Demonstração Limite Exponencial = ao Logaritmo Natural

Veremos a demonstração do limite exponencial que resulta no Logaritmo Natural.

Devemos, de início, saber a definição:

Chamamos de Logaritmo Natural ou hiperbólico de um número real positivo b, àquele que tem como base o número e.

Usamos a notação ln b.

Veja:

Log_e5 = ln 5

Log_e1/2 = ln 1/2

Vejamos, então, o limite Fundamental:

“EXPONENCIAL MENOS 1 SOBRE O EXPOENTE”

(com a>o). O objetivo aqui é provar que, após levantar a indeterminação desse limite(que é do tipo 0/0), obtemos ln a como resultado.

Isolamos a^x:

Aplicamos agora o logaritmo neperiano aos dois membros:

ln(a^x) = ln(t + 1) => x.ln a = ln( t + 1)

Logo,

Dividindo por t, obtemos:

Como x 0 , então t 0

(como queríamos demonstrar)

Generalizando a propriedade acima, podemos ter:

e

Lista de Exercícios – Função do 1º Grau

1- A função inversa da função bijetora f:IR-{-4} e f­^-1:IR-{2}, definida por é:

a) y -1 = (x + 4)/(2x +3) b) y-1 = (x - 4)/(2x - 3) c) y -1 = (4x + 3 )/(2 - x) d) y -1 = (4x + 3 )/(x - 2) e) y -1 = (4x + 3)/(x + 2)

2- Obtenha a lei da função do 1º grau sendo dado:
a) f(-1) = 2 e f(2) = -1.

b) f(-1) = 0 e f(3)=2

3-Faça o estudo do sinal das funções do 1º grau:

a) y = 3x – 2

b) y = –2x + 1

4- Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$ 80,00, mais uma mensalidade de R$ 50,00. Nestas condições, pode-se afirmar que a função que representa os gastos de um aluno em relação aos meses de aula e o valor gasto por um aluno que nos seis primeiros meses de aula será:

a) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 530,00

b) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 380,00

c) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 380,00

d) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 530,00

e) f(x) = 50,00.x + 30,00 e R$ 380,00

5- Construa o gráfico das funções de 1º grau abaixo:

a) y = 2x-6 b) y = -2x-3 c) y = 3x+4

6- Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)).

7- (PRISE 98) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, então:

a) Y = 100x b) Y = 5x -100 c) Y = 3x -100 d) Y = 2x -100

8- Para resolver problemas de computador, foram contatados os serviços de um técnico em computação. Em seus honorários, o técnico cobra R$ 20,00 a hora trabalhada, acrescida da taxa de visita de R$ 30,00. Sabe-se que, para resolver o problema, o técnico trabalhou x horas e recebeu a quantia R(x). Então:

a) R(x) = 30x + 20 b) R(x) = 20x + 30 c) R(x) = 10x

d) R(x) = 30x – 20

9- (UEPA) Um pequeno comerciante investiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por:

a) L(x) = 300 - 8x b) L(x) = 8x + 300 c) L(x) = 8x - 300 d) L(x) = 8x e) L(x) = - 8x - 300

10- O custo total de produção de um determinado produto é representado pela função C(x) = x + 20, em que C é o custo ( em reais ) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 10 unidades

b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 3.600,00

c) O gráfico que representa essa função.

11- Uma loja no centro de São Miguel aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da maquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é:

12- Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico está representado abaixo:

13- Determine o domínio e a imagem da função representada no gráfico abaixo:

POTENCIAÇÃO - Relembrando

MATEMÁTICOS BRASILEIROS - IV

DJAIRO GUEDES DE FIGUEIREDO (1926)

Pesquisas

Problemas elípticos semilineares.
Sistemas elípticos não-lineares.
Métodos variacionais.

