quinta-feira, 4 de fevereiro de 2010

Outras Séries Infinitas

De modo geral meus caros, uma Série Infinita refere-se a uma expressão da forma
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... onde  esses an ’s são números(termos) dados por uma fórmula ou determinada regra. As reticências indicam que a série é infinita. Então, um termo geral é escrito como nos exemplos abaixo:
  
 12 + 22 + 32 + ... + n2 + ...                 (I)
 
(II)


 
Uma série também pode ser escrita de forma abreviada usando o sinal de somatório: 
 
 

quarta-feira, 3 de fevereiro de 2010

Outras Séries Infinitas

De modo geral meus caros, uma Série Infinita refere-se a uma expressão da forma
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... onde  esses an ’s são números(termos) dados por uma fórmula ou determinada regra. As reticências indicam que a série é infinita. Então, um termo geral é escrito como nos exemplos abaixo:
  
 12 + 22 + 32 + ... + n2 + ...                 (I)
 
(II)


 
Uma série também pode ser escrita de forma abreviada usando o sinal de somatório: 
 
 

terça-feira, 2 de fevereiro de 2010

SÉRIE GEOMÉTRICA INFINITA

São exemplos de séries geométricas:

(I)     2, 4, 8, 16, 32,  ...
(II)     1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, ...
(III)     a, ar, ar2, ar3, ...

O exemplo (I) pode representar uma população de bactérias em intervalos de tempo iguais numa cultura sem limites.
O exemplo (II) pode representar a altura que uma bola salta ao bater sucessivamente numa superfície horizontal. 

I - Série Divergente: |q|>1 e a1 ≠ 0
A série é chamada divergente quando a soma dos seus termos não é definida ou o seu limite tende ao infinito (+∞ ou -∞).

Vejamos a PG infinita (5, 52, 53, 54, ...)
Vamos observar as somas de seus termos:
 
Quanto maior é o número de termos, maior é a soma. Para infinitos termos é intuitivo que a soma tende a infinito.
Então para a1>0 e q >1 , temos:
Da mesma forma, em (-3, -6,-12, ...).
 À medida que o número de termos aumenta, a soma diminui ( aumenta em valor absoluto). Para a1<0 e q >1:
II - Série Convergente: |q|<1
 A soma dos infinitos termos converge para um valor infinito.
Ex.: Seja a PG infinita

em que a1=1/2 e q =1/2. 


 Você observa que à medida que a ordem do termo aumenta, o valor do termo diminui, tendendo a zero.
 Vamos analisar o Segmento AB abaixo cuja medida é igual a 1, e o que acontece com a soma dos seus infinitos termos:
 
AC = 1/2
CD = 1/4
DE = 1/8
EF = 1/16
As medidas dos segmentos AC, CD, DE, EF, etc. são, nessa ordem, os termos da PG. À medida que aumenta a quantidade de segmentos, sua soma mais se aproxima do segmento AB. Portanto, dizemos que o limite da soma dos infinitos termos da PG é igual a 1.
 Ou seja:
É daqui que chegaremos àquela fórmula famosinha da Soma dos termos de uma PG infinita q vemos no ensino médio.
Pois se |q| < 1, o número qn tende a zero, quando n tende a infinito.
Então na expressão
Podemos desprezar a parcela a1.qn

Escrevemos a bendita fórmula, da seguinte forma:


quinta-feira, 28 de janeiro de 2010

Aos Nerds de Plantão - Desafio do Pescador

Problema especial para quem gosta de desafios em alto nível. Só nerds conseguirão resolver!! Mas seja honesto, não pesquise no google a solução!!
"Um pescador tenta pescar um cardume jogando diversas redes na água. Se cair exatamente um peixe em cada rede, salvam-se ainda n peixes. Se cairem n peixes em cada rede, sobram n redes vazias. Quantas são as redes? Quantos são os peixes?"

terça-feira, 26 de janeiro de 2010

Coordenadas Esféricas

As coordenadas cartesianas ( x , y e z ) são apropriadas para a descrição de uma variedade de problemas, porém, existem muitos outros casos para os quais estas coordenadas são inadequadas.
Agora, para se localizar um ponto no espaço sem usar as coordenadas cartesianas x , y e z   torna-se possível especificando as coordenadas esféricas.


A relação entre as coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas é dada por:

 
Este sistema coordenado é denominado sistema coordenado esférico porque o gráfico da equação r = c = constante é uma esfera de raio c centrado na origem.
Algumas vezes precisamos usar a transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas:






terça-feira, 19 de janeiro de 2010

Nó em Feixe de Luz - Cientistas

 ...E então os cientistas conseguiram a façanha de dá um nó em um feixe de luz.

