Apostila Resumida de Geometria Analítica

Boa apostila de Geometria Analítica para dar uma estudada básica.
Clique na imagem para baixar.

Geometria Analítica

Salvação de um Professor

Como é interessante a escalada na profissão de docente. Encaramos uma Licenciatura, com muitas perspectivas e vislumbramentos, acreditando em mudanças que fervilham em nossas mentes e em módulos ou disciplinas que instigam o debate de temas que nos fazem pensar utopicamente num cenário lindo em que a educação brasileira é prioridade, e todas as camadas sociais tem acesso a um nível elevado de ensino, e estimuladora da participação e incentivo à Ciência. Tão logo concluímos todas as etapas necessárias para uma linda formatura e daí, então, perfazemos um caminho de luta em busca de uma oportunidade profissional com todas as esperanças finalmente em mãos. E então a realidade se revela, tão comum aos mais calejados veteranos, que finda por envolver os visionários recém-chegados, cuja "bagagem" na cabeça ainda reflete a esperança vivida na academia.

E então, como perdurar em meio a um sistema educacional às mínguas, com poucos incentivos à pesquisa, falta de estrutura para inclusão de portadores de necessidades especiais, baixos salários e com a forma tradicional de ensino ainda presente na maioria das escolas, em que o aluno é tratado apenas como receptor de conteúdos e mero ouvinte? Certamente esses questionamentos já foram vistos em algum artigo, revista ou jornal, pois são fatos notáveis do ensino público brasileiro, e sempre serão temas de discussão em qualquer plenária ou fórum que trate da educação. Como vemos, ainda temos muito a avançar em mudanças e incentivos aos profissionais, em cujas mãos está a responsabilidade de cuidar das mentes jovens, despertando a consciência política e que forma todos os outros profissionais que atuam em diversas áreas.

Somos heróis ainda vivos, com muita história para contar e vidas e esperanças para salvar, certos de que as intempéries e os fardos da profissão ainda permanecem, porém subsistiremos nesta lida que nos reserva a salvação de uma missão cumprida.

Forças aos Amigos e colegas de Profissão! (JonasPortal)

Preciso de Moderadores para o Blog

Meus amigos matemáticos, estudantes, ou amantes da Física ou que tenham interesse pela área de exatas.
Este blog há muito tempo não tem sido atualizado por que  não me esforço para dedicar  um tempo para ele, por isso estou em busca de parceiros para me ajudarem nessa tarefa.
PRECISO DE MODERADORES para me ajudarem a divulgar a matemática e a Física aqui .
Quem tiver interesse entre em contato:
jonaspo@hotmail.com
ou
face: https://www.facebook.com/jonas.portal
Ou comenta a postagem. ok

Livro: Os Fantásticos Números Primos -

Livro: Os Fantásticos Números Primos

Chega ao mercado o livro que releva novos métodos e fórmulas para extração de números primos com o auxílio de tabelas, gráficos e planilhas. Apresenta também regularidades e sequências numéricas inéditas e fascinantes encontradas na Tabuada de Pitágoras.

O Publicitário Ricardo José da Silva é um profissional apaixonado por desenhos desde criança, seu talento na arte de desenhar sempre chamou atenção de familiares, amigos, etc.  Profissionalmente atua há quase 30 anos nas áreas de planejamento, criação, desenvolvimento e finalização de lay-outs, marcas, desenhos técnicos, anúncios, folhetos, catálogos, revistas, peças promocionais e publicitárias e Web Sites. 
Mas foi nos últimos anos, estudando para complementar as revisões dos conteúdos, exigidos nos editais para concursos públicos, encontrou na Internet uma reportagem na Revista Superinteressante “A Inesgotável fonte dos números primos”, escrita pelo  Professor da USP, Luiz Barco: no qual ele dizia: “quem ousar brincar com números descobrirá propriedades fascinantes”. Esta frase o motivou a pesquisar e conhecer melhor os números primos e saber que tantos matemáticos e pessoas que gostam de matemática estão a séculos tentando encontrar “A fórmula mágica” e descobrir a sequência de números primos.

E assim, uma pesquisa foi levando à outra e passou então se aprofundar no assunto sobre números primos. 
Dessa pesquisa, passou a fazer sequências numéricas através de somas, diminuições, multiplicações, divisões, extração de raiz quadrada sempre utilizando a nossa famosa Tabuada.  
Todo esse conteúdo se transformou no Livro Os Fantásticos Números Primos, disponível na versão digital no site:www.osfantasticosnumeosprimos.com.br

O conteúdo do livro tem como diferencial novos métodos e fórmulas para extração de números primos com o auxílio de tabelas, gráficos e planilhas, tudo de forma didática.

