2 segundos após ser abandonado?

Ver resolução passo a passo

Como o corpo é abandonado, sua velocidade inicial é zero.

a) Tempo de queda

h = gt²/2

80 = 10t²/2

80 = 5t²

t² = 16 → t = 4 s

b) Velocidade ao atingir o solo

v = gt = 10 × 4 = 40 m/s

c) Altura após 2 segundos

Primeiro calculamos a distância percorrida:

d = 10 × 2²/2 = 20 m

Como a altura inicial era 80 m:

h = 80 − 20 = 60 m

Respostas: a) 4 s; b) 40 m/s para baixo; c) 60 m acima do solo.

QUESTÃO 07

Abandona-se um corpo do alto de uma montanha de 180 metros de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², responda:

a) Qual é o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo?
b) Qual é a velocidade do corpo ao atingir o solo?

Ver resolução passo a passo

a) Tempo de queda

h = gt²/2

180 = 5t²

t² = 36

t = 6 s

b) Velocidade final

v = gt

v = 10 × 6 = 60 m/s

Respostas: a) 6 s; b) 60 m/s para baixo.

QUESTÃO 08 • UF-MT

Galileu, na Torre de Pisa, fez cair vários objetos pequenos, com o objetivo de estudar as leis do movimento dos corpos em queda. A respeito dessa experiência, julgue os itens, desprezando o efeito do ar.

I. A aceleração do movimento era a mesma para todos os corpos.
II. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao solo no mesmo instante que o mais leve.
III. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao solo com velocidade maior que o mais leve.

São corretos:

1. Todos.
2. Apenas o item I.
3. Apenas o item II.
4. Apenas os itens I e II.
5. Apenas os itens I e III.

Ver resolução passo a passo

Item I — Verdadeiro.

Desprezando a resistência do ar, todos os corpos próximos à superfície da Terra apresentam a mesma aceleração gravitacional.

Item II — Verdadeiro.

Soltos simultaneamente da mesma altura e com velocidade inicial zero, os dois corpos chegam juntos ao solo no modelo ideal.

Item III — Falso.

Como a aceleração e o tempo de queda são iguais, as velocidades finais também são iguais, independentemente da massa.

Resposta: alternativa D — apenas os itens I e II.

QUESTÃO 09

Uma cachoeira tem uma altura de 320 m. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², determine a velocidade da água na base da cachoeira, supondo que a água parte do repouso.

Ver resolução passo a passo

Dados: h = 320 m; v₀ = 0; g = 10 m/s².

Utilizamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2gh

v² = 0 + 2 × 10 × 320

v² = 6400

v = √6400 = 80 m/s

Resposta: 80 m/s, para baixo.

A resposta corresponde ao modelo ideal sem resistência do ar.

QUESTÃO 10

Um tijolo cai de um prédio em construção de uma altura de 20 m. Qual é a velocidade do tijolo ao atingir o solo? Quanto tempo gasta na queda? Adote g = 10 m/s² e considere que ele foi abandonado do repouso.

Ver resolução passo a passo

1. Tempo de queda

h = gt²/2

20 = 5t²

t² = 4 → t = 2 s

2. Velocidade final

v = gt

v = 10 × 2 = 20 m/s

Respostas: velocidade de 20 m/s para baixo; tempo de 2 s.

QUESTÃO 11

Um corpo é abandonado de uma altura H e leva 7 segundos para chegar ao solo. Adotando g = 9,8 m/s², calcule H.

Ver resolução passo a passo

Como o corpo parte do repouso, usamos:

H = gt²/2

Substituindo g = 9,8 m/s² e t = 7 s:

H = 9,8 × 7²/2

H = 9,8 × 49/2

H = 480,2/2

H = 240,1 m

Resposta: H = 240,1 metros.

QUESTÃO 12

Abandona-se uma pedra do alto de um edifício e ela atinge o solo 4 segundos depois. Adote g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar. Determine:

a) A altura do edifício;
b) O módulo da velocidade da pedra quando atinge o solo.

Ver resolução passo a passo

a) Altura do edifício

H = gt²/2

H = 10 × 4²/2

H = 160/2 = 80 m

b) Módulo da velocidade final

v = gt

v = 10 × 4 = 40 m/s

Respostas: a) 80 m; b) 40 m/s.