 Essa experiência inédita foi possível graças a hologramas e à aplicação de teoria da matemática abstrata.


(Foto: Universidade de Bristol/Divulgação)
  Uma equipe de físicos britânicos conseguiu dar vários nós em feixes de luz, em uma experiência inédita relatada em artigo na revista científica "Nature Physics".

Segundo o especialistas, o feito foi possível graças à chamada "Teoria dos Nós", um ramo da matemática abstrata inspirado nos nós cotidianos, como os de cordas e sapatos.
 

"Em um feixe, o fluxo de luz no espaço é semelhante ao das águas de um rio", explicou Mark Dennis, da Universidade de Bristol e principal autor do estudo. "Apesar de correr em uma linha reta, a luz também pode fluir em voltas e redemoinhos, formando linhas no espaço chamadas de vórtices ópticos."

"Ao longo desses vórtices, a intensidade da luz é zero. Toda a luz à nossa volta é cheia dessas linhas negras, apesar de não podermos vê-las", disse.

Laser
Vórtices ópticos podem ser criados com hologramas que direcionam o fluxo de luz.

Neste estudo, a equipe desenhou hologramas usando a teoria dos nós. E com esses hologramas, conseguiram criar nós em vórtices ópticos.
 

Para os cientistas, a compreensão de como controlar a luz tem importantes implicações para a tecnologia a laser usada em vários campos, da medicina à indústria.

"O sofisticado desenho de hologramas necessário para a nossa experiência mostra um avançado controle óptico, o que pode sem dúvida vir a ser usado em futuros aparelhos a laser", disse Miles Padgett, da Universidade de Glasgow.

Fonte: g1.globo.com

domingo, 17 de janeiro de 2010

Problemas Inteligentes

I - Um pai distribuiu um número x de maçãs a seus 3 filhos, de sorte que:


1) ao filho mais velho coube metade das maçãs mais meia maçã;

2) ao filho do meio, metade das maçãs que sobraram mais meia maçã;

3) ao filho mais moço, metade das maçãs que restaram das duas distribuições anteriores, mais meia maçã;

4) ao próprio pai coube uma maçã.


Calcular o número x de maçãs.

quinta-feira, 14 de janeiro de 2010

Números Mundiais - Dados Estatísticos

Alguns números estatísticos valiosos que muitas vezes não sabemos e nem temos tempo para pesquisar...

Países: 268 nações e áreas dependentes
População: 6.379.157.361
Renda per capita: US$ 8.200
Crescimento populacional: 1.14%
Alfabetização: 77%

Religiões:
Cristianismo 32.71%, islamismo 19.67%, hinduísmo 13.28%, budismo 5.84%, judaísmo 0.23%. Outras religiões 13.05%, não religiosos 12.43% e ateísmo 2.41%

Área: 510.072.000 km²
Clima: Duas grandes regiões polares separadas por duas estreitas zonas de temperaturas formam uma larga banda equatorial de climas tropical e subtropical.

Altitude das Montanhas: Metros
8.848 -Monte Everest (Qomolangma Feng) China, Nepal
8.611 - K2 (Qogir Feng) China, Índia, Paquistão
8.598 - Kangchenjunga Índia, Nepal
8.481 - Makalu China, Nepal
8.217 - Cho Oyu China, Nepal
8.172 - Dhaulagiri Nepal

Rios Mais Extensos: Quilômetro (km)
6.992 - Amazonas América do Sul

6.670 - Nilo África
6.380 - Xi-Jiang Ásia
6.019 - Mississipi-Missouri América do Norte
5.570 - Obi-Irtysh Ásia
5.550 - Ienissei-Angara Ásia

Maiores Desertos: Área em km²
8.800.000 - Saara - África
1.300.000 - Gobi - Ásia
1.250.000 - Australiano - Oceania
850.000 - da Arábia - Ásia
580.000 - de Kalahari - África
370.000 - de Chihuahua - Amer. do Norte

Tempo e Clima:
Maior temp. registrada: 58 °C à sombra em Al'Aziziyah, Líbia, em 15 de setembro de 1922
Menor temp. registrada: -88 °C em Vostok, Antártida, no dia 24 de agosto de 1960
Maior chuva: 26.461 mm em Cherrapunji, Índia, entre 1860 e 1861
Local mais seco: Deserto de Atacama, no Chile, com índice pluviométrico de 0.1 mm ao ano.
Maior velocidade de vento: 371 km/h em Monte Washington, EUA, em 1934