A obra inédita reúne informações embutidas na Tabuada de Pitágoras que nos revelam regularidades e sequências numéricas interessantíssimas de como os números se encadeiam e como se relacionam uns com os outros. 

O objetivo é atrair o interesse de professores de matemática, por apaixonados por esta ciência exata e, principalmente, por estudantes para despertar o interesse, o aprendizado e o gosto pela matemática.

Mais informações Livro digital: Os Fantásticos Números Primos
Autor: Ricardo José da Silva

E-mail: ricardoj@ig.com.br

Site Oficial:www.osfantatiscosnumerosprimos.com.br 
Fãpage: www.facebook.com/osfantasticosnumerosprimos

Você sabia que a Tabuada de Pitágoras tem fórmulas embutidas em sua construção?

“O Ladrão Matemático”

PARA ALUNOS DE ENSINO MÉDIO, SE PREPARANDO PARA O VESTIBULAR OU PARA QUEM GOSTA DE DESAFIOS SIMPLES…

“O Ladrão Matemático”- Por Jonas Portal..

Há muito tempo atrás, numa terra “Tão Tão Distante”, havia um reino dominado por pensadores matemáticos, cujo rei era um nobre ancião da descendência da família Barone.
Por essas terras havia um ladrão de tesouros reais, chamado de Sir X. Fora assim chamado por que sempre que roubava, desafiava a todos com problemas matemáticos que indicavam onde ele escondia os objetos frutos do roubo, mas nunca eram desvendados. Ele sempre foi caçado, até recompensas foram oferecidas, mas nunca conseguiram ao menos ver o seu rosto. Ele foi aprendiz de um velho sábio que vivia recluso numa humilde casinha no meio da floresta de Harmes, por onde passava o rio Prado, era um lugar assustador que confundia a mente de quem passasse por lá!
Após a morte de seu mestre, Sir X, cansado das injustiças advindas de muitos impostos cobrados do povo e de homens sendo recrutados para a guerra e que nunca mais retornavam para suas famílias,  lutando defendendo o reino e sem receber nada em troca, ele resolveu se tornar um ladrão para dar parte do conseguia ao povo.
Ao final de uma de suas aventuras pelos tesouros reais, um dos súditos do rei encontrou numa mesa uma descrição com a possível localização do roubo:

“Meu nobre rei, seu ouro encontrava-se comigo, mas deixarei a 5 km de você, em linha reta, atravessando o rio: nas coordenadas do triângulo (seu reino) em (1,-2) até a estrela(seu tesouro) em (4,y). Peça aos seus sábios encontrarem y, e então terá de volta o que é seu”.

E ainda deixou o mapa:

O rei, inconformado, solicitou à sua presença todos os sábios e prometeu àquele que primeiro desvendasse o problema e encontrasse o tesouro, metade da sua fortuna e muitas honrarias...RECEBA VOCÊ O PRÊMIO DO REI!!!

EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT 2011– cont.1

Continuação dos exercícios para profmat deste mês.

09 - Considere a equação algébrica

Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a₁, a₂, a₃) é uma progressão geométrica com a₁ = 2 e soma 6, pode-se afirmar que

A ( ) a soma de todas as raízes é 5.

B ( ) o produto de todas as raízes é 21.

C ( ) a única raiz real é maior que zero.

D ( ) a soma das raízes não reais é 10.

E ( ) todas as raízes são reais.

Não deixe de resolver ver os primeiros exercícos em: http://jonasportal.blogspot.com/2011/11/exercicios-para-o-profmat-2011.html

Até breve!!

EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT 2011

Vamos socializar problemas e questões que podem vir no modelo do PROFMAT para a prova desse mês. Aqui vão algumas questões que tenho estudado, para quem quizer treinar, podendo postarem respostas para que possamos discutir!!