Títulos

Engenheiro civil - Universidade do Brasil, UB - 1956.
M.Sc. - Universidade de New York - 1958.
Ph.D. - Universidade de New York - 1961.
Livre-docente - Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ - 1963.
Professor associado - Universidade de Brasília, UnB - 1962/1967.
Professor associado - Universidade de Illinois - 1967.
Professor titular - Instituto de Matemática Pura e Aplicada, IMPA - 1968/1969.
Professor titular - UnB - 1971/1988.
Professor titular - Universidade de Illinois - 1973.
Professor titular (MS-6) - Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP - 1988/...

Biografia

Nascido em Limoeiro do Norte, Ceará. Realizou estudos de pós-graduação no Instituto Courant da Universidade de Nova Iorque, onde concluiu o mestrado e o doutorado. Foi Professor Titular da Universidade de Illinois em Chicago e da Universidade de Brasília. Desde 1988 é Professor MS-6 da UNICAMP. Pesquisa na área das Equações Diferenciais Parciais, usando técnicas provenientes da Análise Clássica, do Cálculo das Variações e da Topologia. Possui mais de 60 artigos de pesquisa publicados por revistas especializadas no exterior e no país. Escreveu alguns textos de cursos de graduação, que são utilizados em algumas escolas no país. Treze matemáticos atuantes completaram o doutoramento sob sua orientação.

Atualmente trabalha na Universidade do ABC; Em 1992 foi premiado com a Bolsa de Reconhecimento Acadêmico Zeferino Vaz pelo Conselho Universitário da UNICAMP; em 1995 foi agraciado com a Ordem Nacional do Mérito Científico na categoria Grã-Cruz; em 2000 foi admitido como Membro Titular da Academia de Ciências do Estado de São Paulo; em 2001 ganhou o prêmio Fellow, da Third World Academy of Sciences; em 2004 recebeu o título de Professor Emérito da Universidade Estadual de Campinas, e ganhou o Prêmio Doctor Honoris Causa, da Universidade Federal da Paraíba; desenvolve pesquisas em Equações Diferenciais Parciais, Equações Diferenciais Ordinárias, Análise Funcional não-Linear, Análise Matemática e Análise Funcional; já publicou mais de oitenta trabalhos em periódicos especializados, tendo contribuído também com a escrita de livros de matemática para cursos de graduação e pós-graduação; atualmente é o representante da área Matemática, Probabilidade e Estatística na CAPES; orientou várias dissertações de mestrado em Ciências (Matemática), e até o ano de 2005 orientou 21 teses de doutorado; a evolução do ensino e a consolidação da pesquisa matemática no Brasil muito devem aos esforços empregados por este matemático.

FONTE: http://www.abc.org.br/~djairo

www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/.../PO09182926115aT.doc

Vídeos Excelentes sobre LIMITES

Os MELHORES vídeos de Matemática sobre LIMITES que já encontrei.
Dando os devidos créditos da indicação dos vídeos ao meu amigo Joner.

Desafios aos Alunos do 1º Ano

Nessa última semana, de revisão e simulados para a 1ª avaliação, resolvi desafiar os alunos do 1º ano do Ensino Médio com duas questões básicas de raciocínio lógico e potências.

Apenas o aluno Ricardo Neblina do Nascimento conseguiu resolver os dois problemas de forma correta.

O primeiro é uma versão adaptada de um problema proposto por Fibonacci em Liber Abaci, 1202.

Vejamos:

 I - ESTRADA PARA ROMA

Na estrada para Roma passa um homem com 7 mulheres,

cada mulher carrega 7 sacos,

cada saco tem 7 gatos

e cada gato tem 7 gatinhos.

Quantas pernas há ao todo na estrada para Roma?

 

II – SENHA DO COFRE

A senha de um cofre na casa do Sr Portal é formada por três números que foram criptografados por ele e transformados na expressão (2²)³x2²-2²x2³-11². Descubra essa senha resolvendo a expressão.

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS

Minha experiência em concursos e como professor de Matemática, mostram que a persistência  e a dedicação  são o segredo para se obter êxito nas provas das diversas instituições elaboradoras.