Oceanos:
Pacífico - 166.229.000 km² - 4.028 m prof. média
Atlântico - 86.551.000 km² - 3.926 m prof. média
Índico - 73.422.000 km² - 3.963 m prof. média

Os Continentes:
Ásia - 43.608.000 km² - Monte Everest 8.848 m altura - Mar Morto 400 m prof.
África - 30.335.000 km² - Kilimandjaro 5.895 m altura - Lago Assal 156 m prof.
A. do Norte e Central - 25.349.000 km² - Monte McKinley 6.194 m altura - Vale da Morte 86 m prof.
A. do Sul - 17.611.000 km² - Aconcágua 6.960 m altura - Península Valdez 40 m prof.
Antártida - 13.340.000 km² - Vinson Massif 5.140 m altura - Subglacial Bently 2.558 m prof.
Europa - 10.498.000 km² - Elburz 5.642 m altura - Mar Cáspio 28 prof.
Oceania - 9.000.000 km² - Monte Wilhelm 4.884 m altura - Lago Eyre 16 m prof.

Cidades Mais Populosas: Milhões de habitantes (2004)
12.762.953 - Xangai China
12.692.717 - Mumbai Índia
11.627.378 - Karachi Paquistão
11.548.541 - Buenos Aires Argentina
10.928.270 - Nova Deli índia
10.927.925 - São Paulo Brasil
10.443.877 - Manila Filipinas
10.381.288 - Moscou Rússia
10.449.291 - Seul Coréia do Sul


Línguas Mais Faladas:

14.3% - Mandarim
Mandarim é o idioma padrão da língua chinesa e é baseado no dialeto que era falado na capital Pequim.
É a lingua mais falada no mundo, com aproximadamente 885 milhões de nativos falantes e mais 120 milhões de indivíduis que a emprega como segunda língua.
 
6.0% - Hindi
5.6% - Inglês
5.6% - Espanhol
3.4% - Bengali
2.7% - Russo
2.6% - Português
2.1% - Japonês
1.3% - Francês 

quarta-feira, 13 de janeiro de 2010

Ditos Pitagóricos

Em homenagem à Pitágora de Samos!!

"Tudo é número"

"Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las."

"A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus."

 "A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se. "

 "A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus."

"Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem".

 "O que fala, semeia - o que escuta, recolhe".

"Ajuda teus semelhantes a levantar sua carga, mas não a carregues".

"Educai as crianças e não será preciso punir os homens".

domingo, 10 de janeiro de 2010

Matemática em Camisetas II

e continua...




E Deus Disse


"Eu sou número"



Integral que é igual a 69.
(quem quizer fazer os cálculos, fique à vontade)


 
"Eu quero ser seu derivado"


 





sábado, 9 de janeiro de 2010

Matemática em Camisetas I

A todos os amantes da Matemática e principalmente aos universitários das Exatas de plantão, resolvi postar uma série de modelos de camisetas personalisadas de Matemática...
 
"Derivação para o fomula do volume de um cone com cálculo integral."



"Eu aposto que você gostaria de explorar ... a área debaixo destas curvas"

 
 "As famosas equações de ondas de Maxwell em sua forma integral"

 
"O cálculo é fácil" ....será mesmo?!??!?!?




Isto prova que o sexo é divertimento !




Temos aqui 5000 dígitos do Pi




Equações de Maxwell




Derivada

quinta-feira, 7 de janeiro de 2010

Bat Integral

Para começar o ano, vamos a um post de humor matemático...
Problema, Use o Cálculo para encontrar a identidade do Batman!!!

quinta-feira, 17 de dezembro de 2009

A Poética do Espaço - Poesia Matemática



(...)Que fazemos de mais ao afirmar

que um ângulo é frio e uma curva é quente?

Que a curva nos acolhe e que o ângulo

muito agudo nos expulsa?

Que o ângulo é masculino e a curva é feminina?

Uma pitada de valor muda tudo.

A graça de uma curva é um convite para

habitar.Não se pode fugir dela sem esperança

de regressar.

A curva amada tem poderes de ninho, é

um apelo à posse. É um conto curvo. É uma

geometria habitada. Nela, estamos no mínimo

do refúgio, no esquema ultra-simplificado de

um devaneio do repouso. Só o sonhador que

se arredonda a comtemplar aneis conhece essas alegrias simples do repouso desenhado.(...)"