QUESTÃO 13

Um corpo é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial de 15 m/s. Sabendo-se que a altura inicial era de 130 m, determine o instante em que o corpo se encontra a 80 m do solo. Adote g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar.

Ver resolução passo a passo

Passo 1 — Descobrir a distância percorrida

O corpo parte de 130 m de altura e queremos saber quando chega a 80 m.

d = 130 − 80 = 50 m

Passo 2 — Identificar os dados

Distância percorrida: d = 50 m.

Velocidade inicial para baixo: v₀ = 15 m/s.

Aceleração: g = 10 m/s².

Passo 3 — Aplicar a equação horária

d = v₀t + gt²/2

Substituindo os valores:

50 = 15t + 5t²

Organizando a equação:

5t² + 15t − 50 = 0

Dividindo tudo por 5:

t² + 3t − 10 = 0

Passo 4 — Resolver por Bhaskara

Δ = 3² − 4 × 1 × (−10)

Δ = 9 + 40 = 49

t = (−3 ± √49)/2

t = (−3 ± 7)/2

As raízes são:

t₁ = 2 s; t₂ = −5 s

O tempo negativo não corresponde ao movimento posterior ao lançamento.

Resposta: 2 segundos.

QUESTÃO 14 • APLICAÇÃO

O gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele pode atingir o solo sem se machucar seja de 8 m/s. Desprezando a resistência do ar, qual é a altura máxima de queda para que o gato não ultrapasse essa velocidade?

Ver resolução passo a passo

Consideramos o corpo partindo do repouso, com velocidade final de 8 m/s.

Dados: v₀ = 0; v = 8 m/s; g = 10 m/s².

Aplicamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2gh

Substituindo:

8² = 0 + 2 × 10 × h

64 = 20h

h = 64/20 = 3,2 m

Resposta matemática: 3,2 metros.

Atenção: esse é um resultado de um modelo físico idealizado, não uma garantia de que um gato sobreviverá a uma queda dessa altura. A resistência do ar, a postura do animal e outros fatores não foram considerados.

🎯 Gabarito geral

1. a) 3 s; b) 45 m; c) 6 s; d) −30 m/s.

2. a) 4 s; b) 80 m; c) 8 s; d) −40 m/s.

3. Aproximadamente 47,4 m.

4. a) 60 m/s; b) 180 m.

5. 1 s.

6. a) 4 s; b) 40 m/s para baixo; c) 60 m acima do solo.

7. a) 6 s; b) 60 m/s para baixo.

8. Alternativa D: itens I e II.

9. 80 m/s para baixo.

10. 20 m/s para baixo; 2 s.

11. 240,1 m.

12. a) 80 m; b) 40 m/s.

13. 2 s.

14. 3,2 m, no modelo idealizado.

Orientação de estudo: Não basta memorizar as fórmulas. Identifique os dados do enunciado, escolha a equação adequada, substitua os valores e confira se a unidade do resultado corresponde ao que foi solicitado.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática e Física para aprender, praticar e avançar.

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Lista de Exercícios de Física M.U.V. (FÍSICA) - Interativo

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FÍSICA • ENSINO MÉDIO

Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Lista interativa de exercícios com gráficos, aplicações e resoluções comentadas.

Aprenda as fórmulas, pratique e confira seu raciocínio!

MATEMÁTICA DO PI | Prof. Jonas Portal

📘 Antes de começar

No Movimento Uniformemente Variado (MUV), a aceleração é constante. Isso significa que a velocidade varia igualmente em intervalos de tempo iguais.

Um carro que aumenta sua velocidade em 2 m/s a cada segundo, por exemplo, apresenta aceleração constante de 2 m/s² durante esse intervalo de movimento.

Objetivo: compreender as equações do MUV, interpretar gráficos e resolver problemas envolvendo posição, velocidade, aceleração e tempo.

📌 1. Formulário essencial

Velocidade em função do tempo

v = v₀ + at

Use quando precisar relacionar velocidade, aceleração e tempo.

Posição em função do tempo

s = s₀ + v₀t + at²/2

Use para descobrir a posição após determinado intervalo de tempo.

Equação de Torricelli

v² = v₀² + 2aΔs

É especialmente útil quando o tempo não aparece no problema.

