1- A função inversa da função bijetora f:IR-{-4} e f-1:IR-{2}, definida por é:
a) y -1 = (x + 4)/(2x +3)
b) y-1 = (x - 4)/(2x - 3)
c) y -1 = (4x + 3 )/(2 - x)
d) y -1 = (4x + 3 )/(x - 2)
e) y -1 = (4x + 3)/(x + 2)
2- Obtenha a lei da função do 1º grau sendo dado: a) f(-1) = 2 e f(2) = -1.
b) f(-1) = 0 e f(3)=2
3-Faça o estudo do sinal das funções do 1º grau:
a) y = 3x – 2
b) y = –2x + 1
4- Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$ 80,00, mais uma mensalidade de R$ 50,00. Nestas condições, pode-se afirmar que a função que representa os gastos de um aluno em relação aos meses de aula e o valor gasto por um aluno que nos seis primeiros meses de aula será:
a) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 530,00
b) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 380,00
c) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 380,00
d) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 530,00
e) f(x) = 50,00.x + 30,00 e R$ 380,00
5- Construa o gráfico das funções de 1º grau abaixo:
a) y = 2x-6 b) y = -2x-3 c) y = 3x+4
6- Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)).
7- (PRISE 98) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, então:
a) Y = 100x b) Y = 5x -100 c) Y = 3x -100 d) Y = 2x -100
8- Para resolver problemas de computador, foram contatados os serviços de um técnico em computação. Em seus honorários, o técnico cobra R$ 20,00 a hora trabalhada, acrescida da taxa de visita de R$ 30,00. Sabe-se que, para resolver o problema, o técnico trabalhou x horas e recebeu a quantia R(x). Então:
a) R(x) = 30x + 20 b) R(x) = 20x + 30 c) R(x) = 10x
d) R(x) = 30x – 20
9- (UEPA) Um pequeno comerciante investiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por:
a) L(x) = 300 - 8x b) L(x) = 8x + 300 c) L(x) = 8x - 300 d) L(x) = 8x e) L(x) = - 8x - 300
10- O custo total de produção de um determinado produto é representado pela função C(x) = x + 20, em que C é o custo ( em reais ) e x é o número de unidades produzidas. Determine:
a) O custo de fabricação de 10 unidades
b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 3.600,00
c) O gráfico que representa essa função.
11- Uma loja no centro de São Miguel aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da maquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é:
12- Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico está representado abaixo:
13- Determine o domínio e a imagem da função representada no gráfico abaixo:
Engenheiro civil - Universidade do Brasil, UB - 1956. M.Sc. - Universidade de New York - 1958. Ph.D. - Universidade de New York - 1961. Livre-docente - Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ - 1963. Professor associado - Universidade de Brasília, UnB - 1962/1967. Professor associado - Universidade de Illinois - 1967. Professor titular - Instituto de Matemática Pura e Aplicada, IMPA - 1968/1969. Professor titular - UnB - 1971/1988. Professor titular - Universidade de Illinois - 1973. Professor titular (MS-6) - Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP - 1988/...
Biografia
Nascido em Limoeiro do Norte, Ceará. Realizou estudos de pós-graduação no Instituto Courant da Universidade de Nova Iorque, onde concluiu o mestrado e o doutorado. Foi Professor Titular da Universidade de Illinois em Chicago e da Universidade de Brasília. Desde 1988 é Professor MS-6 da UNICAMP. Pesquisa na área das Equações Diferenciais Parciais, usando técnicas provenientes da Análise Clássica, do Cálculo das Variações e da Topologia. Possui mais de 60 artigos de pesquisa publicados por revistas especializadas no exterior e no país. Escreveu alguns textos de cursos de graduação, que são utilizados em algumas escolas no país. Treze matemáticos atuantes completaram o doutoramento sob sua orientação.
Atualmente trabalha na Universidade do ABC; Em 1992 foi premiado com a Bolsa de Reconhecimento Acadêmico Zeferino Vaz pelo Conselho Universitário da UNICAMP; em 1995 foi agraciado com a Ordem Nacional do Mérito Científico na categoria Grã-Cruz; em 2000 foi admitido como Membro Titular da Academia de Ciências do Estado de São Paulo; em 2001 ganhou o prêmio Fellow, da Third World Academy of Sciences; em 2004 recebeu o título de Professor Emérito da Universidade Estadual de Campinas, e ganhou o Prêmio Doctor Honoris Causa, da Universidade Federal da Paraíba; desenvolve pesquisas em Equações Diferenciais Parciais, Equações Diferenciais Ordinárias, Análise Funcional não-Linear, Análise Matemática e Análise Funcional; já publicou mais de oitenta trabalhos em periódicos especializados, tendo contribuído também com a escrita de livros de matemática para cursos de graduação e pós-graduação; atualmente é o representante da área Matemática, Probabilidade e Estatística na CAPES; orientou várias dissertações de mestrado em Ciências (Matemática), e até o ano de 2005 orientou 21 teses de doutorado; a evolução do ensino e a consolidação da pesquisa matemática no Brasil muito devem aos esforços empregados por este matemático.
Nessa última semana, de revisão e simulados para a 1ª avaliação, resolvi desafiar os alunos do 1º ano do Ensino Médio com duas questões básicas de raciocínio lógico e potências.
