SEI Empreendimentos Educacionais - PARCERIA

A InterSis Brasil e a SEI Empreendimentos Educacionais (empresas fundadas no ano de 2000 com sede em Catalão - GO, Goiânia - GO e São Paulo - SP) são organizações especializadas em Projetos Multimídia (com foco em Projetos Educacionais) e EAD, Projetos para WEB e Desenvolvimento de Softwares.

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O Jogo de Xadrez e a Matemática

A prática do Xadrez tem se tornado muito comum em todos os ambientes sociais. Para alguns, um simples  passatempo, para outros, uma forma de treino mental e ainda para os amantes das Ciências, Exatas ou não, uma maneira de despertar habilidades como Raciocínio lógico-dedutivo, concentração e elaboração de estratégias. Para mim, defino o jogo como exercício mental, altamente competivo e saudável.

Minha paixão particular pelo Xadrez me fez elaborar este artigo que faz uma estrita relação com as Ciências Exatas, em especial a Matemática.

Várias lendas sobre a origem do Xadrez podem ser encontradas facilmente na internet ou em livros, mas a que mais me interessou foi a de Sissa, um brâmane indiano, que havia criado o Jogo para curar o tédio de um certo rei.

 

Como recompensa à criação do enigmático jogo, o rei desejou recompensar o seu brilhante súdito com o que desejasse:

Então, Sissa se dirigiu ao Rei e pediu:

- Bondoso rei, desejo um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda casa, quatro (=2²) pela terceira, Oito (=2³) pela quarta, e assim por diante, dobrando o número de grãos na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos correspondentes (ou seja, 2⁶³).
O rei achou esse pedido muito modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:
_ Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava lhe conceder muitas riquezas, mas como é o que desejas, isso te darei. Então o rei ordenou aos seus subordinados que satisfizessem o pedido de Sissa.

Conclusão: O número de grãos que Sissa tinha pedido corresponde à fórmula 2⁶⁴-1 que é igual a 18.446.744.073.709.551.615
É um número monstruoso, na casa dos quintilhões.

Então, O rei descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era suficiente para satisfazer o pedido de Sissa. E mais, em todo o mundo conhecido na época não havia trigo suficiente para atender àquele pedido!

O valor de 2⁶⁴-1 grãos de trigo corresponde à soma da série:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... + 9.223.372.036.854.775.808.

De acordo com Jhon Wallis, matemático inglês, essa quantidade de grãos de trigo poderia encher um cubo que tivesse 9400m de aresta. Se contássemos esses grãos á razão de 5 por segundo, trabalhando dia e noite sem parar, gastaríamos nessa contagem, 1170 milhões de séculos.

(Adaptado de: TAHAN, Malba. O Homem que Calculava)

Nas séries de postagens seguintes vou publicar vários recursos matemáticos, com os quais é possível calcular esse número que corresponde à quantidade de grãos pedidos por Sissa.

Xadrez e Progressão Geométrica

Vamos inicialmente à definição:

Progressão Geométrica (P.G) é toda seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por um constante, denominado razão q da progressão geométrica.

Ex. (1, 2, 4, 8, .........) P.G infinita; razão q = 2
Para acharmos um termo qualquer de uma P.G. adota-se a seguinte fórmula: an = a₁ . q^{n - 1} , onde:
an: termo geral
a₁: primeiro termo
q: razão
n: número de termos

Portanto, no caso da lenda do xadrez fica fácil descobrir sem ter que fazer muita conta, claro que usando uma calculadora científica do quanto era grande a recompensa de Sissa, com o seguinte cálculo:
a₆₄ = 1 . 2^64-1 o que daria o mesmo valor mencionado acima para a 64^a casa do tabuleiro de xadrez.

 

E a fórmula que fornece a Soma dos termos de Uma PG, de que forma, podemos usá-la aqui?

Muito bem, consideremos q≠1 (razão da PG) e n um número inteiro positivo qualquer, temos

S = 1 + q + q² + q³ + ...+qⁿ (I)

e observemos que

qS = q + q² + q³ + q⁴ +...+qⁿ⁺¹. (II)

Portanto, subtraindo (I) de (II), obtemos

qS – S = qⁿ⁺¹ – 1, donde

Que é a fórmula da Soma que está sendo usada nos cálculos.

O Número Pi

Um post atrasado sobre o PI, que comemoramos no Dia 14 de março (3/14 na notação norte-americana), por 3,14 ser a aproximação mais conhecida de π. O auge das comemorações aconteceu à 1:59 da tarde (porque 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal).

Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que

O nome “pi”, usando a letra grega, foi introduzido pela primeira vez em 1706 por William Jones (1675-1749).