Aceleração média

a = (v − v₀)/t

Para aceleração constante, essa expressão fornece a aceleração do movimento.

Legenda:
s = posição final; s₀ = posição inicial;
Δs = s − s₀ = deslocamento;
v = velocidade no instante considerado;
v₀ = velocidade inicial; a = aceleração; t = tempo.

Atenção às unidades: posição em metros (m), velocidade em m/s, aceleração em m/s² e tempo em segundos (s).

km/h → m/s: dividir por 3,6

m/s → km/h: multiplicar por 3,6

📝 2. Lista de exercícios interativa

Resolva cada questão no caderno antes de abrir a caixa de resposta. Clique em “Ver resolução comentada” para conferir o gabarito e acompanhar os cálculos.

QUESTÃO 01 • CONCEITO

Qual é a principal diferença entre o Movimento Uniforme (MU) e o Movimento Uniformemente Variado (MUV)?

1. No MU, a velocidade varia; no MUV, a velocidade é constante.
2. No MU, a aceleração é constante e diferente de zero.
3. No MU, a velocidade é constante; no MUV, a aceleração é constante.
4. Nos dois movimentos, a velocidade é necessariamente nula.
5. No MUV, a aceleração precisa aumentar com o tempo.

Ver resolução comentada

Alternativa correta: C.

No MU, a velocidade permanece constante e a aceleração é zero. No MUV, a aceleração permanece constante, podendo ser positiva ou negativa, e a velocidade varia uniformemente.

Uma aceleração negativa não significa necessariamente que o corpo esteja diminuindo sua rapidez: isso depende também do sinal da velocidade.

QUESTÃO 02 • EQUAÇÃO HORÁRIA

Um carrinho parte da posição 5 m, com velocidade inicial de 3 m/s e aceleração constante de 4 m/s². Qual é sua função horária da posição?

1. s = 5 + 3t + 4t²
2. s = 5 + 3t + 2t²
3. s = 3 + 5t + 2t²
4. s = 5 + 4t + 3t²
5. s = 5 + 3t + 4t²/2

Ver resolução comentada

Utilizamos a equação horária da posição:

s = s₀ + v₀t + at²/2

Posição inicial: s₀ = 5 m.

Velocidade inicial: v₀ = 3 m/s.

Aceleração: a = 4 m/s².

Substituindo:

s = 5 + 3t + 4t²/2

s = 5 + 3t + 2t²

Resposta: alternativa B.

QUESTÃO 03 • INTERPRETAÇÃO

A posição de um móvel é dada pela função s = 2 + 10t + 3t², no Sistema Internacional. Determine a posição inicial, a velocidade inicial, a aceleração, a função da velocidade e a posição no instante t = 2 s.

Ver resolução comentada

Compare a expressão com a equação geral:

s = s₀ + v₀t + at²/2

a) Posição inicial: s₀ = 2 m.

b) Velocidade inicial: v₀ = 10 m/s.

c) Aceleração: como a/2 = 3, temos a = 6 m/s².

d) Função da velocidade:

v = v₀ + at = 10 + 6t

e) Posição no instante t = 2 s:

s = 2 + 10(2) + 3(2²)

s = 2 + 20 + 12 = 34 m

Respostas: s₀ = 2 m; v₀ = 10 m/s; a = 6 m/s²; v = 10 + 6t; s(2) = 34 m.

QUESTÃO 04 • CONVERSÃO DE UNIDADES

Um móvel parte do repouso e apresenta aceleração constante de 0,8 m/s². Qual velocidade ele atinge após 2 minutos e 5 segundos, expressa em km/h?

Ver resolução comentada

Primeiro, convertemos o tempo para segundos:

t = 2 × 60 + 5 = 125 s

Como o móvel parte do repouso, v₀ = 0.

Aplicando v = v₀ + at:

v = 0 + 0,8 × 125 = 100 m/s

Agora convertemos para km/h:

v = 100 × 3,6 = 360 km/h

Resposta: 360 km/h.

Observação: trata-se de um exercício matemático idealizado. Não representa uma recomendação de velocidade para circulação em vias públicas.

QUESTÃO 05 • EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

A posição de um móvel é dada por s = −30 + 5t + 5t², com s em metros e t em segundos.