VESTIBULAR DA PUCCAMP-ITA-USP e outros

1- Adriano assistiu o treinamento de seus amigos numa pista de ciclismo e anotou o tempo que cada um deles levou para completar a prova. Veja os dados, em segundos, anotados no quadro:

362  367  382  380
360  400  370  363

A média aritmética dos tempos utilizados pelos ciclistas é
(A) 6 min 13 s
(B) 6 min 15 s
(C) 6 min 18 s
(D) 7 min 10 s
(E) 7 min 20 s

2- Um veículo parte em viagem com adultos e crianças, sendo o número de adultos o dobro do número de crianças. Somente os adultos sabem dirigir. Sorteando uma dessas pessoas, ao acaso, a probabilidade de ser um homem adulto é 1/5 e a probabilidade de resultar um menino é 2/7 . Escolhendo uma pessoa do sexo masculino, ao acaso, a probabilidade de que ela possa dirigir o veículo é de:

(A) 1/5
(B) 2/7
(C) 7/17
(D) 17/35
(E) 2/3

3- No diagrama abaixo, representa-se uma pista de atletismo sobre um referencial cartesiano, cuja unidade de medida de comprimento é o metro.

A pista é composta por dois trechos retos paralelos e duas semi-circunferências de mesmo tamanho. A equação cartesiana da circunferência de abcissa positiva é:

(A) x² + y² + 30y + 125 = 0

(B) x² + y² - 30y + 125 = 0

(C) x² - y² + 30x + 125 = 0

(D) x² + y² + 30x + 125 = 0

(E) x² + y² - 30x + 125 = 0

4- No final do ano de 2005, o número de motocicletas licenciadas em certa cidade era de 450 e, no final de 2008, esse número passou para 690 . Admitindo-se que o gráfico do número de motocicletas em função do tempo seja formado por pontos situados sobre uma mesma reta, pode-se estimar que, no final de 2012, o número de motocicletas nessa cidade será igual a:
a) 850
b) 930
c) 1010
d) 1090

5- No retângulo ABCD da figura abaixo, M é ponto médio de AD e os segmentos AC e BM se cortam em P . Além disso, sabe-se que a área desse retângulo mede 180 unidades. Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida da área do triângulo APM, em unidades de área, é:

a) 10
b) 12
c) 15
d) 18

 

6- Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo
moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a probabilidade de ser aceso: Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a

GEOMETRIA ESPACIAL–APOSTILA EM PDF

MATERIAL PARA DOWNLOAD COM CONTEÚDO DE GEOMETRIA ESPACIAL PARA O ENSINO MÉDIO.

Clique aqui para baixar o arquivo compacto com esse material.

abraços e até breve!!

Por que somos tão ruins em matemática?

Para brasileiro gostar da disciplina, mudança tem de começar na sala de aula das faculdades que formam os futuros docentes…

 

Leiam a matéria do Site ESTADÃO: http://www.estadao.com.br/estadaodehoje/20110606/not_imp728446,0.php do dia 06 de junho de 2011 que indica porque os brasileiros tem tanta aversão à Matemática.

Hoje é o dia do Pi

 Hoje, os matemáticos celebram o DIA DO PI (3/14 na notação norte-americana), pois a maioria das pessoas conhece a aproximação 3,14 para o π.
O ponto forte das comemorações acontece à 1:59 da tarde, considerando 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal.

Do mesmo modo que as pessoas celebram o Dia dos Namorados ou outros dias comemorativos, pessoas (principalmente os ligados às áreas de exatas) ao redor do mundo reverenciam essa razão relacionada à circunferência e seu diâmetro e que é uma das  mais belas constantes matemáticas do universo.

Só pra constar, hoje 14 de março, também é o dia do nascimento de Albert Einstein, o que agrega mais fãs das ciências exatas às comemorações.

O SOM DO PI 

O músico Michael John Blake resolveu interpretar musicalmente o número Pi.

Ouça essa obra de arte!!

Ouça também a música de Kate Bush com o nome "PI". Ele canta algumas casas decimais do pi.

 

Coisas da Matemática – Se não fosse a Calculadora

Como professor do Ensino Médio numa escola Estadual já conheço bem a realidade do nível de aprendizagem dos nossos alunos e do medo que sentem ao encarar um problema dos mais simples da Matemática. Não quero julgar professores nem alunos, mas há de se concordar que é muito comum nos depararmos com situações em que não dá pra encontrar explicações para verdadeiros absurdos, como algumas vezes acontece de você comprar alguma coisa e, no meu caso, o produto custar R$ 8,00 eu dou uma nota de R$ 20,00 e então o vendedor, condicionado a não pensar, ter que usar a calculadora para saber quanto deveria me dar de troco ( e lógico que chegou aos R$12,00 tão difíceis de saber hehehehehe).