Especificamente quanto à Matemática, exige-se muito mais do que dedicação, é necessário horas de estudo e com os mais diferentes materiais que se tenha à disposição. Quanto mais diversos forem os livros, as apostilas e áudios, bem mais preparado você ficará. Matemática é prática, não é bom ficar só na teoria, e o que é mais importante: estudar deve ser sempre prazeroso e nunca se tornar um “fardo grego”, como um castigo. Lembre-se: “o tempo é precioso, e estudar requer tempo e paciência, por isso, divida-o com sabedoria”.

Estou disponibilizando uma APOSTILA muito boa de Matemática. Para fazer o download é só seguir o link na imagem:

 

O Osso de Ishango

A maioria das pessoas pensa que o estudo da matemática tem suas origens no antigo Egito e na Babilônia, mas essa tese foi contestada drasticamente na década de 1950 com a descoberta de um osso de animais de pequeno porte, inscrita com as marcações que aparecem para representar números.

Esse artefato foi descoberto na pequena vila de pescadores Africano de Ishango, na fronteira do Zaire, Uganda e pelo geólogo belga Jean de Heinzelin.

O Osso de Ishango encontra-se no Museu de Ciências Naturais , em Bruxelas, e foi datado de cerca de 20.000 aC. É considerado o mais antigo artefato matemático já descoberto.

Início da Aritmética?

À primeira vista, o osso parece ser uma ferramenta de escrita. Tem 10 cm de comprimento, e no final possui um pedaço de quartzo que devia ser usado para gravuras e escrita. Uma análise mais atenta revela uma série de entalhes correndo até o lado do osso, em três colunas.

As três colunas de traços agrupados assimétricos implicam que a ferramenta era mais funcional do que decorativa. O osso de Ishango pôde ser talhado para estabelecer um sistema numérico.

Os entalhes no osso estão representados abaixo:

A coluna central começa com 3 traços e logo duplica o seu número. O mesmo processo é repetido com o número 4, que se duplica a 8 traços, e logo inverte-se o processo com o número 10, que é dividido pela metade resultando em 5 traços. Por isto chega-se à conclusão de que estes números não podem ser puramente arbitrários, senão que sugestionam algum indício de cálculos de multiplicação e divisão por 2. O osso poderia ter sido usado, portanto, como uma ferramenta para levar a cabo procedimentos matemáticos simples.

Essa visão é reforçada por olhar para o número de entalhes de cada lado da coluna central. Os números, à esquerda e à direita da coluna central, são todos números ímpares (9, 11, 13, 17, 19 e 21).  Além disso, os números na coluna da esquerda são todos números primos, sugerindo alguns conhecimentos matemáticos. Os números de cada coluna lateral somam 60, e os números da coluna central somam 48. Ambos os resultados são múltiplos de 12, mais uma vez sugerindo que já existia uma compreensão da multiplicação e divisão.

Existem vários críticos que acham que as reivindicações matemática para o osso Ishango são exagerados. Eles sugerem que, uma vez que existem apenas 4 números na coluna da esquerda do osso, pode ser uma simples coincidência que todos esses sejam Primos. O aspecto mais importante da sua argumentação é o fato de que não há nenhuma evidência do conhecimento dos números primos antes do período clássico grego, pelo menos, 10.000 anos mais tarde.

Calendário ou Calculadora?

Alexander Marshack examinou o osso de Ishango com um microscópio e concluiu que esta antiga ferramenta pode representar um calendário lunar de seis meses. Claudia Zaslavsky sugestionou que isto pode indicar que o criador do instrumento era uma mulher, pesquisando a relação entre as fases lunares com o ciclo menstrual.

^{Fonte: http://en.allexperts.com/e/i/is/ishango_bone.htm}

^{http://www.simonsingh.net/The_Ishango_Bone.html}

^{http://www.naturalsciences.be/expo/old_ishango/en/ishango/introduction.html}

SEI Empreendimentos Educacionais - PARCERIA

A InterSis Brasil e a SEI Empreendimentos Educacionais (empresas fundadas no ano de 2000 com sede em Catalão - GO, Goiânia - GO e São Paulo - SP) são organizações especializadas em Projetos Multimídia (com foco em Projetos Educacionais) e EAD, Projetos para WEB e Desenvolvimento de Softwares.