Apenas o aluno Ricardo Neblina do Nascimento conseguiu resolver os dois problemas de forma correta.
O primeiro é uma versão adaptada de um problema proposto por Fibonacci em Liber Abaci, 1202.
Vejamos:
I - ESTRADA PARA ROMA
Na estrada para Roma passa um homem com 7 mulheres,
cada mulher carrega 7 sacos,
cada saco tem 7 gatos
e cada gato tem 7 gatinhos.
Quantas pernas há ao todo na estrada para Roma?
II – SENHA DO COFRE
A senha de um cofre na casa do Sr Portal é formada por três números que foram criptografados por ele e transformados na expressão (22)3x22-22x23-112. Descubra essa senha resolvendo a expressão.
Minha experiência em concursos e como professor de Matemática, mostram que a persistência e a dedicação são o segredo para se obter êxito nas provas das diversas instituições elaboradoras.
Especificamente quanto à Matemática, exige-se muito mais do que dedicação, é necessário horas de estudo e com os mais diferentes materiais que se tenha à disposição. Quanto mais diversos forem os livros, as apostilas e áudios, bem mais preparado você ficará. Matemática é prática, não é bom ficar só na teoria, e o que é mais importante: estudar deve ser sempre prazeroso e nunca se tornar um “fardo grego”, como um castigo. Lembre-se: “o tempo é precioso, e estudar requer tempo e paciência, por isso, divida-o com sabedoria”.
Estou disponibilizando uma APOSTILA muito boa de Matemática. Para fazer o downloadé só seguir o link na imagem:
A maioria das pessoas pensa que o estudo da matemática tem suas origens no antigo Egito e na Babilônia, mas essa tese foi contestada drasticamente na década de 1950 com a descoberta de um osso de animais de pequeno porte, inscrita com as marcações que aparecem para representar números.
Esse artefato foi descoberto na pequena vila de pescadores Africano de Ishango, na fronteira do Zaire, Uganda e pelo geólogo belga Jean de Heinzelin.
O Osso de Ishango encontra-se no Museu de Ciências Naturais , em Bruxelas, e foi datado de cerca de 20.000 aC. É considerado o mais antigo artefato matemático já descoberto.
Início da Aritmética?
À primeira vista, o osso parece ser uma ferramenta de escrita. Tem 10 cm de comprimento, e no final possui um pedaço de quartzo que devia ser usado para gravuras e escrita. Uma análise mais atenta revela uma série de entalhes correndo até o lado do osso, em três colunas.
As três colunas de traços agrupados assimétricos implicam que a ferramenta era mais funcional do que decorativa. O osso de Ishango pôde ser talhado para estabelecer um sistema numérico.
Os entalhes no osso estão representados abaixo:
A coluna central começa com 3 traços e logo duplica o seu número. O mesmo processo é repetido com o número 4, que se duplica a 8 traços, e logo inverte-se o processo com o número 10, que é dividido pela metade resultando em 5 traços. Por isto chega-se à conclusão de que estes números não podem ser puramente arbitrários, senão que sugestionam algum indício de cálculos de multiplicação e divisão por 2. O osso poderia ter sido usado, portanto, como uma ferramenta para levar a cabo procedimentos matemáticos simples.
Essa visão é reforçada por olhar para o número de entalhes de cada lado da coluna central. Os números, à esquerda e à direita da coluna central, são todos números ímpares (9, 11, 13, 17, 19 e 21). Além disso, os números na coluna da esquerda são todos números primos, sugerindo alguns conhecimentos matemáticos. Os números de cada coluna lateral somam 60, e os números da coluna central somam 48. Ambos os resultados são múltiplos de 12, mais uma vez sugerindo que já existia uma compreensão da multiplicação e divisão.
Existem vários críticos que acham que as reivindicações matemática para o osso Ishango são exagerados. Eles sugerem que, uma vez que existem apenas 4 números na coluna da esquerda do osso, pode ser uma simples coincidência que todos esses sejam Primos. O aspecto mais importante da sua argumentação é o fato de que não há nenhuma evidência do conhecimento dos números primos antes do período clássico grego, pelo menos, 10.000 anos mais tarde.
Calendário ou Calculadora?
Alexander Marshack examinou o osso de Ishango com um microscópio e concluiu que esta antiga ferramenta pode representar um calendário lunar de seis meses. Claudia Zaslavsky sugestionou que isto pode indicar que o criador do instrumento era uma mulher, pesquisando a relação entre as fases lunares com o ciclo menstrual.
A InterSis Brasil e a SEI Empreendimentos Educacionais (empresas fundadas no ano de 2000 com sede em Catalão - GO, Goiânia - GO e São Paulo - SP) são organizações especializadas em Projetos Multimídia (com foco em Projetos Educacionais) e EAD, Projetos para WEB e Desenvolvimento de Softwares.
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A prática do Xadrez tem se tornado muito comum em todos os ambientes sociais. Para alguns, um simples passatempo, para outros, uma forma de treino mental e ainda para os amantes das Ciências, Exatas ou não, uma maneira de despertar habilidades como Raciocínio lógico-dedutivo, concentração e elaboração de estratégias. Para mim, defino o jogo como exercício mental, altamente competivo e saudável.