Outra situação é uma certa promoção, que considero ridícula, pois na verdade passa anos e anos e nunca acaba: quando você chega para comprar e logo de cara o vendedor fala, por exemplo, “UM É R$ 3,00 E DOIS É R$ 5,00” . Ora, mas eu quero comprar só um por R$ 2,50 que seria o mais lógico, então o vendedor me diz que “não, mas aqui a matemática é diferente, pois é promoção”,  e sou obrigado a levar dois só por que  a matemática, nesse caso, não vale ou diferente?!?

Pode-se então perguntar: o matemático usa máquina de calcular? claro que sim. É uma das ferramentas de que dispomos para o nosso trabalho. Imagine que como um carpinteiro que tem em sua mente o quer construir, então escolhe a madeira mais adequada, desenha, tira as medidas e compra os outros materiais necessários e só então, no momento certo, utiliza do martelo e do serrote. Da mesma forma, a calculadora na matemática deve ser usada de forma adequada no momento oportuno, ou seja, quando realmente for necessária.

AGORA VAMOS AO TESTE DO INÍCIO DO POST

Tentaram fazer? e então, qual foi o resultado? usaram a calculadora?

Pra quem fez “na ponta do lápis” ou de “cabeça”, parabéns. Pra quem fez usando a calculadora, parabéns também. Pois pelo menos tentaram!

Agora se você nem sequer tentou, ainda assim vou te levar a analisar junto comigo a resposta.

As porcentagens acima são bem simples, veja:

25% de 75, você deve multiplicar 25 vezes 75 e dividir por 100

e 75% de 25, você deve multiplicar 75 vezes 25 e dividir por 100

Perceba que dá o mesmo resultado (18,75), pois a multiplicação é comutativa e “a ordem dos fatores não altera o produto”.

A matemática não é coisa de outro mundo, está à nossa volta e exige que sejamos desafiados a pensar. Mas ora, o que temos a fazer é parar para pensar, pois Matemática é bom senso.

União dos Blogs de Matemática – UBM

 

O blog Matemática do Pi está apoiando a ideia dos professores Paulo Sérgio C. Lino e Kleber Kilhian, donos dos blogs FATOS MATEMÁTICOS e O BARICENTRO DA MENTE que criaram o Blog MÃE de todos os blogs de matemática do país.

Tem o objetivo de agregar, compartilhar experiências  e divulgar a Matemática através dos blogs de Matemática.

"Sabemos que a matemática é fundamental para o desenvolvimento do pensamento lógico, que auxilia no processo de construção do conhecimento e desenvolve a autonomia do raciocínio e da criação de soluções das mais variadas situações problema. Neste contexto, esperamos que o uso da internet crie situações favoráveis à aprendizagem dos conceitos, auxiliando neste aprendizado contínuo da matemática.

Com esta ideia, criamos o a União dos Blogs de Matemática (UBM), um espaço na internet com objetivo de divulgar e agregar todos os blogs de matemática do país, mas estará de portas abertas para os blogs estrangeiros que tratam desta maravilhosa ciência.

Além disso, o blog possui um pequeno estatuto, uma página com a descrição de todos os blogs filiados e também dicas para melhorar o seu blog.

Para filiar-se é muito simples, basta ter um blog de Matemática com publicações periódicas, ser um seguidor da UBM, cumprir os estatuto e escolher e adicionar o banner da UBM (click aqui) a sua escolha.

Compartilhe esta ideia de divulgar a Matemática de forma gratuita e interessante na internet. Para saber mais visite a UBM (http://ubmatematica.blogspot.com/)".

Correção Questões Objetivas - PROFMAT - GRUPO PET

 O Grupo PET-Matemática da Universidade Federal de Campina Grande disponibilizou a correção da prova para o Mestrado profissional em Matemática-PROFMAT 2011.

Quem tiver interesse pode fazer o download do arquivo pelo link abaixo, direto do site da UFCG:


http://www.dme.ufcg.edu.br/pet/arquivos/Resolucao_do_PROFMAT_Pet_Matematica_UFCG.pdf

Download CADERNO DE QUESTÕES - Prova PROFMAT 2011

Faça o download do Caderno de questões da  Prova para Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT, realizada no dia 19/02/2011.

Download da prova aqui

Quem quizer pode compartilhar as suas resoluções para discutirmos onde erramos ou acertamos!!