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O Jogo de Xadrez e a Matemática

A prática do Xadrez tem se tornado muito comum em todos os ambientes sociais. Para alguns, um simples  passatempo, para outros, uma forma de treino mental e ainda para os amantes das Ciências, Exatas ou não, uma maneira de despertar habilidades como Raciocínio lógico-dedutivo, concentração e elaboração de estratégias. Para mim, defino o jogo como exercício mental, altamente competivo e saudável.

Minha paixão particular pelo Xadrez me fez elaborar este artigo que faz uma estrita relação com as Ciências Exatas, em especial a Matemática.

Várias lendas sobre a origem do Xadrez podem ser encontradas facilmente na internet ou em livros, mas a que mais me interessou foi a de Sissa, um brâmane indiano, que havia criado o Jogo para curar o tédio de um certo rei.

 

Como recompensa à criação do enigmático jogo, o rei desejou recompensar o seu brilhante súdito com o que desejasse:

Então, Sissa se dirigiu ao Rei e pediu:

- Bondoso rei, desejo um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda casa, quatro (=2²) pela terceira, Oito (=2³) pela quarta, e assim por diante, dobrando o número de grãos na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos correspondentes (ou seja, 2⁶³).
O rei achou esse pedido muito modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:
_ Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava lhe conceder muitas riquezas, mas como é o que desejas, isso te darei. Então o rei ordenou aos seus subordinados que satisfizessem o pedido de Sissa.

Conclusão: O número de grãos que Sissa tinha pedido corresponde à fórmula 2⁶⁴-1 que é igual a 18.446.744.073.709.551.615
É um número monstruoso, na casa dos quintilhões.

Então, O rei descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era suficiente para satisfazer o pedido de Sissa. E mais, em todo o mundo conhecido na época não havia trigo suficiente para atender àquele pedido!

O valor de 2⁶⁴-1 grãos de trigo corresponde à soma da série:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... + 9.223.372.036.854.775.808.

De acordo com Jhon Wallis, matemático inglês, essa quantidade de grãos de trigo poderia encher um cubo que tivesse 9400m de aresta. Se contássemos esses grãos á razão de 5 por segundo, trabalhando dia e noite sem parar, gastaríamos nessa contagem, 1170 milhões de séculos.

(Adaptado de: TAHAN, Malba. O Homem que Calculava)

Nas séries de postagens seguintes vou publicar vários recursos matemáticos, com os quais é possível calcular esse número que corresponde à quantidade de grãos pedidos por Sissa.

Xadrez e Progressão Geométrica

Vamos inicialmente à definição:

Progressão Geométrica (P.G) é toda seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por um constante, denominado razão q da progressão geométrica.

Ex. (1, 2, 4, 8, .........) P.G infinita; razão q = 2
Para acharmos um termo qualquer de uma P.G. adota-se a seguinte fórmula: an = a₁ . q^{n - 1} , onde:
an: termo geral
a₁: primeiro termo
q: razão
n: número de termos

Portanto, no caso da lenda do xadrez fica fácil descobrir sem ter que fazer muita conta, claro que usando uma calculadora científica do quanto era grande a recompensa de Sissa, com o seguinte cálculo:
a₆₄ = 1 . 2^64-1 o que daria o mesmo valor mencionado acima para a 64^a casa do tabuleiro de xadrez.

 

E a fórmula que fornece a Soma dos termos de Uma PG, de que forma, podemos usá-la aqui?

Muito bem, consideremos q≠1 (razão da PG) e n um número inteiro positivo qualquer, temos

S = 1 + q + q² + q³ + ...+qⁿ (I)

e observemos que

qS = q + q² + q³ + q⁴ +...+qⁿ⁺¹. (II)

Portanto, subtraindo (I) de (II), obtemos

qS – S = qⁿ⁺¹ – 1, donde

Que é a fórmula da Soma que está sendo usada nos cálculos.