Determine:

1. O instante em que o móvel passa pela origem.
2. A posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração.
3. A função horária da velocidade.
4. A posição no instante t = 2 s.

Ver resolução comentada

a) Passagem pela origem: fazemos s = 0.

−30 + 5t + 5t² = 0

Dividindo toda a equação por 5:

t² + t − 6 = 0

Fatorando:

(t + 3)(t − 2) = 0

As raízes são t = −3 s e t = 2 s.

Como o enunciado considera t > 0, utilizamos t = 2 s.

b) Comparação dos coeficientes:

s₀ = −30 m; v₀ = 5 m/s; a/2 = 5

Portanto, a = 10 m/s².

c) Função da velocidade:

v = 5 + 10t

d) Posição em t = 2 s:

s = −30 + 5(2) + 5(2²)

s = −30 + 10 + 20 = 0 m

Respostas: 2 s; s₀ = −30 m; v₀ = 5 m/s; a = 10 m/s²; v = 5 + 10t; s(2) = 0 m.

QUESTÃO 06 • ESTILO VESTIBULAR

Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo com aceleração constante de 2,0 m/s². Quais são, respectivamente, a velocidade e o deslocamento após 3,0 segundos?

1. 6,0 m/s e 9,0 m.
2. 6,0 m/s e 18 m.
3. 3,0 m/s e 12 m.
4. 12 m/s e 35 m.
5. 2,0 m/s e 12 m.

Ver resolução comentada

Dados: v₀ = 0; a = 2 m/s²; t = 3 s.

Velocidade:

v = 0 + 2 × 3 = 6 m/s

Deslocamento:

Δs = v₀t + at²/2

Δs = 0 + 2 × 3²/2 = 9 m

Resposta: alternativa A.

QUESTÃO 07 • EQUAÇÃO DE TORRICELLI

Uma motocicleta desenvolve aceleração constante de 10 m/s². Ela percorre 500 m em linha reta e chega ao final do percurso com velocidade de 100 m/s. Qual era sua velocidade inicial?

1. 0 m/s.
2. 5 m/s.
3. 10 m/s.
4. 15 m/s.
5. 20 m/s.

Ver resolução comentada

Dados: v = 100 m/s; a = 10 m/s²; Δs = 500 m.

Aplicamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2aΔs

100² = v₀² + 2 × 10 × 500

10.000 = v₀² + 10.000

v₀² = 0

Logo, v₀ = 0 m/s.

Resposta: alternativa A.

O resultado mostra que, nas condições idealizadas do problema, o móvel parte do repouso.

QUESTÃO 08 • FUNÇÃO DA VELOCIDADE

A função horária da posição de um móvel é s = 8 − 4t + t², no Sistema Internacional. Qual é a função horária da velocidade?

1. v = 8 − 4t.
2. v = −4 + 2t.
3. v = −4 + 2t².
4. v = 8 + t².
5. v = 8t − 4t² + t³.

Ver resolução comentada

Comparamos com a equação geral:

s = s₀ + v₀t + at²/2

Temos v₀ = −4 m/s e a/2 = 1, portanto a = 2 m/s².

Usando v = v₀ + at:

v = −4 + 2t

Resposta: alternativa B.

QUESTÃO 09 • PASSAGEM PELA ORIGEM

A posição de uma partícula é dada por s = −12 − 4t + t², no Sistema Internacional. Em que instante positivo ela passa pela origem das posições?

Ver resolução comentada

Na origem, s = 0:

t² − 4t − 12 = 0

Fatorando:

(t − 6)(t + 2) = 0

As raízes são t = 6 s e t = −2 s.

O instante positivo é t = 6 s.

Resposta: 6 segundos.

QUESTÃO 10 • APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES

Um corpo realiza MUV segundo a função s = 4 − 2t + 3t², com grandezas no SI.

Determine a função horária da velocidade e a posição em t = 3 s.

Ver resolução comentada

Comparando com s = s₀ + v₀t + at²/2:

s₀ = 4 m; v₀ = −2 m/s; a = 6 m/s²

A função da velocidade é:

v = −2 + 6t

Para t = 3 s:

s = 4 − 2(3) + 3(3²)

s = 4 − 6 + 27 = 25 m

Respostas: v = −2 + 6t; s(3) = 25 m.

