OBMEP – 2009 – QUESTÃO 10

Achei muito bom esse desafio. E finalmente, depois de muito pensar encontrei a solução deste problema.

- Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam?

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

SOLUÇÃO:

Muito bem,

De início devemos lembrar que 1 volta completa na circunferência vale 360º

Chamamos:

f₁ : Formiga 1: V₁ : Velocid. de f₁ S₁: espaço percorrido por f₁

f₂ : Formiga 2: V₂ : Velocid. de f₂ S₂: espaço percorrido por f₂

f₁ é mais rápido que f₂ , então temos: V₂ = 6/9 V₁ => V₂ = 2/3V₁

Precisamos encontrar o instante t do encontro entre elas. Para isso vou abrir a circunferência:

f₁ ---------------------------------------------------f₂
0----------------------------------------------------__-360º

Enquanto f₁ percorre 360º, f₂ percorre 2/3 de 360º = 240º

S₁ = 0 + 360t e S₂ = 360 – 240t

No momento do encontro, teremos S₁ = S₂

360t = 360-240t

360t + 240t = 360

600t = 360

t = 360/600 = 3/5 ( significa que 3/5 de tempo depois da partida (origem) elas se encontraram)

Para saber onde se deu o 1º encontro basta substituir 3/5 em:

S₁ = 360*t = 360*3/5 = 216º , ou S₂ = 360-240t = 360-240*3/5 = 216º

Então, as formiguinhas voltam a se encontrar a cada 216º sempre contando da origem.

1º Encontro: 216º a partir da origem

2º Encontro: 216º + 216º = 2*216º = 432º (ou ainda, 1 volta(360º) + 72º)

3º Encontro: 432º + 216º = 3*216º = 648º ( 1 volta(1*360º) + 288º)

4º Encontro: 648+ 216º = 4*216º = 864º ( 2 voltas(2*360º) + 144º)

5º Encontro: 864+216º = 5*216º = 1080º ( 3 voltas completas= 3*360º ), ou seja deu na origem , de onde partiram.

6º Encontro: 1080º + 216º = 6*216 = 1296º ( 3 voltas + 216º)

Então, meus caros, significa que as duas formiguinhas voltaram a se encontrar no ponto onde se deu o 1º encontro. E a partir daí os pontos de encontro começam a se repetir.

Portanto, as formiguinhas se encontram em apenas 5 pontos distintos, letra d)

Dicas e Truques de Matemática

Muitas vezes precisamos dar respostas rápidas para problemas e temos que ficar "batendo" a cabeça pra encontrar o resultado de uma multiplicação ou Divisão.
Então aqui vai lgumas dicas pra quem quer fazer cálculos mentais rápidos.

1) Divisão por 5
Para dividir um Número N qualquer por 5, basta multiplicá-lo por dois ( ou seja, o DOBRO) e dividir por 10 (ou seja volta uma casa com a vírgula).

Ex: 320 dividido por 5.
Temos: o dobro de 320 é 640, voltando uma casa com a vírgula temos 64.

Ex2: 43 divido por 5.
O Dobro 86, então voltando uma casa temos: 8,6


2) Multiplicação por 5
Para multiplicar um Número N qualquer por 5, basta dividi-lo por dois ( ou seja, a metade) e multiplicar por 10 (andar com a vírgula para a direita).

Ex: 5 x 46 = (46/2)x10 = 23x10 = 230

Ex2: 75x5 = 37,5 x 10 = 375 ( Veja que 37,5 é metade de 75, blz!!)


3) Soma de um número N por 9, 99 , 999, etc.
Para somar qualquer número por 9, 99, 999, 9999, ... basta somar por 10, 100, 1000, 1000, respectivamente e subtrair 1.

Ex:
165 + 9 = 165 + (10) = 175-1 = 174 , perceba q foi somado 10 e diminuído 1 no final, o mesmo se repete nos outros exemplos.
178 + 99 = 178+(100) = 278 - 1 = 277
1463+ 99 = 1463 + (100) = 1563 - 1 = 1562

4) Soma de números quase consecutivos:

Para fazer a soma de dois números quase consecutivos, como 12 e 14, basta dobrarmos o número intermediário.

12 + 14 => 13 + 13 = 26 124 + 126 => 125+125 = 250

5) Decomposição de somas:
Algumas vezes, para somar, se torna mais fácil decompor o número em parcelas mais simples.
Por exemplo: 123 + 57
=> (120+3) + (50 + 7) = (120 + 50) + ( 3 +7) = 170 +10 = 180
É lógico q tudo isso é feito na "mente" de forma rápida, ok!!!!!!!

6) Cálculo Mental com DECIMAIS
Os números decimais são o TERROR de nossos alunos. Eles simplesmente ñ sabem o q fazer.Mas dou as dicas seguintes:

(((Vc soma normalmente e acrescenta e vírgula no final))))

Ex.: 1,3 + 2,6 calculamos assim 13+26 = 39, agora é só acrescentar a vírgula e obtemos 3,9.

12,4 + 1,3 calculamos assim 124+13 = 137, agora acrescenta a vírgula e obtemos 13,7

Outro Com SUBTRAÇÃO

2,3 - 1,5 segue o mesmo raciocínio 23 -15 = 8, daí temos 0,8

14,6 - 2,4 temos, então 146 - 24 = 122, daí temos 12,2

então blz ,
...to be continued!!!!!!!!!!!!

Matemática do Mendigo

Foi um estagiário que elaborou essa pesquisa, ao qual dou os devidos créditos e os parabéns muito sincero pois o resultado que ele conseguiu obter é a mais pura realidade.

Preste atenção...

Um sinal de trânsito muda de estado em média a cada 30 segundos (trinta segundos no vermelho e trinta no verde).

Então, a cada minuto um mendigo tem 30 segundos para faturar pelo menos R$ 0,10, o que numa hora dará: 60 x 0,10 = R$6,00.

Se ele trabalhar 8 horas por dia, 25 dias por mês, num mês terá faturado: 25 x 8 x 6 = R$ 1.200,00. Será que isso é uma conta maluca?

Bom, 6 reais por hora é uma conta bastante razoável para quem está no sinal, uma vez que, quem doa nunca dá somente 10 centavos e sim 20, 50 e às vezes até 1,00.

Mas, tudo bem, se ele faturar a metade: R$ 3,00 por hora terá R$600,00 no final do mês, que é o salário de um estagiário com carga de 35 horas semanais ou 7 horas por dia.

Ainda assim, quando ele consegue uma moeda de R$1,00 (o que não é raro), ele pode descansar tranqüilo debaixo de uma árvore por mais 9 viradas do sinal de trânsito, sem nenhum chefe pra 'encher o saco' por causa disto.

Mas considerando que é apenas teoria, vamos ao mundo real.

De posse destes dados fui entrevistar uma mulher que pede esmolas, e que sempre vejo trocar seus rendimentos na Panetiere (padaria em frente ao CEFET ). Então lhe perguntei quanto ela faturava por dia. Imagine o que ela respondeu?

É isso mesmo, de 35 a 40 reais em média o que dá (25 dias por mês) x 35 = 875 ou 25 x 40 = 1000, então na média R$ 937,50 e ela disse que não mendiga 8 horas por dia.

Moral da História :
É melhor ser mendigo do que estagiário (e muito menos PROFESSOR), e pelo visto, ser estagiário e professor, é pior que ser Mendigo...

Se esforce como mendigo e ganhe mais do que um estagiário ou um professor.

Estude a vida toda e peça esmolas; é mais fácil e melhor que arrumar emprego.

E lembre-se:
Mendigo não paga 1/3 do que ganha pra sustentar um bando de ladrão.

Viva a Matemática!

Que país é esse?

Profissão de Professor

Ser professor, de escola pública ou particular, é uma árdua tarefa. As cobranças são muitas, as críticas são constantes, e o q é mais sério é saber q a sociedade mudou e atingiu um nível de banalização da educação, como nunca se viu, e quando me refiro à educação ñ estou falando simplesmente no sentido do que é aprendido nas escolas, falo de valores morais e humanos, principalmente o respeito, a dignidade e o amor ao próximo que não dependem da situação social do indivíduo, seja rico ou pobre, pois estes se aprendem em casa. Diante disso, percebo a cada dia que a angústia de nós professores surge não apenas pelos baixos salários ou pela falta de políticas governamentais que façam da educação algo primordial, mas talvez se justifique pela forma como, muitas vezes, somos tratados dentro das salas de aula. Quantas barbáries vemos e ouvimos de nossos educandos, que por ignorância acham q somos uma máquina que deve suportar sempre com muito bom humor as suas atrocidades. Creio que nossos alunos refletem uma sociedade alterada pelo consumismo exacerbado e pela liberdade sem limites que muitas famílias adotam.
Em conversa com certo amigo pude notar que por mais que não se queira assumir ou se pretenda desvalorizar a sua importância, temos certeza de que há um problema grave nas escolas ligado ao controle dos alunos, designadamente nas próprias salas de aulas, pois se nas aulas não conseguirmos criar as condições necessárias a que se favoreça a aprendizagem, o resultado é líquido e certo: frustração para professor e aluno.
O certo é que queremos ser valorizados pelo que somos e fazemos, pois abraçamos a causa com louvor e merecemos ao menos um "OBRIGADO PROFESSOR", simples e sincero, afinal, o advogado é chamado de doutor, o Engenheiro é muito bem remunerado, e há de se Lembrar que todos passaram pelas mãos "calejadas" do professor. E termino por me questionar: o que seria da sociedade se os professores se extinguissem?