Minha paixão particular pelo Xadrez me fez elaborar este artigo que faz uma estrita relação com as Ciências Exatas, em especial a Matemática.
Várias lendas sobre a origem do Xadrez podem ser encontradas facilmente na internet ou em livros, mas a que mais me interessou foi a de Sissa, um brâmane indiano, que havia criado o Jogo para curar o tédio de um certo rei.
Como recompensa à criação do enigmático jogo, o rei desejou recompensar o seu brilhante súdito com o que desejasse:
Então, Sissa se dirigiu ao Rei e pediu:
- Bondoso rei, desejo um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda casa, quatro (=22) pela terceira, Oito (=23) pela quarta, e assim por diante, dobrando o número de grãos na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos correspondentes (ou seja, 263).
O rei achou esse pedido muito modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:
_ Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava lhe conceder muitas riquezas, mas como é o que desejas, isso te darei. Então o rei ordenou aos seus subordinados que satisfizessem o pedido de Sissa.
Conclusão: O número de grãos que Sissa tinha pedido corresponde à fórmula 264-1 que é igual a 18.446.744.073.709.551.615
É um número monstruoso, na casa dos quintilhões.
Então, O rei descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era suficiente para satisfazer o pedido de Sissa. E mais, em todo o mundo conhecido na época não havia trigo suficiente para atender àquele pedido!
O valor de 264-1 grãos de trigo corresponde à soma da série: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... + 9.223.372.036.854.775.808.
De acordo com Jhon Wallis, matemático inglês, essa quantidade de grãos de trigo poderia encher um cubo que tivesse 9400m de aresta. Se contássemos esses grãos á razão de 5 por segundo, trabalhando dia e noite sem parar, gastaríamos nessa contagem, 1170 milhões de séculos.
(Adaptado de: TAHAN, Malba. O Homem que Calculava)
Nas séries de postagens seguintes vou publicar vários recursos matemáticos, com os quais é possível calcular esse número que corresponde à quantidade de grãos pedidos por Sissa.
Progressão Geométrica (P.G) é toda seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por um constante, denominado razão q da progressão geométrica.
Ex. (1, 2, 4, 8, .........) P.G infinita; razão q = 2 Para acharmos um termo qualquer de uma P.G. adota-se a seguinte fórmula: an = a1 . qn - 1 , onde: an: termo geral a1: primeiro termo q: razão n: número de termos
Portanto, no caso da lenda do xadrez fica fácil descobrir sem ter que fazer muita conta, claro que usando uma calculadora científica do quanto era grande a recompensa de Sissa, com o seguinte cálculo: a64 = 1 . 264-1 o que daria o mesmo valor mencionado acima para a 64a casa do tabuleiro de xadrez.
E a fórmula que fornece a Soma dos termos de Uma PG, de que forma, podemos usá-la aqui?
Muito bem, consideremos q≠1 (razão da PG) e n um número inteiro positivo qualquer, temos
S = 1 + q + q2 + q3 + ...+qn (I)
e observemos que
qS = q + q2 + q3 + q4 +...+qn+1. (II)
Portanto, subtraindo (I) de (II), obtemos
qS – S = qn+1 – 1, donde
Que é a fórmula da Soma que está sendo usada nos cálculos.
Um post atrasado sobre o PI, que comemoramos no Dia 14 de março (3/14 na notação norte-americana), por 3,14 ser a aproximação mais conhecida de π. O auge das comemorações aconteceu à 1:59 da tarde (porque 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal).
Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que
O nome “pi”, usando a letra grega, foi introduzido pela primeira vez em 1706 por William Jones (1675-1749).
Fiz um calculo exato para conquistar meu amor, Com a circunferência de um raio de emoção. Calculei milimetradamente suas arestas, Com o tempo de vida do meu coração
Descobri meu amor na matemática, Numa operação somei sua virtude, Logo diminui seus defeitos, Multiplicando a sua personalidade
Como professor de matemática que sou, Fiz uma conta exata, que nada sobrou. Sua baixa verticalidade foi igualada, Com horizontalidade do ninho do nosso amor.
Quando começamos usei a aritmética. Com a chave do tempo fizemos um conjunto. A soma de nossos sentimentos era o universo. E a paixão veio forte, em progressão geométrica
Dividi comigo a sua tristeza, alegria e emoção. Tangenciei uma perimetral na sua fonte. Lotiei seu corpo em formas arredondadas. Para que coubessem no meu coração.
A beleza da geometria entre a arte, a ciência e o pensamento renascentista
Leonardo da Vinci • Luca Pacioli • De divina proportione • 1509
Quando a Matemática encontra a arte, o espaço deixa de ser apenas observado e passa a ser compreendido, representado e construído.
Introdução: a geometria que encantou Leonardo da Vinci
Entre os muitos campos do conhecimento que despertaram o interesse de Leonardo da Vinci (1452–1519), a Geometria ocupa um lugar especial. O artista italiano não se limitou a observar as formas presentes na natureza. Procurou compreender sua estrutura, suas proporções, suas relações espaciais e os princípios matemáticos que permitiam representá-las.
Essa curiosidade encontrou uma expressão extraordinária nos estudos dos poliedros, sólidos geométricos cujas superfícies são formadas por polígonos.
