ENQ PROFMAT - QUESTÃO COMENTADA - MA11 NÚMERO E FUNÇÕES REAIS - DENSIDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS

ENQ/PROFMAT – Questão Comentada #01

Área: MA11 – Números e Funções

Conteúdos abordados:

• Funções Monótonas (Crescentes);
• Densidade dos números racionais;
• Teorema do Confronto (Sanduíche);
• Demonstrações em Análise Real.

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❓ Questão

Seja

$$ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $$

uma função crescente.

Sabe-se que existem constantes reais \(a\) e \(b\) tais que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{Q}. $$

Prove que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$

Em outras palavras, mostre que a igualdade continua válida mesmo quando \(x\) é irracional.

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Seja \(x\in\mathbb R\).

Caso 1

Se \(x\in\mathbb Q\), então a conclusão é imediata, pois o enunciado afirma que

$$ f(x)=ax+b. $$

Caso 2

Suponha agora que \(x\) seja irracional.

Pela densidade dos números racionais em \(\mathbb R\), existem duas sequências de números racionais

$$ (p_n)\quad\text{e}\quad(q_n) $$

tais que

$$ p_ne

$$ p_n\longrightarrow x, \qquad q_n\longrightarrow x. $$

Como \(f\) é crescente, segue que

$$ f(p_n)\le f(x)\le f(q_n). $$

Mas \(p_n\) e \(q_n\) são racionais. Logo,

$$ f(p_n)=ap_n+b $$

e

$$ f(q_n)=aq_n+b. $$

Assim,

$$ ap_n+b \le f(x) \le aq_n+b. $$

Fazendo \(n\to\infty\), obtemos

$$ ap_n+b\longrightarrow ax+b, $$

e

$$ aq_n+b\longrightarrow ax+b. $$

Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que

$$ f(x)=ax+b. $$

Como \(x\) foi tomado arbitrariamente, segue que

$$ \boxed{ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb R. } $$

Fim da demonstração. □

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Ideia da Questão

Observe que o problema combina três conceitos fundamentais da Análise Real:

1. A densidade dos números racionais em \(\mathbb R\);
2. O fato de funções crescentes preservarem desigualdades;
3. O Teorema do Confronto para determinar exatamente o valor de \(f(x)\).

Esse tipo de demonstração é bastante frequente no ENQ/PROFMAT, pois exige maturidade matemática e domínio das propriedades da reta real.

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📖 O que revisar após resolver esta questão?

• ✔ Densidade de \(\mathbb Q\);
• ✔ Funções crescentes e decrescentes;
• ✔ Sequências convergentes;
• ✔ Teorema do Confronto;
• ✔ Demonstrações envolvendo ordem em \(\mathbb R\).

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Desafio: Você conseguiria resolver essa questão sem utilizar sequências, apenas utilizando a propriedade do supremo e do ínfimo?

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