Dez mil casas decimais do Pi:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286289986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472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POEMA MATEMÁTICO

 

Fiz um calculo exato para conquistar meu amor,
Com a circunferência de um raio de emoção.
Calculei milimetradamente suas arestas,
Com o tempo de vida do meu coração

Descobri meu amor na matemática,
Numa operação somei sua virtude,
Logo diminui seus defeitos,
Multiplicando a sua personalidade

Como professor de matemática que sou,
Fiz uma conta exata, que nada sobrou.
Sua baixa verticalidade foi igualada,
Com horizontalidade do ninho do nosso amor.

Quando começamos usei a aritmética.
Com a chave do tempo fizemos um conjunto.
A soma de nossos sentimentos era o universo.
E a paixão veio forte, em progressão geométrica

Dividi comigo a sua tristeza, alegria e emoção.
Tangenciei uma perimetral na sua fonte.
Lotiei seu corpo em formas arredondadas.
Para que coubessem no meu coração.

(Zédio Alvarez)

Os Poliedros de Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452-1519) foi o  “cara” do Renascimento por excelência: Artista, Matemático, Cientista e Engenheiro. Ele era um grande amante da Geometria e muito tempo dedicado ao trabalho com figuras geométricas. Sua realização mais notável é o “poliédrico”, que são ilustrações para Luca Pacioli (frade franciscano, 1445-1509, que é conhecido por seu compêndio de matemática do século XV, “Summa de Arithmetica, Geometrica, proportioni et proportionalita” (1494) e “De divina proportione” (1509).

O termo Ycocedron Abscisus na placa título significa icosaedro truncado. Os desenhos são feitos manualmente com uma perfeição admirável.

Vejamos algumas das figuras feitas por Da Vinci, especicamente aquelas que ilustram a Esfera, Cone, Cilindro, Pirâmide e os Sólidos Platônicos.

ESFERA

TETRAEDRO

CUBO

 

OCTAEDRO

 

ICOSAEDRO

 

DODECAEDRO

PIRÂMIDE QUADRANGULAR

 

CILINDRO E CONE

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA VESTIBULAR - III

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

OS MATEMÁTICOS DOS SÉCULOS XV e XVI

Nesses dois séculos o desenvolvimento do pensamento matemático teve um grande avanço, principalmente depois da invenção da imprensa de tipos móveis, no século XV, que revolucionou a difusão do conhecimento.

Vejamos alguns dos Matemáticos que deixaram seus nomes marcadas na História…

Nicholas Cusa (1401-1464)

Foi ordenado sacerdote em 1440 e tornou-se cardeal em 1448. Foi também governador de Roma. Se interessou por Geometria e Lógica. Seus trabalhos matemáticos consistem na reforma do calendário e nas tentativas de quadrar o círculo e trisseccionar o ângulo. Contribuir para o estudo do infinito, analisando o infinitamente grande e o infinitamente pequeno.

Georg Von Peurbach (1423-1463)

Nascido em 30 de maio de 1423, faleceu 8 de abril de 1461.
austríaco Matemático e astrônomo, que promoveu o uso de algarismos arábicos (introduzido 250 anos mais cedo em lugar de algarismos romanos), especialmente em uma tabela de senos ele calculou com precisão sem precedentes. Peurbach foi seguidor da astronomia de Ptolomeu. Ele insistiu sobre a realidade concreta das esferas de cristal dos planetas, indo mais longe do que nos escritos de Ptolomeu.

Johann Muller (1436-1476)

Conhecido como “Regiomontanus”. Estudou com Peurbach e tomou para si o trabalho de traduzir o “Almagesto”. Traduziu também textos de Apolônio, Herão e Arquimedes. Publicou “De Triangulis Omnimodis”, primeira exposição européia sistemática de trigonometria plana e esférica, independente da astronomia. Montou um observatório e, com uma prensa tipográfica escreveu tratados de astronomia. Segundo historiadores construiu uma água mecânica que batia as asas.

Nicolas Chuquet

Escreveu um dos primeiros tratado sobre matemática em francês, o Triparty en la science des nombres, de 1484. Se dedicou também à medicina. Sabe-se que se mudou para Leão, por volta de 1480 onde viveu até à sua morte, por volta de 1488. Estes dados são fornecidos pelos registos de impostos de Leão, onde aparece entre 1485 e 1487 com a profissão de algoriste.

Seu trabalho em matemática enfoca cálculo com números racionais e irracionais e teoria das equações.

Luca Pacioli (1445-1509)

Luca Pacioli era um padre franciscano que se dedicou à compilações de álgebra, aritmética e geometria. Publicou “Summa de arithmetica, geométrica, proportioni et proportionalita”. Este trabalho, que contém muito dos assuntos encontrados no “Líber Abaci”, trata de operações fundamentais para a extração de raízes quadradas, escrituração mercantil, equações quadráticas, álgebra sincopada (p, para indicar mais). Publicou ainda “De divina proportione”, com ilustrações de sólidos geométricos feitas por Da Vinci, aluno de Pacioli.

