Download CADERNO DE QUESTÕES - Prova PROFMAT 2011

Faça o download do Caderno de questões da  Prova para Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT, realizada no dia 19/02/2011.

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Quem quizer pode compartilhar as suas resoluções para discutirmos onde erramos ou acertamos!!

RESOLUÇÃO LISTA EXERCÍCIOS PROFMAT-1,2,3

QUESTÃO 1

Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em:
A) 25%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 80%

Solução:

Meta: 420 kcal em 30’

Gastou: 240kcal em 20’: 240/20= 12kcal/min

Ele deve gastar mais 180 kcal em 10’: 18kcal/min

Fazendo 18kcal-12kcal=6kcal

Usamos uma regra de três simples:

12kcal----100%

6kcal-----x

X=50%

Resp.: C

QUESTÃO 2

Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
A) 12
B) 24
C) 30
D) 60
E) 72

Solução:

Essa solução eu fiz usando a figura:

Considerando as condições estabelecidas, temos:

4 possibilidades para V₁

3 possibilidades para V_{2  ,}

2 possibilidades para V₃

V₄, V₅, V₆ tem a mesma cor de V₂, V₁ e V₃, respectivamente, restando para eles apenas uma possibilidade.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4x3x2x1=24 modos distintos

Resp: B

QUESTÃO 3

Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6
ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme
ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então:
A) 16π
B) 20π
C) 24π
D) 28π
E) 32π

Solução:

Vamos analisar a figura:

Usaremos a relação de semelhança entre as medidas:

Sabendo que:

obtemos:

Usando o volume do cilindro, encontramos:

Resposta: E

Cont. RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS-PROFMAT

Solução:

Devemos substituir os valores de (x₁,y₁)=(3,1) e (x₂,y₂)=(4,3) em (y₁-ax₁)²+(y₂-ax₂)²

Fica assim:

(1-a.3)²+(3-a.4)²=1-6a+9a²+9-24a+16a²=25a²-30a+10 = 5a²-6a+2

Que resultou numa função quadrática com gráfico cuja concavidade é voltada para cima. Portanto, devemos encontrar o valor mínimo de x que será encontrado usando X_v=-b/2a

Temos:

Letra A

5ª QUESTÃO

A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
A) 100%
B) 90%
C) 80%
D) 72%
E) 64%

  Solução:

Total de abordagens: X

Meta de Sucesso: 60% de X = 0,6X

Quando realizou 75% das abordagens, ou seja 0,75X, teve sucesso de 56%. Portanto, devemos fazer:

56% de 0,75X = 0,42X

Faltam, então 0,6X – 0,42X = 0,18X, ou seja, 18% do total de abordagens.

Sabendo que restam apenas 25%=0,25 de abordagens para serem realizadas, usamos uma regra de três simples:

0,25--------100%

0,18---------y

Resultando em y = 18/0,25=72%

Resposta: D

RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS PROFMAT- MESTRADO

Resolverei as questões da lista de exercícios disponibilizada no site http://www.profmat-sbm.org.br/docs/Lista_Problemas.pdf como estudo para a prova do Mestrado em Matemática.

Questão 08

Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é:
A) 50m2
B) 80m2
C) 110m2
D) 160m2
E) 310m2

Solução: 

Calculamos inicialmente ÁREA DO CÍRCULO(Ac) -ÁREA DO HEXÁGONO(Ah):

Sabendo que l=r=10m e considerando π=3,14 e raiz quadrada de 2 igual a 1,73, temos:

Multiplicando por 2 encontramos a área da rosácea:

Área Rosácea = 54,5x2=109m²

Portanto, o valor mais próximo está na letra C.

Daniel Bernoulli: Biografia, Princípio de Bernoulli, Hidrodinâmica e Contribuições à Matemática e à Física.

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA • FÍSICA • ENGENHARIA

DANIEL BERNOULLI

1700–1782

O matemático que aproximou a Matemática dos fenômenos físicos e da realidade experimental

Hidrodinâmica • Probabilidade • Mecânica • Teoria cinética dos gases

A Matemática não apenas descreve os fenômenos da natureza: ela permite descobrir as relações que os governam.

Apresentação: quem foi Daniel Bernoulli?

Daniel Bernoulli (1700–1782) foi um matemático, físico e médico suíço, nascido em Groningen, nos Países Baixos. Pertencente à célebre família Bernoulli, tornou-se um dos principais representantes da ciência do século XVIII.

Seu nome está associado principalmente ao desenvolvimento da hidrodinâmica e ao princípio que estabelece uma relação entre pressão, velocidade e energia em escoamentos de fluidos. Entretanto, limitar sua contribuição a esse resultado seria reduzir consideravelmente a dimensão de sua produção científica.

Daniel Bernoulli também investigou a teoria cinética dos gases, as oscilações de cordas, a probabilidade, os riscos econômicos, a mecânica e diferentes problemas relacionados à Medicina.

Folha de rosto da primeira edição de Hydrodynamica, publicada em 1738. Documento histórico preservado em coleções de obras científicas raras.

Seu trabalho representa um momento importante da história da ciência: a passagem de uma abordagem predominantemente descritiva dos fenômenos naturais para uma investigação que buscava estabelecer relações matemáticas entre grandezas físicas.

Ideia central deste estudo: Daniel Bernoulli foi um dos grandes responsáveis pela aproximação entre teoria matemática, experimentação e aplicação física, contribuindo para a formação da mecânica dos fluidos e de importantes ideias da Física estatística.