QUESTÃO 11 • LEITURA DE GRÁFICO

O gráfico representa a velocidade de uma partícula em função do tempo. Considere que a velocidade varia linearmente de 6 m/s, no instante inicial, para 12 m/s, no instante t = 2 s.

Determine:

1. A velocidade inicial.
2. A aceleração escalar.
3. A função horária da velocidade.
4. O deslocamento entre 0 e 2 segundos.

Ver resolução comentada

a) Velocidade inicial:

É o valor da velocidade quando t = 0.

v₀ = 6 m/s

b) Aceleração:

A aceleração é a inclinação da reta no gráfico v × t.

a = (12 − 6)/(2 − 0) = 3 m/s²

c) Função horária da velocidade:

v = v₀ + at

v = 6 + 3t

d) Deslocamento:

Em um gráfico de velocidade pelo tempo, o deslocamento corresponde à área algébrica sob o gráfico.

Como a velocidade é positiva em todo o intervalo, o deslocamento é a área do trapézio:

Δs = (B + b)h/2

Δs = (12 + 6) × 2/2 = 18 m

Respostas: 6 m/s; 3 m/s²; v = 6 + 3t; deslocamento = 18 m.

QUESTÃO 12 • SITUAÇÃO COTIDIANA

Um automóvel está se deslocando em linha reta com velocidade inicial de 4 m/s. A partir de determinado instante, sua aceleração passa a ser constante e igual a 2 m/s². Qual será sua velocidade após 5 s e qual será o deslocamento nesse intervalo?

Ver resolução comentada

Velocidade final:

v = v₀ + at

v = 4 + 2 × 5 = 14 m/s

Deslocamento:

Δs = v₀t + at²/2

Δs = 4 × 5 + 2 × 25/2

Δs = 20 + 25 = 45 m

Resposta: velocidade final de 14 m/s e deslocamento de 45 m.

QUESTÃO 13 • FRENAGEM

Um veículo se desloca em linha reta a 20 m/s. Ao iniciar a frenagem, passa a apresentar aceleração constante de −4 m/s² até parar. Admitindo essas condições ideais, determine o tempo de frenagem e o deslocamento durante esse intervalo.

Ver resolução comentada

1. Tempo para parar:

Quando o veículo para, v = 0.

v = v₀ + at

0 = 20 − 4t

t = 5 s

2. Deslocamento durante a frenagem:

v² = v₀² + 2aΔs

0 = 20² + 2(−4)Δs

0 = 400 − 8Δs

Δs = 50 m

Resposta: tempo de 5 s e deslocamento de 50 m.

A distância real de frenagem depende de fatores como condições da pista, pneus, freios e tempo de reação do condutor.

QUESTÃO 14 • DESAFIO

Um móvel tem velocidade inicial de 8 m/s e aceleração constante de −2 m/s². Considerando o movimento no intervalo de 0 a 4 s, determine:

1. A função horária da velocidade.
2. O instante em que a velocidade se torna zero.
3. O deslocamento entre 0 e 4 s.

Ver resolução comentada

a) Função da velocidade:

v = v₀ + at

v = 8 − 2t

b) Instante em que v = 0:

0 = 8 − 2t

t = 4 s

c) Deslocamento:

Δs = v₀t + at²/2

Δs = 8 × 4 + (−2 × 4²)/2

Δs = 32 − 16 = 16 m

Respostas: v = 8 − 2t; velocidade zero em 4 s; deslocamento de 16 m.

Nesse intervalo, a velocidade é positiva até o instante final. Portanto, o móvel diminui sua rapidez sem inverter o sentido do movimento antes de t = 4 s.

🎯 3. Resumo para revisar antes da prova

1. Velocidade constante significa aceleração nula.

2. No MUV, a aceleração é constante.

3. Na função s = s₀ + v₀t + at²/2, o coeficiente de t² é a/2, não a.

4. No gráfico v × t, a inclinação da reta representa a aceleração.

5. No gráfico v × t, a área algébrica representa o deslocamento.

6. Se a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal, o módulo da velocidade aumenta.

7. Se velocidade e aceleração têm sinais opostos, o módulo da velocidade diminui naquele instante.

8. Para converter m/s em km/h, multiplique por 3,6.

9. Para converter km/h em m/s, divida por 3,6.

10. A equação de Torricelli relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem utilizar o tempo explicitamente.

Desafio final: escolha três exercícios que você errou, refaça as contas sem consultar as soluções e explique, com suas próprias palavras, por que escolheu cada fórmula.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática e Física para aprender, praticar e avançar.