As ilustrações realizadas por Leonardo para a obra De divina proportione, do matemático franciscano Luca Pacioli, constituem um dos episódios mais interessantes da aproximação entre arte e Matemática durante o Renascimento.
Conjunto de ilustrações históricas de poliedros associadas à tradição de De divina proportione. A representação dos sólidos em diferentes configurações revela o interesse renascentista pela estrutura espacial.
Essas imagens não são apenas desenhos de objetos tridimensionais. Elas representam um esforço intelectual para tornar visíveis propriedades geométricas que, muitas vezes, são difíceis de perceber quando observamos um sólido apenas por uma de suas faces.
O objetivo desta publicação é compreender o contexto histórico dessas ilustrações, conhecer os personagens envolvidos, estudar as propriedades matemáticas dos sólidos e perceber como essa tradição influenciou a representação geométrica nos séculos seguintes.
Uma distinção histórica importante: Leonardo não inventou os poliedros platônicos nem foi o primeiro a estudar os sólidos geométricos. Esses conhecimentos remontam à Antiguidade. Sua contribuição foi particularmente importante na representação visual de sólidos regulares, semirregulares e estrelados, em um momento de intensa aproximação entre a geometria e as artes.
1. O Renascimento e o reencontro entre arte e Matemática
O Renascimento europeu, desenvolvido entre os séculos XIV e XVI, foi marcado por profundas transformações culturais e científicas. O estudo das obras clássicas, o desenvolvimento das técnicas de impressão, a valorização da observação e o interesse pela natureza contribuíram para uma nova maneira de compreender o conhecimento.
A Matemática ocupava uma posição central nesse ambiente intelectual.
Na pintura, a geometria permitia estudar a perspectiva e a representação da profundidade. Na arquitetura, contribuía para estabelecer proporções e organizar espaços. Na engenharia, auxiliava na construção de máquinas e estruturas. Na astronomia, possibilitava descrever os movimentos celestes.
Os artistas renascentistas perceberam que compreender a forma significava, em grande medida, compreender sua geometria.
O interesse de Leonardo pela geometria também se manifesta em seus estudos de perspectiva e representação espacial. Imagens e documentos de sua produção podem ser explorados nas coleções digitais do Metropolitan Museum of Art.
É nesse cenário que devemos compreender a colaboração entre Leonardo da Vinci e Luca Pacioli.
2. Luca Pacioli: o matemático por trás de De divina proportione
Luca Pacioli (c. 1445–1517), matemático italiano e autor de De divina proportione. Retrato tradicional associado a Jacopo de' Barbari.
Luca Pacioli (c. 1445–1517) foi um matemático e frade franciscano italiano, conhecido por suas contribuições à divulgação e organização dos conhecimentos matemáticos de seu tempo.
Em 1494, publicou a Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, obra que reunia conhecimentos de aritmética, álgebra, geometria e aplicações comerciais.
Alguns anos depois, preparou uma obra de natureza mais filosófica e geométrica: De divina proportione.
2.1. A origem da obra
O tratado foi escrito em 1498, quando Pacioli e Leonardo estavam relacionados à corte de Ludovico Sforza, em Milão. A obra foi impressa em Veneza em 1509, em edição ilustrada por xilogravuras.
Seu conteúdo reunia discussões sobre a proporção áurea, geometria dos sólidos, arquitetura, perspectiva e proporções do corpo humano.
O título pode ser traduzido como Sobre a proporção divina, referência àquilo que posteriormente ficou amplamente conhecido como razão áurea.
Uma das ilustrações geométricas da edição de 1509 de De divina proportione. Fonte: University of Oklahoma, Galileo's World.
2.2. A colaboração de Leonardo
Leonardo da Vinci foi responsável pelas célebres ilustrações geométricas que acompanham a obra. Sua capacidade de representar objetos tridimensionais com precisão e profundidade foi fundamental para o projeto editorial.
As ilustrações constituem um registro particularmente importante: são consideradas as únicas obras de Leonardo publicadas em forma impressa durante sua vida.
O livro apresenta dezenas de figuras geométricas, incluindo sólidos regulares, semirregulares e estrelados.
O Metropolitan Museum of Art, o Rijksmuseum e a Mathematical Association of America preservam registros e estudos importantes sobre essa colaboração.
Antes de analisar as figuras de Leonardo, precisamos compreender matematicamente o objeto de seus estudos.
Um poliedro é uma região espacial limitada por um conjunto finito de polígonos, denominados faces, que se encontram ao longo de segmentos chamados arestas.
As extremidades dessas arestas são os vértices.
Os três elementos fundamentais de um poliedro são:
Faces (F): polígonos que delimitam o sólido.
Arestas (A): segmentos de reta que formam os lados das faces.
Vértices (V): pontos de encontro das arestas.
Representação esquemática de um poliedro. Em um cubo, por exemplo, existem seis faces, doze arestas e oito vértices.
3.1. A relação de Euler
Um dos resultados mais importantes da teoria dos poliedros é a relação de Euler, válida para poliedros convexos homeomorfos à esfera:
V − A + F = 2
Essa relação estabelece uma conexão entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo.
Observe o exemplo do cubo:
V = 8 A = 12 F = 6
8 − 12 + 6 = 2
A relação é satisfeita.
O resultado é atribuído a Leonhard Euler, matemático do século XVIII. Portanto, não devemos atribuí-lo a Leonardo da Vinci, embora seja perfeitamente possível utilizá-lo para estudar os sólidos representados em suas ilustrações.
Para estudantes universitários, vale observar que a fórmula está relacionada à característica de Euler da esfera, um conceito que posteriormente seria desenvolvido na Topologia.
4. Os cinco sólidos platônicos
Os cinco sólidos platônicos são poliedros convexos regulares cujas faces são polígonos regulares congruentes e cujos vértices apresentam a mesma configuração geométrica.
São eles: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Esses sólidos já eram conhecidos na Antiguidade e foram estudados pela tradição matemática grega, especialmente na geometria associada a Platão e Euclides.
Representações históricas dos sólidos geométricos na tradição das ilustrações de Leonardo da Vinci para Pacioli.
4.1. Tetraedro
O tetraedro é o poliedro regular com o menor número possível de faces.
É constituído por quatro faces triangulares equiláteras, seis arestas e quatro vértices.
F = 4 A = 6 V = 4
4 − 6 + 4 = 2
O tetraedro é dual de si mesmo: o poliedro dual de um tetraedro regular também é um tetraedro regular.
4.2. Hexaedro regular: o cubo
O cubo possui seis faces quadradas, doze arestas e oito vértices.
F = 6 A = 12 V = 8
Seu dual é o octaedro regular.
Essa relação significa que, se colocarmos um ponto no centro de cada face do cubo e conectarmos os pontos correspondentes a faces adjacentes, obteremos a estrutura de um octaedro.
4.3. Octaedro
O octaedro possui oito faces triangulares equiláteras, doze arestas e seis vértices.
F = 8 A = 12 V = 6
É dual do cubo.
4.4. Dodecaedro
O dodecaedro regular apresenta doze faces pentagonais regulares, trinta arestas e vinte vértices.
F = 12 A = 30 V = 20
Seu dual é o icosaedro.
4.5. Icosaedro
O icosaedro regular é formado por vinte faces triangulares equiláteras, trinta arestas e doze vértices.
F = 20 A = 30 V = 12
É dual do dodecaedro.
Sólido
Faces
Arestas
Vértices
Dual
Tetraedro
4
6
4
Tetraedro
Cubo
6
12
8
Octaedro
Octaedro
8
12
6
Cubo
Dodecaedro
12
30
20
Icosaedro
Icosaedro
20
30
12
Dodecaedro
Uma curiosidade matemática: existem exatamente cinco poliedros convexos regulares. Essa classificação decorre de uma restrição geométrica: a soma dos ângulos das faces incidentes em cada vértice precisa ser menor que 360°.
5. Por que existem apenas cinco sólidos platônicos?
Essa pergunta nos conduz a uma demonstração matemática bastante interessante.
Em um poliedro regular, todas as faces são polígonos regulares congruentes. Para que o sólido seja convexo, pelo menos três faces precisam encontrar-se em cada vértice.
Se cada face for um polígono regular de n lados, seu ângulo interno será:
α = 180° · (n − 2) / n
Para que exista um vértice convexo, precisamos que:
3α < 360°
Substituindo:
3 · 180°(n − 2)/n < 360°
Simplificando:
540(n − 2) < 360n
180n < 1080
n < 6
Assim, as faces podem ser triângulos, quadrados ou pentágonos regulares.
Considerando três ou mais faces em cada vértice, encontramos somente cinco possibilidades:
Triângulos: três, quatro ou cinco em cada vértice.
Quadrados: três em cada vértice.
Pentágonos: três em cada vértice.
São precisamente as configurações dos cinco sólidos platônicos.
6. Os poliedros semirregulares e a contribuição das ilustrações de Leonardo
Os estudos de Leonardo não ficaram restritos aos cinco sólidos platônicos.
Uma parte especialmente interessante de suas ilustrações está relacionada aos sólidos semirregulares, também conhecidos, em sua forma convexa clássica, como sólidos arquimedianos.
Esses sólidos apresentam faces que são polígonos regulares de diferentes tipos, mas mantêm a mesma configuração em todos os vértices.
Representação de poliedros truncados nas ilustrações associadas a De divina proportione. Observe a passagem da forma maciça para a estrutura vazada.
6.1. O que significa truncar um poliedro?
Truncar um poliedro significa cortar seus vértices por meio de planos.
Quando realizamos esses cortes de maneira adequada, surgem novas faces e os polígonos originais podem ser modificados.
Por exemplo, ao truncarmos os vértices de um cubo de maneira apropriada, podemos obter um cuboctaedro.
Esse processo permite compreender como a combinação de polígonos diferentes pode produzir sólidos com simetrias interessantes.
6.2. Exemplos de sólidos arquimedianos
Entre os sólidos arquimedianos, podemos destacar:
Tetraedro truncado.
Cuboctaedro.
Octaedro truncado.
Cubo truncado.
Cuboctaedro truncado.
Rombicuboctaedro.
Icosidodecaedro.
Icosaedro truncado.
Dodecaedro truncado.
Rombicosidodecaedro.
Pequeno rombicosidodecaedro.
Grande rombicosidodecaedro.
Pequeno icosidodecaedro.
Esses sólidos mostram a riqueza das possibilidades geométricas existentes além dos poliedros regulares.
O estudo histórico das figuras renascentistas revela que algumas das formas representadas por Leonardo, como o icosidodecaedro e o rombicuboctaedro, possuem especial importância na história da visualização geométrica.
6.3. O icosaedro truncado e a bola de futebol
Modelo de um icosaedro truncado, sólido formado por 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos regulares.
Um dos exemplos mais conhecidos de sólido arquimediano é o icosaedro truncado.
Essa estrutura tornou-se famosa por sua relação com a forma tradicional de muitas bolas de futebol.
É um excelente exemplo de como a Geometria Espacial pode aparecer em objetos do cotidiano.
7. Solidus e vacuus: a genialidade das representações
Uma das características mais interessantes das ilustrações de Leonardo é a apresentação de determinados sólidos em duas configurações: maciça e vazada.
Nas legendas latinas, aparecem expressões como solidus e vacuus.
Solidus: representação do sólido preenchido, permitindo observar a superfície externa e a aparência volumétrica.
Vacuus: representação vazada ou em estrutura de armação, permitindo visualizar arestas, vértices e relações internas.
Um exemplo da linguagem visual de De divina proportione: o sólido maciço ao lado de sua representação vazada.
Essa escolha gráfica é matematicamente muito interessante.
Quando observamos um poliedro maciço, algumas arestas e vértices ficam ocultos. A representação vazada permite acompanhar a estrutura espacial e compreender como os elementos se conectam.
Em termos didáticos, é uma antecipação de recursos que hoje encontramos em modelos tridimensionais, desenhos técnicos, estruturas de arame e softwares de Geometria Dinâmica.
Uma reflexão: Leonardo não estava apenas desenhando sólidos. Estava criando maneiras de tornar compreensível a estrutura tridimensional de objetos geométricos por meio de uma representação bidimensional.
8. A perspectiva: como representar o espaço em uma superfície plana?
Um dos maiores desafios da representação geométrica é desenhar um objeto tridimensional em uma superfície bidimensional.
Quando Leonardo representava um poliedro, precisava produzir uma imagem capaz de sugerir profundidade, proporção e posição espacial.
A perspectiva linear é um dos instrumentos matemáticos utilizados para esse propósito.
Ela permite representar objetos considerando a convergência das linhas paralelas em pontos de fuga, produzindo uma sensação visual de profundidade.
O estudo da perspectiva também foi desenvolvido por outros importantes artistas e estudiosos renascentistas, como Filippo Brunelleschi e Piero della Francesca.
A Geometria Descritiva, desenvolvida posteriormente por Gaspard Monge, sistematizaria outros métodos de representação espacial.
Portanto, não devemos confundir a perspectiva artística renascentista com a Geometria Descritiva moderna, embora exista uma importante continuidade histórica entre essas práticas.
9. A proporção áurea e a divina proporção
O título da obra de Pacioli remete à chamada proporção áurea, uma relação matemática que despertou grande interesse entre filósofos, artistas e matemáticos.
Essa proporção pode ser definida a partir de um segmento dividido em duas partes, a e b, com a maior parte correspondendo a a.
Quando a razão entre o segmento inteiro e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a menor, temos:
(a + b)/a = a/b = φ
O número φ (phi) é conhecido como número de ouro ou razão áurea.
φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887...
Essa relação aparece na geometria do pentágono regular, em determinadas construções associadas ao dodecaedro e ao icosaedro, e em diversas investigações sobre proporção.
Pacioli procurou relacionar a proporção áurea à beleza e à organização matemática das formas naturais e artísticas.
Uma observação histórica necessária: não devemos afirmar que todos os poliedros de Leonardo são construídos a partir da razão áurea. A obra discute diferentes propriedades geométricas e proporcionais. A relação áurea é especialmente significativa em certas estruturas, mas não constitui uma explicação universal para todos os sólidos apresentados.
10. Albrecht Dürer e a continuidade dos estudos dos poliedros
Melencolia I (1514), de Albrecht Dürer. A gravura apresenta um grande poliedro como um dos elementos centrais de sua composição.
A investigação dos sólidos geométricos continuou a despertar interesse entre os artistas e matemáticos europeus.
Um personagem fundamental nesse desenvolvimento foi Albrecht Dürer (1471–1528), artista alemão que também se dedicou à Matemática e à geometria.
Em 1525, publicou a obra Underweysung der Messung, que apresentava conhecimentos geométricos e técnicas de construção, incluindo representações planificadas de poliedros.
Essa abordagem foi muito importante porque permitia construir modelos físicos dos sólidos a partir de suas planificações.
Na famosa gravura Melencolia I, de 1514, Dürer incluiu um poliedro de grande destaque visual, cuja estrutura continua sendo objeto de estudos e discussões.
Assim, a relação entre arte e geometria, tão evidente na produção de Leonardo, também aparece na obra de outros artistas renascentistas.
11. Os poliedros na Matemática contemporânea
Os sólidos estudados e representados durante o Renascimento continuam presentes em diferentes áreas do conhecimento.
11.1. Arquitetura e engenharia
Estruturas espaciais, cúpulas geodésicas, coberturas e sistemas de sustentação utilizam princípios relacionados à geometria dos poliedros.
