RESOLUÇÃO LISTA EXERCÍCIOS PROFMAT-1,2,3

QUESTÃO 1

Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em:
A) 25%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 80%

Solução:

Meta: 420 kcal em 30’

Gastou: 240kcal em 20’: 240/20= 12kcal/min

Ele deve gastar mais 180 kcal em 10’: 18kcal/min

Fazendo 18kcal-12kcal=6kcal

Usamos uma regra de três simples:

12kcal----100%

6kcal-----x

X=50%

Resp.: C

QUESTÃO 2

Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
A) 12
B) 24
C) 30
D) 60
E) 72

Solução:

Essa solução eu fiz usando a figura:

Considerando as condições estabelecidas, temos:

4 possibilidades para V₁

3 possibilidades para V_{2  ,}

2 possibilidades para V₃

V₄, V₅, V₆ tem a mesma cor de V₂, V₁ e V₃, respectivamente, restando para eles apenas uma possibilidade.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4x3x2x1=24 modos distintos

Resp: B

QUESTÃO 3

Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6
ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme
ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então:
A) 16π
B) 20π
C) 24π
D) 28π
E) 32π

Solução:

Vamos analisar a figura:

Usaremos a relação de semelhança entre as medidas:

Sabendo que:

obtemos:

Usando o volume do cilindro, encontramos:

Resposta: E

Cont. RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS-PROFMAT

Solução:

Devemos substituir os valores de (x₁,y₁)=(3,1) e (x₂,y₂)=(4,3) em (y₁-ax₁)²+(y₂-ax₂)²

Fica assim:

(1-a.3)²+(3-a.4)²=1-6a+9a²+9-24a+16a²=25a²-30a+10 = 5a²-6a+2

Que resultou numa função quadrática com gráfico cuja concavidade é voltada para cima. Portanto, devemos encontrar o valor mínimo de x que será encontrado usando X_v=-b/2a

Temos:

Letra A

5ª QUESTÃO

A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
A) 100%
B) 90%
C) 80%
D) 72%
E) 64%

  Solução:

Total de abordagens: X

Meta de Sucesso: 60% de X = 0,6X

Quando realizou 75% das abordagens, ou seja 0,75X, teve sucesso de 56%. Portanto, devemos fazer:

56% de 0,75X = 0,42X

Faltam, então 0,6X – 0,42X = 0,18X, ou seja, 18% do total de abordagens.

Sabendo que restam apenas 25%=0,25 de abordagens para serem realizadas, usamos uma regra de três simples:

0,25--------100%

0,18---------y

Resultando em y = 18/0,25=72%

Resposta: D

RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS PROFMAT- MESTRADO

Resolverei as questões da lista de exercícios disponibilizada no site http://www.profmat-sbm.org.br/docs/Lista_Problemas.pdf como estudo para a prova do Mestrado em Matemática.

Questão 08

Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é:
A) 50m2
B) 80m2
C) 110m2
D) 160m2
E) 310m2

Solução: 

Calculamos inicialmente ÁREA DO CÍRCULO(Ac) -ÁREA DO HEXÁGONO(Ah):

Sabendo que l=r=10m e considerando π=3,14 e raiz quadrada de 2 igual a 1,73, temos:

Multiplicando por 2 encontramos a área da rosácea:

Área Rosácea = 54,5x2=109m²

Portanto, o valor mais próximo está na letra C.

Matemático Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli nascido na Holanda em 08 de fevereiro de 1700, foi um matemático e físico,veio de uma famosa família de matemáticos, físicos e filósofos, que incluía seu pai Joahnn Jakob. Daniel estudou lógica, filosofia e medicina nas universidades de Heidelberg, Estrasburgo, Basileia, mas sua primeira grande obra depois de receber seu mestrado foi Exercitationes quaedam Mathematicae,  foi quaedam Exercitationes Mathematicae, um tratado sobre equações diferenciais relacionados à física de água corrente (dinâmica de fluidos).

O trabalho trouxe-lhe um convite para a Academia de Ciências da Rússia em São Petersburgo, onde lecionou na medicina, mecânica e física. Seu nome ficou muito conhecido na Europa, e em 1732 ele aceitou um cargo em Basel para ensinar anatomia e botânica.
Em 1738 foi publicdo um de seus trabalhos mais famosos: Hydrodynamica .

Ele estabeleceu os princípios da dinâmica dos fluidos, ou seja, o movimento de um fluido sob a influência de forças. Nela se desenvolveram as relações nos fluidos:  velocidade, pressão e densidade. Estabeleceu o que agora é conhecido como Teorema de Bernoulli, cujo princípio diz que a pressão em um fluido diminui à medida que aumenta a sua velocidade e vice-versa.
Bernoulli desenvolveu a base para a energia cinética dos gases, mostrando que a pressão em um gás pode
ser explicado por colisões aleatórias das moléculas com o recipiente e que a pressão aumentar o movimento da partícula com a temperatura.
Entre 1725 e 1749, ele venceu 10 dos prêmios da Academia Francesa de Ciências com os trabalhos sobre astronomia, gravidade, magnetismo marés e correntes oceânicas. Como resultado a sua nomeação em Basel foi transferida para  fisiologia em 1743 e para  física em 1750.

 O TEOREMA DE BERNOULLI

Esse conhecimento permite-nos entender por que os aviões conseguem voar. Na parte superior da asa a velocidade do ar é maior (as partículas percorrem uma distância maior no mesmo tempo), logo, a pressão na
superfície superior é menor do que na superfície inferior, o que acaba por criar uma força de sustentação de baixo para cima.
 Este princípio pode ser aplicado no escoamento de líquido por um tubo de diâmetros diferentes: sendo o diâmetro da parte central do tubo menor que nas duas extremidades, o escoamento é mais rápido na região mais estreita e a pressão menor. É este o princípio do medidor de venturi; um dispositivo que permite calcular a velocidade de um fluido em um tubo horizontal, por meio da diferença de pressão nos tubos verticais.

Que Venha 2011

Quero de modo singelo agradecer a todos os amigos, leitores ou não do blog Matemática do Pi, por fazerem parte de minha jornada no ano de 2010, o qual foi de grandes conquistas, alguns deslizes, muitas risadas, trapalhadas, mas que foram necessárias para realização dos meus planos neste ano, e me ajudaram a ser mais amigo, mais solidário, mais parceiro, mais feliz.

Aos estudantes de 2011, desejo muita coragem para enfrentar o rítmo frenético dos vestibulares e a correria dos cursinhos e que tenham dedicação, paciência e calma na hora dos estudos para que não se desanimem e parem no meio caminho!

Que venha 2011 com maiores realizações, mais saúde, mais alegria,  menos violência, menos incerteza na economia, menos pobreza, e por aí...

Que dê Tudo Certo Para Todos Nós!

((Prof.Jonas Portal))

Teoria dos Números – RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z

Sejam a e b dois inteiros com a≠0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a.q.

Se a divide b diz-se que a é divisor de b, que a é um fator de b, b é múltiplo de a ou que b é divisível por a.

Notação:

a|b (indica que a divide b)

A relação “a divide b” (a|b) denomina-se relação de divisibilidade em Z.

Se a é divisor de b, então –a também é um divisor de b, pois b = aq => b = (-a).(-q), ou seja, os divisores de um inteiro qualquer são dois a dois iguais em valor absoluto e de sinais contrários.

Vejamos:    4|8 ==>8 = 4x2

-6/12 ==> 12 = (-6)x(-2)

                   3 11 ==> q / 3q = 11

Teorema: Quaisquer que sejam os inteiros a, b, c e d, tem-se:

I) a|0, 1|a e a|a

II) Se a|1, então a = (+-)1

III) Se a|b e se c|d, então ac|bd

DEMONSTRAÇÃO

Consideremos:

 

portanto, ac|bd

C.Q.D.

VI) Se a|b e se b|c, então a|c ( TRANSITIVIDADE)

Como a|b e b|c, existem q1, q2 ЄZ com b = aq1 e c = bq2.

Assim, c = bq2 = aq1q2 = aq, com q = q1q2 Є Z.

Logo, por definição, a|c.

Outras Demonstrações que podem servir como exercícios:

1- Mostrar que se a | b,  então  (-a) | b,  a | (-b)  e  (-a) | (-b).

Solução: Se a | b então  ∃ q ∈ Z | b = aq.

(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq  = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).
Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z.

Portanto, existe (-q) inteiro tal que b = (-a).(-q) => (-a) | b.

(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq   => (-b) = a(-q). E conforme foi justificado,  a | (-b).

(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq  => (-b) = (-a).q => (-a)|(b). De acordo com (i)

2-Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que  se a | b, então a | bc.

Solução: a | b =>  b = aq,  q inteiro => bc = aqc => bc = a(qc).
Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).
Portanto, existe um inteiro (qc) tal que  bc = a(qc) => a | bc.

3– Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que se a | b  <==>ac | bc  (com c ≠ 0).

Solução: 
a | b <=> b = aq <=> bc = aqc  <=> bc = (ac) q  <=>
<=>  ac | bc.

C.Q.D.

Energia Cinética

Quando uma pessoa tem energia, supomos que tem grande capacidade de trabalhar. Dizemos, então, que um sistema ou corpo possui energia quando tem a capacidade de realizar trabalho.

A energia que os corpos têm devido ao movimento é chamada Energia Cinética.

A energia é igual ao trabalho realizado pela força, o qual, na direção apresentada, é o produto da força pelo deslocamento:

O deslocamento d é calculado por: S = S_o + V_ot + ½at², sendo S_o e V_o nulos e S = d, temos:

Substituindo (2) em (1):

Da equação horária da velocidade, temos: V = V_o + at , onde V_o = 0:

v = at

Substituindo o produto at pela velocidade, resulta na fórmula da Energia Cinética:

Aplicações:

1- Dois corpos de massas m₁ e m₂ e velocidades v₁ e v₂, respectivamente, movimentam-se horizontalmente sobre uma superfície lisa. A massa do primeiro é 4 vezes maior que a do segundo. Determine a relação entre v₁ e v₂, sendo que suas energias cinéticas são iguais.

Solução:

Dados: Ec₁= Ec₂      

           m₁= 4m₂

Igualando as energias cinéticas

Substituindo m₁ = 4m₂ e eliminando o dois que está dividindo:

Logo,

LOGARITMOS -Questão Vestibular UEPA 2010

Vou resolver uma questão envolvendo logarítmos da Universidade do Estado do Pará (UEPA), do processo seletivo 2010.

Essa questão é resolvida aplicando as propriedades dos logaritmos.

Do expoente 1/n

Do produto

Como os logaritmos tem mesma base, podemos fazer:

Logo,
 

Letra d)

POEMA GEOMÉTRICO

Quero situar teu corpo num plano tridimensional
Encontrar tuas curvas numa definição de integral
Derivar essa saudade que é uma constante na área do meu coração
Nessa pirâmide eqüilátera que se transformou nossa vida
Quero encontrar um lugar comum, só assim poderei estar a tua altura extraindo a raiz quadrada do lado dessa angústia adicionada ao apótema do vício que sinto por ti.
Assim ao término dessa complexa equação finalmente poderei encontrar a área total desse sentimento que transborda o volume da minha sanidade!

(Os devidos créditos a  Rossana Monteiro)

Poesia Matemática

Millôr Fernandes

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

DÚVIDA DE FÍSICA – Queda Livre dos Corpos

Vou responder a uma dúvida enviada por um estudante, que me pediu para resolver um problema de Física:

“UM CORPO É LANÇADO DE UMA ALTURA DE 125m. DETERMINE O TEMPO QUE ELE GASTA PARA ATINGIR O SOLO E A VELOCIDADE COM QUE ATINGE. CONSIDERE g = 10m/s^2”

Muito bem, vou tentar explicar-lhe da forma mais clara que puder.

Veja bem, trata-se de um lançamento vertical para Baixo e, neste caso, assim como no lançamento para Cima, usamos duas Fórmulazinhas básicas da FÍSICA (as do Movimento Uniformemente Variado):

DA VELOCIDADE:

V = V₀ + gt (V₀ é Veloc. Inicial e g é aceleração da gravidade)

DOS ESPAÇOS:

S = S₀ + V₀t + ½ gt² (S é Espaço Final(altura) e S₀ é Espaço Inicial)

Veja na figura o que está acontecendo nesse lançamento:

Veja que o Espaço Inicial e a Velocidade inicial no lançamento são ZERO. Isso porque o corpo está em repouso antes do lançamento, ok!!!!!

Então depois de ver isso, fica fácil, pois

Da Fórmula dos espaços, resta:

S = ½ gt²

Substituindo a Altura em S e a metade da gravidade, vc obtém:

125 = 5t²

t² = 125/5 ==> t² = 25 ==> t = 5 segundos

Da velocidade, resta:

V = gt ( a veloc inicial não aparece, pois vale zero)

Substituindo o tempo de 5 s encontrado e a gravidade:

V = 10.5 = 50 m/s

Prontinho. O corpo atingiu o solo em 5 segundos e com velocidade de 50 m/s.