Prof. Jonas Portal

Estude. Pratique. Compreenda.

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Exercícios – Relações Métricas e trigonométricas

1- Problemas Pitagóricos.

Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C.

O Teorema de Pitágoras, diz que “Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” (a² = b² + c²).

Os primeiros problemas que se conhecem onde esta relação é utilizada remontam ao 2º milênio a.C. e aparecem na civilização Babilônica.

O problema a seguir foi proposto de forma semelhante em 1568, pelo alemão Peter Van Halle.

Temos uma Torre de 40m de altura, na qual está apoiada uma escada separada da torre por um lago de 30m de comprimento. Pergunta-se: qual o comprimento da escada?

2- Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, representado na figura abaixo, calcule os valores desconhecidos (x, m, n e h).

3- Considerando o triângulo retângulo abaixo, podemos afirmar que o valor de x é:

a) 3  b) c) 9   d) 6   e) 1/3

 

4- O valor de y no triângulo abaixo é: a)   b)   c) d) ½   e) 4

5- Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada, em metros? a) 2 m   b) 4 m   c) 6 m   d) 8 m   e) 10 m

DESAFIO

Sr Portal desenhou um triângulo retângulo e, fazendo alguns cálculos, descobriu que as raízes da equação do 2º grau x² - 14x + 48 = 0 expressam, em centímetros, as medidas dos catetos desse triângulo. Com os valores encontrados, calculou o valor da hipotenusa e ainda o perímetro do triângulo.

Qual o valor da hipotenusa e do perímetro que o Sr Portal encontrou?

Lista de Exercícios – Função do 1º Grau

1- A função inversa da função bijetora f:IR-{-4} e f­^-1:IR-{2}, definida por é:

a) y -1 = (x + 4)/(2x +3) b) y-1 = (x - 4)/(2x - 3) c) y -1 = (4x + 3 )/(2 - x) d) y -1 = (4x + 3 )/(x - 2) e) y -1 = (4x + 3)/(x + 2)

2- Obtenha a lei da função do 1º grau sendo dado:
a) f(-1) = 2 e f(2) = -1.

b) f(-1) = 0 e f(3)=2

3-Faça o estudo do sinal das funções do 1º grau:

a) y = 3x – 2

b) y = –2x + 1

4- Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$ 80,00, mais uma mensalidade de R$ 50,00. Nestas condições, pode-se afirmar que a função que representa os gastos de um aluno em relação aos meses de aula e o valor gasto por um aluno que nos seis primeiros meses de aula será:

a) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 530,00

b) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 380,00

c) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 380,00

d) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 530,00

e) f(x) = 50,00.x + 30,00 e R$ 380,00

5- Construa o gráfico das funções de 1º grau abaixo:

a) y = 2x-6 b) y = -2x-3 c) y = 3x+4

6- Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)).

7- (PRISE 98) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, então:

a) Y = 100x b) Y = 5x -100 c) Y = 3x -100 d) Y = 2x -100

8- Para resolver problemas de computador, foram contatados os serviços de um técnico em computação. Em seus honorários, o técnico cobra R$ 20,00 a hora trabalhada, acrescida da taxa de visita de R$ 30,00. Sabe-se que, para resolver o problema, o técnico trabalhou x horas e recebeu a quantia R(x). Então:

a) R(x) = 30x + 20 b) R(x) = 20x + 30 c) R(x) = 10x

d) R(x) = 30x – 20

9- (UEPA) Um pequeno comerciante investiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por:

a) L(x) = 300 - 8x b) L(x) = 8x + 300 c) L(x) = 8x - 300 d) L(x) = 8x e) L(x) = - 8x - 300

10- O custo total de produção de um determinado produto é representado pela função C(x) = x + 20, em que C é o custo ( em reais ) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 10 unidades

b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 3.600,00

c) O gráfico que representa essa função.

11- Uma loja no centro de São Miguel aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da maquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é:

12- Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico está representado abaixo:

13- Determine o domínio e a imagem da função representada no gráfico abaixo: