OBMEP – 2009 – QUESTÃO 10

Achei muito bom esse desafio. E finalmente, depois de muito pensar encontrei a solução deste problema.

- Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam?

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

SOLUÇÃO:

Muito bem,

De início devemos lembrar que 1 volta completa na circunferência vale 360º

Chamamos:

f₁ : Formiga 1: V₁ : Velocid. de f₁ S₁: espaço percorrido por f₁

f₂ : Formiga 2: V₂ : Velocid. de f₂ S₂: espaço percorrido por f₂

f₁ é mais rápido que f₂ , então temos: V₂ = 6/9 V₁ => V₂ = 2/3V₁

Precisamos encontrar o instante t do encontro entre elas. Para isso vou abrir a circunferência:

f₁ ---------------------------------------------------f₂
0----------------------------------------------------__-360º

Enquanto f₁ percorre 360º, f₂ percorre 2/3 de 360º = 240º

S₁ = 0 + 360t e S₂ = 360 – 240t

No momento do encontro, teremos S₁ = S₂

360t = 360-240t

360t + 240t = 360

600t = 360

t = 360/600 = 3/5 ( significa que 3/5 de tempo depois da partida (origem) elas se encontraram)

Para saber onde se deu o 1º encontro basta substituir 3/5 em:

S₁ = 360*t = 360*3/5 = 216º , ou S₂ = 360-240t = 360-240*3/5 = 216º

Então, as formiguinhas voltam a se encontrar a cada 216º sempre contando da origem.

1º Encontro: 216º a partir da origem

2º Encontro: 216º + 216º = 2*216º = 432º (ou ainda, 1 volta(360º) + 72º)

3º Encontro: 432º + 216º = 3*216º = 648º ( 1 volta(1*360º) + 288º)

4º Encontro: 648+ 216º = 4*216º = 864º ( 2 voltas(2*360º) + 144º)

5º Encontro: 864+216º = 5*216º = 1080º ( 3 voltas completas= 3*360º ), ou seja deu na origem , de onde partiram.

6º Encontro: 1080º + 216º = 6*216 = 1296º ( 3 voltas + 216º)

Então, meus caros, significa que as duas formiguinhas voltaram a se encontrar no ponto onde se deu o 1º encontro. E a partir daí os pontos de encontro começam a se repetir.

Portanto, as formiguinhas se encontram em apenas 5 pontos distintos, letra d)

Dicas e Truques de Matemática

Muitas vezes precisamos dar respostas rápidas para problemas e temos que ficar "batendo" a cabeça pra encontrar o resultado de uma multiplicação ou Divisão.
Então aqui vai lgumas dicas pra quem quer fazer cálculos mentais rápidos.

1) Divisão por 5
Para dividir um Número N qualquer por 5, basta multiplicá-lo por dois ( ou seja, o DOBRO) e dividir por 10 (ou seja volta uma casa com a vírgula).

Ex: 320 dividido por 5.
Temos: o dobro de 320 é 640, voltando uma casa com a vírgula temos 64.

Ex2: 43 divido por 5.
O Dobro 86, então voltando uma casa temos: 8,6


2) Multiplicação por 5
Para multiplicar um Número N qualquer por 5, basta dividi-lo por dois ( ou seja, a metade) e multiplicar por 10 (andar com a vírgula para a direita).

Ex: 5 x 46 = (46/2)x10 = 23x10 = 230

Ex2: 75x5 = 37,5 x 10 = 375 ( Veja que 37,5 é metade de 75, blz!!)


3) Soma de um número N por 9, 99 , 999, etc.
Para somar qualquer número por 9, 99, 999, 9999, ... basta somar por 10, 100, 1000, 1000, respectivamente e subtrair 1.

Ex:
165 + 9 = 165 + (10) = 175-1 = 174 , perceba q foi somado 10 e diminuído 1 no final, o mesmo se repete nos outros exemplos.
178 + 99 = 178+(100) = 278 - 1 = 277
1463+ 99 = 1463 + (100) = 1563 - 1 = 1562

4) Soma de números quase consecutivos:

Para fazer a soma de dois números quase consecutivos, como 12 e 14, basta dobrarmos o número intermediário.

12 + 14 => 13 + 13 = 26 124 + 126 => 125+125 = 250

5) Decomposição de somas:
Algumas vezes, para somar, se torna mais fácil decompor o número em parcelas mais simples.
Por exemplo: 123 + 57
=> (120+3) + (50 + 7) = (120 + 50) + ( 3 +7) = 170 +10 = 180
É lógico q tudo isso é feito na "mente" de forma rápida, ok!!!!!!!

6) Cálculo Mental com DECIMAIS
Os números decimais são o TERROR de nossos alunos. Eles simplesmente ñ sabem o q fazer.Mas dou as dicas seguintes:

(((Vc soma normalmente e acrescenta e vírgula no final))))

Ex.: 1,3 + 2,6 calculamos assim 13+26 = 39, agora é só acrescentar a vírgula e obtemos 3,9.

12,4 + 1,3 calculamos assim 124+13 = 137, agora acrescenta a vírgula e obtemos 13,7

Outro Com SUBTRAÇÃO

2,3 - 1,5 segue o mesmo raciocínio 23 -15 = 8, daí temos 0,8

14,6 - 2,4 temos, então 146 - 24 = 122, daí temos 12,2

então blz ,
...to be continued!!!!!!!!!!!!