11.2. Química e cristalografia
A organização espacial de átomos e moléculas pode ser estudada por meio de modelos geométricos tridimensionais. Algumas estruturas moleculares apresentam configurações que lembram poliedros.
11.3. Computação gráfica
Os modelos tridimensionais utilizados em jogos, animações, projetos arquitetônicos e simulações digitais são frequentemente construídos a partir de malhas poligonais.
Um modelo digital pode ser descrito por vértices, arestas e faces, exatamente os elementos fundamentais estudados na geometria dos poliedros.
11.4. Modelagem e impressão 3D
A construção de sólidos físicos a partir de modelos digitais permite explorar as propriedades geométricas de maneira concreta.
As planificações, as estruturas vazadas e os modelos de poliedros podem ser utilizados em projetos educacionais e de investigação matemática.
12. Linha do tempo: os personagens e suas contribuições
c. 400 a.C. – Platão Associação filosófica dos cinco sólidos regulares aos elementos fundamentais da natureza no diálogo Timeu.
c. 300 a.C. – Euclides Organização sistemática da geometria e estudo dos sólidos regulares nos Elementos, especialmente no Livro XIII.
c. 1415–1492 – Piero della Francesca Estudos de perspectiva, geometria e sólidos regulares.
1452–1519 – Leonardo da Vinci Estudos geométricos, artísticos e ilustrações de poliedros para Pacioli.
c. 1445–1517 – Luca Pacioli Publicação da Summa em 1494 e de De divina proportione em 1509.
1471–1528 – Albrecht Dürer Desenvolvimento de estudos geométricos e publicação de construções de poliedros em 1525.
1752 – Leonhard Euler Publicação do resultado que ficou conhecido como fórmula de Euler para poliedros.
Séculos XIX e XX Desenvolvimento de novas interpretações geométricas, topológicas e computacionais dos poliedros.
13. Recursos para estudar e explorar os poliedros
Para quem deseja aprofundar os estudos, algumas instituições e recursos digitais oferecem materiais históricos e geométricos de grande qualidade.
1. Mathematical Association of America
Estudo acadêmico sobre os desenhos geométricos de Leonardo e as ilustrações de Pacioli.
Para estudantes de Licenciatura em Matemática ou professores que desejam transformar o tema em uma atividade de investigação, propomos o seguinte roteiro:
Escolha um dos cinco sólidos platônicos.
Construa seu modelo tridimensional utilizando papel, cartolina ou um software de geometria.
Identifique o número de faces, arestas e vértices.
Verifique a relação de Euler.
Determine o poliedro dual correspondente.
Investigue o que acontece quando seus vértices são truncados.
Compare a representação maciça com a representação vazada.
Pesquise como o sólido aparece nas ilustrações históricas de De divina proportione.
O objetivo não é apenas reproduzir um desenho histórico, mas compreender as propriedades matemáticas que sustentam a forma representada.
15. Considerações finais: quando a Matemática se torna arte
Os poliedros de Leonardo da Vinci representam muito mais do que uma coleção de desenhos geométricos extraordinariamente elaborados.
Eles testemunham um período em que a humanidade procurava compreender o mundo por meio da observação, da proporção, da experimentação e da Matemática.
A colaboração entre Leonardo e Luca Pacioli mostra como a produção artística e o conhecimento matemático podiam se complementar. Enquanto Pacioli desenvolvia os fundamentos e as discussões teóricas sobre proporção e geometria, Leonardo oferecia uma capacidade excepcional de transformar conceitos espaciais em representações visuais.
As figuras maciças e vazadas, os sólidos regulares, as formas truncadas e as estruturas estreladas revelam uma preocupação que permanece atual: como representar, compreender e explorar matematicamente o espaço tridimensional?
Uma última reflexão
Leonardo da Vinci viveu em um período no qual a Matemática ainda não havia alcançado a linguagem simbólica e computacional que conhecemos atualmente. Entretanto, sua maneira de observar, investigar e representar as formas geométricas continua inspirando estudantes, artistas, engenheiros e matemáticos.
Seus desenhos nos lembram que a Matemática não é apenas um conjunto de fórmulas e cálculos. Ela também é uma linguagem para compreender a estrutura do mundo, revelar padrões e descobrir a beleza presente nas formas.
A geometria revela aquilo que os olhos observam, mas nem sempre conseguem compreender.
Referências bibliográficas e fontes de pesquisa
EUCLIDES. Os Elementos. Especialmente Livro XIII, dedicado aos cinco sólidos regulares.
PACIOLI, Luca. De divina proportione. Veneza, 1509.
SWETZ, Frank J. Leonardo da Vinci's Geometric Sketches. Mathematical Association of America, Convergence.
BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da Matemática.
KATZ, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction.
HART, George W. Virtual Polyhedra.
Archive for History of Exact Sciences. Archimedean solids in the fifteenth and sixteenth centuries.
As reproduções históricas devem conservar a identificação de suas instituições de origem. Algumas imagens utilizadas são reproduções de fac-símiles e não fotografias dos originais. Verifique as condições de reutilização de cada arquivo antes de republicá-lo em outros materiais.
MATEMÁTICA DO PI
Da Educação Básica à Univerdade - .