O Número Pi

Um post atrasado sobre o PI, que comemoramos no Dia 14 de março (3/14 na notação norte-americana), por 3,14 ser a aproximação mais conhecida de π. O auge das comemorações aconteceu à 1:59 da tarde (porque 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal).

Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que

O nome “pi”, usando a letra grega, foi introduzido pela primeira vez em 1706 por William Jones (1675-1749).

Dez mil casas decimais do Pi:

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POEMA MATEMÁTICO

 

Fiz um calculo exato para conquistar meu amor,
Com a circunferência de um raio de emoção.
Calculei milimetradamente suas arestas,
Com o tempo de vida do meu coração

Descobri meu amor na matemática,
Numa operação somei sua virtude,
Logo diminui seus defeitos,
Multiplicando a sua personalidade

Como professor de matemática que sou,
Fiz uma conta exata, que nada sobrou.
Sua baixa verticalidade foi igualada,
Com horizontalidade do ninho do nosso amor.

Quando começamos usei a aritmética.
Com a chave do tempo fizemos um conjunto.
A soma de nossos sentimentos era o universo.
E a paixão veio forte, em progressão geométrica

Dividi comigo a sua tristeza, alegria e emoção.
Tangenciei uma perimetral na sua fonte.
Lotiei seu corpo em formas arredondadas.
Para que coubessem no meu coração.

(Zédio Alvarez)

Os Poliedros de Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452-1519) foi o  “cara” do Renascimento por excelência: Artista, Matemático, Cientista e Engenheiro. Ele era um grande amante da Geometria e muito tempo dedicado ao trabalho com figuras geométricas. Sua realização mais notável é o “poliédrico”, que são ilustrações para Luca Pacioli (frade franciscano, 1445-1509, que é conhecido por seu compêndio de matemática do século XV, “Summa de Arithmetica, Geometrica, proportioni et proportionalita” (1494) e “De divina proportione” (1509).

O termo Ycocedron Abscisus na placa título significa icosaedro truncado. Os desenhos são feitos manualmente com uma perfeição admirável.

Vejamos algumas das figuras feitas por Da Vinci, especicamente aquelas que ilustram a Esfera, Cone, Cilindro, Pirâmide e os Sólidos Platônicos.

ESFERA

TETRAEDRO

CUBO

 

OCTAEDRO

 

ICOSAEDRO

 

DODECAEDRO

PIRÂMIDE QUADRANGULAR

 

CILINDRO E CONE

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA VESTIBULAR - III

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

OS MATEMÁTICOS DOS SÉCULOS XV e XVI

Nesses dois séculos o desenvolvimento do pensamento matemático teve um grande avanço, principalmente depois da invenção da imprensa de tipos móveis, no século XV, que revolucionou a difusão do conhecimento.

Vejamos alguns dos Matemáticos que deixaram seus nomes marcadas na História…

Nicholas Cusa (1401-1464)

Foi ordenado sacerdote em 1440 e tornou-se cardeal em 1448. Foi também governador de Roma. Se interessou por Geometria e Lógica. Seus trabalhos matemáticos consistem na reforma do calendário e nas tentativas de quadrar o círculo e trisseccionar o ângulo. Contribuir para o estudo do infinito, analisando o infinitamente grande e o infinitamente pequeno.

Georg Von Peurbach (1423-1463)

Nascido em 30 de maio de 1423, faleceu 8 de abril de 1461.
austríaco Matemático e astrônomo, que promoveu o uso de algarismos arábicos (introduzido 250 anos mais cedo em lugar de algarismos romanos), especialmente em uma tabela de senos ele calculou com precisão sem precedentes. Peurbach foi seguidor da astronomia de Ptolomeu. Ele insistiu sobre a realidade concreta das esferas de cristal dos planetas, indo mais longe do que nos escritos de Ptolomeu.