(Gaston Bachelard.)

sábado, 12 de dezembro de 2009

DESAFIO - O Burro e o Cavalo

Desafio Interessante e Fácil!!!
Um Burro e um Cavalo caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos.
O cavalo reclamava muito de sua pesada carga.
Disse-lhe o Burro:
- De que te queixas? Se me deres um saco, a minha carga será o dobro da tua. Mas, se eu te der um saco a minha carga será igual a tua.

PERGUNTA: Quantos sacos levam cada um?

quinta-feira, 10 de dezembro de 2009

MATEMÁTICOS BRASILEIROS - II

-ELON LAGES LIMA-
Nasceu em 09 de julho de 1929 (Maceió) é Mestre e Doutor(PhD) pela Universidade de Chicago. É pesquisador do IMPA e já foi Presidente da SBM de 1973 a 1975. É Professor Honoris Causa da Universidade Federal do Ceará, com a qual colaborou, em 1960, na implantação dos cursos de pósgraduação em Matemática (mestrado e doutorado). É autor de mais de 80 livros sobre Matemática, seis dos quais se destinam à formação e aperfeiçoamento de professores do segundo grau. Tem contribuído não só com a pesquisa matemática, mas também com a literatura brasileira em Matemática, tendo ganhado duas vezes o Prêmio Jabuti de Ciências Exatas, da Câmara Brasileira do Livro, pelas obras Espaços Métricos (1978) e Álgebra Linear (1996).


MAURÍCIO MATOS PEIXOTO (1921)


Maurício Matos Peixoto é, antes de tudo, um pioneiro. Em uma época em que não existiam no país cursos de pós-graduação em matemática, formou-se como engenheiro aos 22 anos na Escola Nacional de Engenharia da Universidade do Brasil (hoje Escola Politécnica da UFRJ).

Em 1948 recebeu o grau de doutor pela tese: Princípios Variacionais de Hamilton e da Menor Ação; e o segundo grau de doutor em Ciências (Matemática) ao defender a tese de livre-docência em Análise Matemática pela Universidade Rural do Rio de Janeiro, sob o título: Convexidade em Curvas; em 1952 foi aprovado em concurso público para a Cátedra de Mecânica Racional na ENE, defendendo a tese: Equações Gerais da Dinâmica (ED); em 1949, foi admitido na ABC; foi Presidente da SBM no período de 1975 a 1977; trabalhou para a criação do CNPq, criado em 1951; foi um dos fundadores do IMPA, em 1957 esteve na Princenton University , USA trabalhando em teoria qualitativa de ED com Solomon Lefschetz, sob influência de Lefschetz, passou a desenvolver trabalhos pioneiros em Sistemas Dinâmicos, área para a qual deu importantes contribuições; de 1961 a 1980 lecionou em diversas instituições no Brasil e no exterior, como na University of Califórnia, IME-USP e UnB; orientou 11 teses de doutorado em instituições brasileiras e estrangeiras; a tese de Ivan Kupta, um de seus primeiros orientandos, defendida em 1964, teve forte repercussão nacional e internacional, De 1954 a 1980 exerceu diversos cargos no CNPq. De 1969 a 2003 ganhou diversos prêmios e títulos, como a ordem Nacional do mérito científico na classe Grã-Cruz; em 2001, foi homenageado pelo Centro de História da Ciência da USP por ocasião de seus 80 anos; em 2003 foi agraciado pelo IMPA com o título de Pesquisador Emérito, é um dos mais importantes matemáticos brasileiros.

quarta-feira, 9 de dezembro de 2009

MATEMÁTICOS BRASILEIROS

Quem são os personagens que tem contribuído para o avanço da Matemática no nosso Brasil varonil? Talvez já tenhamos em nossas mentes alguns nomes, mas não sabemos quais os seus esforços em prol do raciocínio lógico e abstrato. Resolvi fazer uma série de posts e quem sabe contribuir com quem esteja interessado em conhecer um pouco mais sobre as personalidades que envolvem o meio matemático no Brasil.