RESOLUÇÃO LISTA EXERCÍCIOS PROFMAT-1,2,3

QUESTÃO 1

Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em:
A) 25%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 80%

Solução:

Meta: 420 kcal em 30’

Gastou: 240kcal em 20’: 240/20= 12kcal/min

Ele deve gastar mais 180 kcal em 10’: 18kcal/min

Fazendo 18kcal-12kcal=6kcal

Usamos uma regra de três simples:

12kcal----100%

6kcal-----x

X=50%

Resp.: C

QUESTÃO 2

Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
A) 12
B) 24
C) 30
D) 60
E) 72

Solução:

Essa solução eu fiz usando a figura:

Considerando as condições estabelecidas, temos:

4 possibilidades para V₁

3 possibilidades para V_{2  ,}

2 possibilidades para V₃

V₄, V₅, V₆ tem a mesma cor de V₂, V₁ e V₃, respectivamente, restando para eles apenas uma possibilidade.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4x3x2x1=24 modos distintos

Resp: B

QUESTÃO 3

Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6
ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme
ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então:
A) 16π
B) 20π
C) 24π
D) 28π
E) 32π

Solução:

Vamos analisar a figura:

Usaremos a relação de semelhança entre as medidas:

Sabendo que:

obtemos:

Usando o volume do cilindro, encontramos:

Resposta: E

Cont. RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS-PROFMAT

Solução:

Devemos substituir os valores de (x₁,y₁)=(3,1) e (x₂,y₂)=(4,3) em (y₁-ax₁)²+(y₂-ax₂)²

Fica assim:

(1-a.3)²+(3-a.4)²=1-6a+9a²+9-24a+16a²=25a²-30a+10 = 5a²-6a+2

Que resultou numa função quadrática com gráfico cuja concavidade é voltada para cima. Portanto, devemos encontrar o valor mínimo de x que será encontrado usando X_v=-b/2a

Temos:

Letra A

5ª QUESTÃO

A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
A) 100%
B) 90%
C) 80%
D) 72%
E) 64%

  Solução:

Total de abordagens: X

Meta de Sucesso: 60% de X = 0,6X

Quando realizou 75% das abordagens, ou seja 0,75X, teve sucesso de 56%. Portanto, devemos fazer:

56% de 0,75X = 0,42X

Faltam, então 0,6X – 0,42X = 0,18X, ou seja, 18% do total de abordagens.

Sabendo que restam apenas 25%=0,25 de abordagens para serem realizadas, usamos uma regra de três simples:

0,25--------100%

0,18---------y

Resultando em y = 18/0,25=72%

Resposta: D

RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS PROFMAT- MESTRADO

Resolverei as questões da lista de exercícios disponibilizada no site http://www.profmat-sbm.org.br/docs/Lista_Problemas.pdf como estudo para a prova do Mestrado em Matemática.

Questão 08

Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é:
A) 50m2
B) 80m2
C) 110m2
D) 160m2
E) 310m2

Solução: 

Calculamos inicialmente ÁREA DO CÍRCULO(Ac) -ÁREA DO HEXÁGONO(Ah):

Sabendo que l=r=10m e considerando π=3,14 e raiz quadrada de 2 igual a 1,73, temos:

Multiplicando por 2 encontramos a área da rosácea:

Área Rosácea = 54,5x2=109m²

Portanto, o valor mais próximo está na letra C.

Matemático Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli nascido na Holanda em 08 de fevereiro de 1700, foi um matemático e físico,veio de uma famosa família de matemáticos, físicos e filósofos, que incluía seu pai Joahnn Jakob. Daniel estudou lógica, filosofia e medicina nas universidades de Heidelberg, Estrasburgo, Basileia, mas sua primeira grande obra depois de receber seu mestrado foi Exercitationes quaedam Mathematicae,  foi quaedam Exercitationes Mathematicae, um tratado sobre equações diferenciais relacionados à física de água corrente (dinâmica de fluidos).

O trabalho trouxe-lhe um convite para a Academia de Ciências da Rússia em São Petersburgo, onde lecionou na medicina, mecânica e física. Seu nome ficou muito conhecido na Europa, e em 1732 ele aceitou um cargo em Basel para ensinar anatomia e botânica.
Em 1738 foi publicdo um de seus trabalhos mais famosos: Hydrodynamica .