Johann Muller (1436-1476)

Conhecido como “Regiomontanus”. Estudou com Peurbach e tomou para si o trabalho de traduzir o “Almagesto”. Traduziu também textos de Apolônio, Herão e Arquimedes. Publicou “De Triangulis Omnimodis”, primeira exposição européia sistemática de trigonometria plana e esférica, independente da astronomia. Montou um observatório e, com uma prensa tipográfica escreveu tratados de astronomia. Segundo historiadores construiu uma água mecânica que batia as asas.

Nicolas Chuquet

Escreveu um dos primeiros tratado sobre matemática em francês, o Triparty en la science des nombres, de 1484. Se dedicou também à medicina. Sabe-se que se mudou para Leão, por volta de 1480 onde viveu até à sua morte, por volta de 1488. Estes dados são fornecidos pelos registos de impostos de Leão, onde aparece entre 1485 e 1487 com a profissão de algoriste.

Seu trabalho em matemática enfoca cálculo com números racionais e irracionais e teoria das equações.

Luca Pacioli (1445-1509)

Luca Pacioli era um padre franciscano que se dedicou à compilações de álgebra, aritmética e geometria. Publicou “Summa de arithmetica, geométrica, proportioni et proportionalita”. Este trabalho, que contém muito dos assuntos encontrados no “Líber Abaci”, trata de operações fundamentais para a extração de raízes quadradas, escrituração mercantil, equações quadráticas, álgebra sincopada (p, para indicar mais). Publicou ainda “De divina proportione”, com ilustrações de sólidos geométricos feitas por Da Vinci, aluno de Pacioli.

Johann Widman (1460-1498)

Matemático alemão que estudou na Universidade de Leipzig, e tornou-se um professor de lá, palestras sobre aritmética e álgebra. Ele foi o primeiro a ensinar álgebra na Alemanha. Credita-se a ele o uso, primeiramente, dos sinais de + e -. Estes símbolos eram usados para indicar excesso e deficiência.

Os símbolos de mais (+) e menos (-) apareceram pela primeira vez impressos no livro Behende und Hüpsche Recenung auff allen Kauffmanschafft ("Aritmética Mercantil") de JOHANNES WIDMANN, publicado na cidade de Leipzig em 1489. Entretanto neste livro os sinais não se aplicam à adição e à subtração como a conhecemos, e sim a aumentos e diminuições em problemas de contabilidade. A página a seguir é do próprio livro de WIDMANN, de uma edição de 1526.

 Robert Recorde (1510-1558)

Foi um Matemático e Médico nascido na Inglaterra. É muito conhecido no meio matemático por ter criado o sinal de igualdade (=), em 1557 no seu livro "Whetstone of Witte".
Quando perguntado sobre o porquê da escolha do símbolo, Robert Recorde justifiou:

"Se escolhi um par de paralelas, é porque elas são duas linhas gêmeas, e nada é mais semelhante do que dois gêmeos".

Deixou pelo menos cinco publicações, sendo “The ground of artes” o seu mais completo livro de aritmética, o qual atingiu 29 tiragens. Fez trabalhos sobre astronomia, geometria, medicina e álgebra. Apresentou o sistema de Copérnico aos ingleses.

Michael Stifel (1486-1567)

Nascido na cidade alemã de Esslingen, em 1487, Stifel tornou-se um monge em seus vinte anos, e em 1511 foi ordenado para o sacerdócio.
Considerado o maior matemático alemão dos séculos XV e XVI , Michael Stifel foi um luterano fervoroso.
Como matemático, foi um dos primeiros a usar sinais de adição e subtração; desenvolveu um sistema de logaritmos, independente dos estudos de John Napier (1550-1617).
Em 1544, ele publicou Arithmetica Integra, um somatório de conhecimentos matemáticos até esse ponto.
Trabalhou com álgebra, números racionais e irracionais. Associou uma progressão aritmética a uma progressão geométrica, antecipando assim a invenção dos logaritmos.