Professor Jonas Portal
Nesses dois séculos o desenvolvimento do pensamento matemático teve um grande avanço, principalmente depois da invenção da imprensa de tipos móveis, no século XV, que revolucionou a difusão do conhecimento.
Vejamos alguns dos Matemáticos que deixaram seus nomes marcadas na História…
Nicholas Cusa (1401-1464)
Foi ordenado sacerdote em 1440 e tornou-se cardeal em 1448. Foi também governador de Roma. Se interessou por Geometria e Lógica. Seus trabalhos matemáticos consistem na reforma do calendário e nas tentativas de quadrar o círculo e trisseccionar o ângulo. Contribuir para o estudo do infinito, analisando o infinitamente grande e o infinitamente pequeno.
Georg Von Peurbach (1423-1463)
Nascido em 30 de maio de 1423, faleceu 8 de abril de 1461.
austríaco Matemático e astrônomo, que promoveu o uso de algarismos arábicos (introduzido 250 anos mais cedo em lugar de algarismos romanos), especialmente em uma tabela de senos ele calculou com precisão sem precedentes. Peurbach foi seguidor da astronomia de Ptolomeu. Ele insistiu sobre a realidade concreta das esferas de cristal dos planetas, indo mais longe do que nos escritos de Ptolomeu.
Johann Muller (1436-1476)
Conhecido como “Regiomontanus”. Estudou com Peurbach e tomou para si o trabalho de traduzir o “Almagesto”. Traduziu também textos de Apolônio, Herão e Arquimedes. Publicou “De Triangulis Omnimodis”, primeira exposição européia sistemática de trigonometria plana e esférica, independente da astronomia. Montou um observatório e, com uma prensa tipográfica escreveu tratados de astronomia. Segundo historiadores construiu uma água mecânica que batia as asas.
Nicolas Chuquet
Escreveu um dos primeiros tratado sobre matemática em francês, o Triparty en la science des nombres, de 1484. Se dedicou também à medicina. Sabe-se que se mudou para Leão, por volta de 1480 onde viveu até à sua morte, por volta de 1488. Estes dados são fornecidos pelos registos de impostos de Leão, onde aparece entre 1485 e 1487 com a profissão de algoriste.
Seu trabalho em matemática enfoca cálculo com números racionais e irracionais e teoria das equações.
Luca Pacioli (1445-1509)
Luca Pacioli era um padre franciscano que se dedicou à compilações de álgebra, aritmética e geometria. Publicou “Summa de arithmetica, geométrica, proportioni et proportionalita”. Este trabalho, que contém muito dos assuntos encontrados no “Líber Abaci”, trata de operações fundamentais para a extração de raízes quadradas, escrituração mercantil, equações quadráticas, álgebra sincopada (p, para indicar mais). Publicou ainda “De divina proportione”, com ilustrações de sólidos geométricos feitas por Da Vinci, aluno de Pacioli.
Johann Widman (1460-1498)
Matemático alemão que estudou na Universidade de Leipzig, e tornou-se um professor de lá, palestras sobre aritmética e álgebra. Ele foi o primeiro a ensinar álgebra na Alemanha. Credita-se a ele o uso, primeiramente, dos sinais de + e -. Estes símbolos eram usados para indicar excesso e deficiência.
Os símbolos de mais (+) e menos (-) apareceram pela primeira vez impressos no livro Behende und Hüpsche Recenung auff allen Kauffmanschafft ("Aritmética Mercantil") de JOHANNES WIDMANN, publicado na cidade de Leipzig em 1489. Entretanto neste livro os sinais não se aplicam à adição e à subtração como a conhecemos, e sim a aumentos e diminuições em problemas de contabilidade. A página a seguir é do próprio livro de WIDMANN, de uma edição de 1526.
Robert Recorde (1510-1558)
Foi um Matemático e Médico nascido na Inglaterra. É muito conhecido no meio matemático por ter criado o sinal de igualdade (=), em 1557 no seu livro "Whetstone of Witte".
Quando perguntado sobre o porquê da escolha do símbolo, Robert Recorde justifiou:
"Se escolhi um par de paralelas, é porque elas são duas linhas gêmeas, e nada é mais semelhante do que dois gêmeos".
Deixou pelo menos cinco publicações, sendo “The ground of artes” o seu mais completo livro de aritmética, o qual atingiu 29 tiragens. Fez trabalhos sobre astronomia, geometria, medicina e álgebra. Apresentou o sistema de Copérnico aos ingleses.
Michael Stifel (1486-1567)
Nascido na cidade alemã de Esslingen, em 1487, Stifel tornou-se um monge em seus vinte anos, e em 1511 foi ordenado para o sacerdócio.
Considerado o maior matemático alemão dos séculos XV e XVI , Michael Stifel foi um luterano fervoroso.
Como matemático, foi um dos primeiros a usar sinais de adição e subtração; desenvolveu um sistema de logaritmos, independente dos estudos de John Napier (1550-1617).
Em 1544, ele publicou Arithmetica Integra, um somatório de conhecimentos matemáticos até esse ponto.
Trabalhou com álgebra, números racionais e irracionais. Associou uma progressão aritmética a uma progressão geométrica, antecipando assim a invenção dos logaritmos.
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