Ele estabeleceu os princípios da dinâmica dos fluidos, ou seja, o movimento de um fluido sob a influência de forças. Nela se desenvolveram as relações nos fluidos:  velocidade, pressão e densidade. Estabeleceu o que agora é conhecido como Teorema de Bernoulli, cujo princípio diz que a pressão em um fluido diminui à medida que aumenta a sua velocidade e vice-versa.
Bernoulli desenvolveu a base para a energia cinética dos gases, mostrando que a pressão em um gás pode
ser explicado por colisões aleatórias das moléculas com o recipiente e que a pressão aumentar o movimento da partícula com a temperatura.
Entre 1725 e 1749, ele venceu 10 dos prêmios da Academia Francesa de Ciências com os trabalhos sobre astronomia, gravidade, magnetismo marés e correntes oceânicas. Como resultado a sua nomeação em Basel foi transferida para  fisiologia em 1743 e para  física em 1750.

 O TEOREMA DE BERNOULLI

Esse conhecimento permite-nos entender por que os aviões conseguem voar. Na parte superior da asa a velocidade do ar é maior (as partículas percorrem uma distância maior no mesmo tempo), logo, a pressão na
superfície superior é menor do que na superfície inferior, o que acaba por criar uma força de sustentação de baixo para cima.
 Este princípio pode ser aplicado no escoamento de líquido por um tubo de diâmetros diferentes: sendo o diâmetro da parte central do tubo menor que nas duas extremidades, o escoamento é mais rápido na região mais estreita e a pressão menor. É este o princípio do medidor de venturi; um dispositivo que permite calcular a velocidade de um fluido em um tubo horizontal, por meio da diferença de pressão nos tubos verticais.

Que Venha 2011

Quero de modo singelo agradecer a todos os amigos, leitores ou não do blog Matemática do Pi, por fazerem parte de minha jornada no ano de 2010, o qual foi de grandes conquistas, alguns deslizes, muitas risadas, trapalhadas, mas que foram necessárias para realização dos meus planos neste ano, e me ajudaram a ser mais amigo, mais solidário, mais parceiro, mais feliz.

Aos estudantes de 2011, desejo muita coragem para enfrentar o rítmo frenético dos vestibulares e a correria dos cursinhos e que tenham dedicação, paciência e calma na hora dos estudos para que não se desanimem e parem no meio caminho!

Que venha 2011 com maiores realizações, mais saúde, mais alegria,  menos violência, menos incerteza na economia, menos pobreza, e por aí...

Que dê Tudo Certo Para Todos Nós!

((Prof.Jonas Portal))

Teoria dos Números – RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z

Sejam a e b dois inteiros com a≠0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a.q.

Se a divide b diz-se que a é divisor de b, que a é um fator de b, b é múltiplo de a ou que b é divisível por a.

Notação:

a|b (indica que a divide b)

A relação “a divide b” (a|b) denomina-se relação de divisibilidade em Z.

Se a é divisor de b, então –a também é um divisor de b, pois b = aq => b = (-a).(-q), ou seja, os divisores de um inteiro qualquer são dois a dois iguais em valor absoluto e de sinais contrários.

Vejamos:    4|8 ==>8 = 4x2

-6/12 ==> 12 = (-6)x(-2)

                   3 11 ==> q / 3q = 11

Teorema: Quaisquer que sejam os inteiros a, b, c e d, tem-se:

I) a|0, 1|a e a|a

II) Se a|1, então a = (+-)1

III) Se a|b e se c|d, então ac|bd

DEMONSTRAÇÃO

Consideremos:

 

portanto, ac|bd

C.Q.D.

VI) Se a|b e se b|c, então a|c ( TRANSITIVIDADE)

Como a|b e b|c, existem q1, q2 ЄZ com b = aq1 e c = bq2.

Assim, c = bq2 = aq1q2 = aq, com q = q1q2 Є Z.

Logo, por definição, a|c.

Outras Demonstrações que podem servir como exercícios:

1- Mostrar que se a | b,  então  (-a) | b,  a | (-b)  e  (-a) | (-b).

Solução: Se a | b então  ∃ q ∈ Z | b = aq.

(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq  = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).
Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z.

Portanto, existe (-q) inteiro tal que b = (-a).(-q) => (-a) | b.

(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq   => (-b) = a(-q). E conforme foi justificado,  a | (-b).

(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq  => (-b) = (-a).q => (-a)|(b). De acordo com (i)

2-Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que  se a | b, então a | bc.

Solução: a | b =>  b = aq,  q inteiro => bc = aqc => bc = a(qc).
Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).
Portanto, existe um inteiro (qc) tal que  bc = a(qc) => a | bc.

3– Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que se a | b  <==>ac | bc  (com c ≠ 0).

Solução: 
a | b <=> b = aq <=> bc = aqc  <=> bc = (ac) q  <=>
<=>  ac | bc.

C.Q.D.