Johann Widman (1460-1498)

Matemático alemão que estudou na Universidade de Leipzig, e tornou-se um professor de lá, palestras sobre aritmética e álgebra. Ele foi o primeiro a ensinar álgebra na Alemanha. Credita-se a ele o uso, primeiramente, dos sinais de + e -. Estes símbolos eram usados para indicar excesso e deficiência.

Os símbolos de mais (+) e menos (-) apareceram pela primeira vez impressos no livro Behende und Hüpsche Recenung auff allen Kauffmanschafft ("Aritmética Mercantil") de JOHANNES WIDMANN, publicado na cidade de Leipzig em 1489. Entretanto neste livro os sinais não se aplicam à adição e à subtração como a conhecemos, e sim a aumentos e diminuições em problemas de contabilidade. A página a seguir é do próprio livro de WIDMANN, de uma edição de 1526.

 Robert Recorde (1510-1558)

Foi um Matemático e Médico nascido na Inglaterra. É muito conhecido no meio matemático por ter criado o sinal de igualdade (=), em 1557 no seu livro "Whetstone of Witte".
Quando perguntado sobre o porquê da escolha do símbolo, Robert Recorde justifiou:

"Se escolhi um par de paralelas, é porque elas são duas linhas gêmeas, e nada é mais semelhante do que dois gêmeos".

Deixou pelo menos cinco publicações, sendo “The ground of artes” o seu mais completo livro de aritmética, o qual atingiu 29 tiragens. Fez trabalhos sobre astronomia, geometria, medicina e álgebra. Apresentou o sistema de Copérnico aos ingleses.

Michael Stifel (1486-1567)

Nascido na cidade alemã de Esslingen, em 1487, Stifel tornou-se um monge em seus vinte anos, e em 1511 foi ordenado para o sacerdócio.
Considerado o maior matemático alemão dos séculos XV e XVI , Michael Stifel foi um luterano fervoroso.
Como matemático, foi um dos primeiros a usar sinais de adição e subtração; desenvolveu um sistema de logaritmos, independente dos estudos de John Napier (1550-1617).
Em 1544, ele publicou Arithmetica Integra, um somatório de conhecimentos matemáticos até esse ponto.
Trabalhou com álgebra, números racionais e irracionais. Associou uma progressão aritmética a uma progressão geométrica, antecipando assim a invenção dos logaritmos.

FRACTAIS – A MATEMÁTICA DO DELÍRIO

Imagine um mundo matemático dos sonhos que encanta qualquer nerd e amante de “coisas” diferentes. Uma realidade do futuro… É o que encontramos na geometria dos fractais.

A geometria que conhecemos, cuja base vem do Grande Mestre EUCLIDES a cerca 2250 anos atrás, propõe, como sabemos, que um ponto tem “dimensão zero”, uma reta tem dimensão 1 (é unidimensional), um plano tem dimensão 2 (bidimensional) e um bloco tem dimensão 3 (tridimensional). Já os fractais são considerados formas geométricas n-dimensionais, com estruturas de perfeição singular, cujas similaridade entre as suas infinitas divisões permanecem inalteradas.

Para entender como funciona os Fractais, pense numa reta e tire dela um pedaço, e depois mais outros pedaços e mais outros…”esburando” essa reta inúmeras vezes, então imagine que vc pudesse cortá-las em “pedaços” infinitas vezes, sendo que a única condição é que cada parte possua as mesmas característias da primeira.

E então? o que vc acha que sobraria? Segundo os estudos recentes, restaria então o que se chama de “POEIRA DE CANTOR”, que foi prosposta pelo matemático Georg Cantor. Essas infinitas divisões desses “pedaços”  estão entre as dimensões unidimensional e bidimensional não sendo uma parte inteira.

Vamos á definição tão esperada..

Fractais são formas geométricas obtidas através de processos iterativos, ou seja, um processo repetitivo em que o número de iterações tende a infinito.

A denominação fractal foi criada em 1975 por Benoit Mandelbrot. Que significa fragmento em Latim.

Propriedades:

Auto-similaridade

É a simetria através das escalas. Consiste em cada pequena porção do fractal poder ser vista como uma réplica de todo o fractal numa escala menor.

Processo iterativo de construção do Triângulo de Sierpinski.

Dimensão Fractal

"Eu cunhei fractal do adjetivo latino fractus. O verbo latino correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, além de fragmentar (como em fração ou refração), fractus também quer dizer "irregular", ambos significados que são preservados em fragmento.”

Mandelbrot

A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade. Sendo um valor fracionário.