É muito conveniente e interessante começar por:
-Júlio César de Mello e Souza-
E quem é esse cidadão? Muito bem, ele é mais conhecido pelo pseudônimo MALBA TAHAN, carioca, nascido em 06 de maio 1895, viveu na cidade de Queluz (São Paulo) e faleceu aos 79 anos em 18 de junho de 1974. Foi um grande escritor e matemático brasileiro. Apaixonado pela cultura árabe, daí se explica o pseudônimo, cujo personagem o inspira a criar uma bela estória de aventuras pelo mundo árabe e outros países nos quais Malba Tahan sempre se depara com engenhosos problemas matemáticos aos quais sempre encontra soluções incríveis.
Graduou-se em Engenharia Civil na Escola Politécnica e lecionou como professor Emérito na Faculdade Nacional de Arquitetura(FNA), no Instituto de Educação do Distrito Federal e no do Colégio Dom Pedro II.
Teve cerca de 120 livros publicados sobre matemática recreativa, didática matemática, História da Matemática, dentre outros temas. Entre esses estão: A sombra do Arco-íris, Lendas do deserto, A estrela dos Reis Magos, A arte de ler e contar histórias, e o mais famoso de todos - O Homem que Calculava- que está na sua 42ª edição e que já foi traduzido para várias línguas e atingiu mais de 2 milhões de exemplares vendidos só aqui no Brasil.Em homenagem ao centenário de seu nascimento, a Câmara Municipal de São Paulo e a Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro criaram o Dia da Matemática a ser comemorado todo dia 6 de maio.
Mas por que devemos lembrar de Malba Tahan? O momento é propício, uma vez que estamos repensando o ensino da Matemática em todos os níveis, envolvendo a contextualização de problemas aplicados ao cotidiano do aluno, a incorporaçao da história da Matemática, dos Jogos, das mídias, além de outros recursos que favoreçam na educação matemática.
Malba Than explorou o interesse lúdico da juventude para introduzir nas aulas, conferências e livros que escreveu uma nova didática da matemática. Nas aulas, trabalhava com estudo dirigido, manipulação de objetos e propôs a criação de laboratórios de matemática em todas as escolas.

segunda-feira, 21 de setembro de 2009

Centenário da Apresentação da TEORIA DA RELATIVIDADE


Em 1905 Albert Einstein publicou a revolucionária Teoria da Relatividade, mas somente no dia 21 de setembro de 1909 ele apresentou pela 1ª vez ao público. A partir daí a Física nunca mais foi a mesma. Desde sua publicação já causava inquietações em muitos contemporâneos que não entenderam a essência da "coisa".
o Princípio da Relatividade diz que todos os referenciais inerciais – que estão parados ou se movem a velocidade constante – são equivalentes entre si. Um homem trancado numa caixa sem janelas é incapaz de dizer se a caixa está parada ou se está sendo empurrada em linha reta, numa velocidade que não muda.

As conseqüências da teoria da relatividade estão relacionadas a comparações entre observadores movimentando-se a velocidades próximas à da luz, e o ser humano não tem nenhuma experiência com viagens a velocidades comparáveis à Velocidade da Luz. Eis algumas das consequências:
O intervalo de tempo em um referencial em movimento em relação a um observador externo parece ser, para este, menor que o seu próprio intervalo de tempo. Explicando melhor, se um fenômeno periódico que no referencial de um dado observador inercial ocorre com um período T parece ocorrer em um período T' maior num referencial inercial movendo-se em relação a este.
Eventos que ocorrem simultaneamente em um referencial inercial não são simultâneos em outro referencial em movimento relativo (falta de simultaniedade).
As dimensões de objetos medidos em um referencial podem ser diferentes para um outro observador em outro referencial em movimento. Se um corpo está em movimento ao longo de um eixo, a dimensão do corpo ao longo deste eixo parecerá menor do que quando o mesmo corpo estiver parado em relação ao referencial do observador (contração dos comprimentos) .

...Mas o que os leigos na matéria mais conhecem é a fórmula que tornou-se célebre:

E=Mc²

E: energia ( em qualquer forma)

M: massa

c: velocidade da luz no vácuo


Equivale dizer, na relatividade especial que massa-energia é o conceito de que qualquer massa possui uma energia associada e vice-versa.

terça-feira, 1 de setembro de 2009

SELO DADO AO MEU BLOG

Obrigado ao blog FATOS MATEMÁTICOS pelo meu primeiro selo.

Blogs que merecem Selos:


Regras deste selo:

1. EXIBA A IMAGEM DO SELO "OLHA QUE BLOG MANEIRO"
2. POSTE O LINK QUE TE INDICOU
3. INDIQUE PESSOAS DE SUA PREFERÊNCIA
4. AVISE SEUS INDICADOS
5. PUBLIQUE AS REGRAS
6. CONFIRA SE OS BLOGS INDICADOS REPASSARAM OS SELOS E AS REGRAS