Fontes:

Matemática –Barreto & Xavier; Wikipedia;http://www.educ.fc.ul.pt; arquivosevt.lncc.br/pdfs/aula4-fractal.ppt ;www.cbpf.br/~maysagm/.

      

A Matemática e o Renascimento

Renascimento ou Renascença são os termos usados para identificar o período da História da Europa aproximadamente entre fins do século XIII e meados do século XVII.Chamou-se "Renascimento" em virtude da redescoberta e revalorização das referências culturais da antigüidade clássica, que nortearam as mudanças deste período em direção a um ideal humanista e naturalista.

Durante o Renascimento, a Matemática passa também a assumir um outro papel, mais aplicada aos avanços da época.
Em meados do século XV, deu-se um sensível aumento na produção de trabalhos matemáticos. Para isso contribuíram fatos relevantes, como a queda de Constantinopla , em 1453, as grandes navegações e o invento da impressão com tipos móveis que possiblitaram a  maior difusão das obras.
como consequência desse período de mudanças, o estudo matemático, no Renascimento, assumiu características de Matemática Aplicada, a qual passou a ser utilizada em campos como a arte, óptica, mecânica, cartografia e contabilidade.
A aritmética da época era amplamente comercial e objetivava  explicar a escrita dos números, efetuar cálculos com eles.

Nessa época, matemáticos como Niccolo Tartaglia (1500-1557) e Ludovico Ferrari (1522-1565) contribuíram para a resolução das Equações Cúbicas e Quadráticas, respectivamente. Mas, somente em 1545, Gerônimo Cardano (1501-1576) publica "Ars Magna" com a resolução dessas equações, constituindo-se num marco importante para os algebristas da época.

 

Cuja  solução apresentada era:...

 Cardano, médico e jogador, dedicou grande parte da sua vida à àlgebra e ao reconhecimento da importância das raízes negativas, chamadas por ele de "fictícias". Embora falasse das raízes quadradas dos números negativos, não chegou ao conceito dos imaginários. A continuidade desse seu estudo foi realizada por Bombelli.

Fonte:  *Matemática Aula por Aula - Xavier e Barreto.

*Wikipedia

Números Primos e os Divisores de um Número

Você já deve ter se deparado com um problema que peça a quantidade de divisores de um número.

Por exemplo, QUANTOS SÃO OS DIVISORES POSITIVOS DO NÚMERO 432?

Para resolver esse problema usamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).

Mas primeiro devemos transformar o número num Produto de fatores primos. Assim:

432 = 2⁴.3³

Então, qualquer divisor de 432 deve ser da forma 2^m.3ⁿ, onde m = 0,1,2,3 ou 4 e n = 0,1,2 ou 3. Por exemplo, 2².3¹ = 12 e 432:12 = 36.

Existem 5 possíveis valores para m e 4 possíveis valores para n. Pelo PFC o número total de possibilidades é:

5x4 = 20

Logo, o número 432 possui 20 divisores.

Com base no que vimos podemos dizer que dado um número natural X, sendo sua forma fatorada X = 2^mx3ⁿ x5^px... Podemos dizer que o número de divisores positivos de X é dado por

(m+1)x(n+1)x(p+1)x…

 Para treinar: Quantos divisores possui o número 1800?

Números Primos e o Problema do Triângulo Retângulo

É possível que as medidas dos lados de um triângulo retângulo (numa mesma unidade) sejam todas números primos?

(um problema da RPM)

Antes de dar a solução deste problema devo lembrar um pouco dos números primos.

Na história da Matemática atribui-se a Pitágoras, filósofo e matemático grego, os primeiros estudos sobre números primos.

A palavra primo refere-se a primário e não tem relação alguma com parentesco. Os pitagóricos chamavam números “primários” todos os números naturais que não podiam ser obtidos através do produto de outros números, como é o caso dos números naturais: 2, 3, 5, 7, etc. Aos que são gerados a partir do produto de outros números eram chamados números “secundários”, como por exemplo: 12 = 2 x 6,  15= 5 x 3, etc.

Atualmente definimos,

TODO NÚMERO NATURAL MAIOR DO QUE 1 QUE É DIVISÍVEL APENAS POR 1 E POR ELE PRÓPRIO.

Veja (2, 3, 5, 7 , 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, …). Perceba que, com excessão do 2, todos  os outros números são ímpares.

Vamos ao problema!

Solução:

A resposta é não. Do teorema de Pitágoras temos a igualdade . Sendo a, b e c primos, não podem ser todos ímpares e, como e , devemos ter ou . Digamos . Teremos então:

e analisando os possíveis valores de e , que são 1, 2 ou 4, concluímos que a situação é impossível.

FONTE: Sociedade Brasileira de Matemática