Sumário do estudo

1. Contexto histórico e família Bernoulli
2. Biografia e formação intelectual
3. Hydrodynamica: a obra fundamental
4. O princípio de Bernoulli
5. Interpretação matemática e dedução
6. Aplicações na Engenharia e na Física
7. Teoria cinética dos gases
8. Cordas vibrantes e harmônicos
9. Probabilidade e paradoxo de São Petersburgo
10. Medicina, pressão e experimentação
11. Legado científico
12. Cronologia
13. Orientações para pesquisa acadêmica
14. Referências e recursos digitais

1. O contexto histórico: a família Bernoulli e a ciência europeia

O século XVIII foi um período de intensa transformação científica. Os trabalhos de Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Christiaan Huygens e outros estudiosos haviam ampliado as possibilidades da Matemática e da Física.

O desenvolvimento do cálculo diferencial e integral ofereceu instrumentos poderosos para investigar movimento, equilíbrio, forças, oscilações e fenômenos naturais.

Nesse ambiente destacou-se a família Bernoulli, originária de uma tradição de estudiosos que produziu matemáticos e cientistas de grande influência.

Entre seus membros mais conhecidos estão:

• Jakob Bernoulli (1655–1705): contribuições à probabilidade, ao cálculo e aos números de Bernoulli.
• Johann Bernoulli (1667–1748): desenvolvimento do cálculo, mecânica e ensino da Matemática.
• Daniel Bernoulli (1700–1782): hidrodinâmica, probabilidade, mecânica e teoria cinética dos gases.
• Nicolaus II Bernoulli (1695–1726): contribuições à probabilidade e à Matemática.
• Johann II Bernoulli (1710–1790): matemática e física matemática.

A família teve papel importante na consolidação da tradição matemática europeia, especialmente na Suíça e em centros científicos como a Academia de Ciências de São Petersburgo.

Atenção à nomenclatura: o princípio da hidrodinâmica apresentado neste artigo é associado a Daniel Bernoulli. Já os números de Bernoulli e a lei dos grandes números estão associados principalmente a Jakob Bernoulli. O sobrenome comum não significa que todas essas descobertas tenham sido realizadas pelo mesmo pesquisador.

2. Biografia: formação, estudos e trajetória acadêmica

Daniel nasceu em 1700, em Groningen, onde seu pai, Johann Bernoulli, exercia atividades acadêmicas. Ainda criança, retornou com a família à cidade de Basileia, na Suíça.

Desde cedo esteve cercado por discussões matemáticas. Seu pai era um dos matemáticos mais influentes de seu tempo, e a tradição familiar exercia forte influência sobre sua formação.

Apesar disso, Johann inicialmente desejava que Daniel seguisse uma carreira comercial. Posteriormente, diante do interesse do filho, concordou que estudasse Medicina.

Daniel estudou nas universidades de Basileia, Heidelberg e Estrasburgo, obtendo seu doutorado em Medicina em 1721.

Mesmo com a formação médica, nunca abandonou o interesse pela Matemática. Sua produção científica demonstra uma integração muito particular entre os conhecimentos matemáticos e os problemas físicos e biológicos.

2.1. A Academia de Ciências de São Petersburgo

Em 1725, Daniel foi para São Petersburgo, na Rússia, onde assumiu uma posição acadêmica. Seu irmão mais velho, Nicolaus II, também estava ligado à instituição.

Após a morte prematura do irmão, Daniel enfrentou dificuldades pessoais e demonstrou insatisfação com a vida na cidade.

Foi nesse período, entretanto, que desenvolveu algumas de suas pesquisas mais importantes.

Em São Petersburgo, estabeleceu uma colaboração intelectual muito produtiva com Leonhard Euler (1707–1783), um dos maiores matemáticos da história.

Leonhard Euler, colaborador de Daniel Bernoulli em investigações sobre mecânica, fluidos e oscilações.

Euler contribuiu para desenvolver matematicamente diversas ideias físicas investigadas por Daniel. A colaboração entre ambos é um exemplo importante da relação entre intuição física e formalização matemática.

Daniel retornou definitivamente a Basileia em 1733, onde posteriormente ocupou diferentes posições acadêmicas, inclusive a cátedra de Física.

3. Hydrodynamica: a obra que transformou a mecânica dos fluidos

Imagem histórica ilustrativa de uma obra matemática antiga. Para a documentação específica da Hydrodynamica, consulte a reprodução original indicada a seguir.

Danielis Bernoulli, Hydrodynamica, 1738. O frontispício representa máquinas e dispositivos associados ao movimento e à utilização da água.

A obra mais importante de Daniel Bernoulli foi publicada em 1738, com o título:

Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii
Comentários sobre as forças e os movimentos dos fluidos.

O livro foi desenvolvido a partir de pesquisas realizadas durante sua permanência em São Petersburgo. Apresentava uma abordagem matemática do movimento dos líquidos e de diferentes problemas relacionados à pressão, à velocidade, ao equilíbrio e à energia.

Um dos aspectos mais importantes da obra foi a utilização de princípios de conservação da energia para interpretar fenômenos envolvendo fluidos.

Daniel investigou, por exemplo, a saída de água por orifícios, o funcionamento de bombas, máquinas hidráulicas e o comportamento de líquidos em tubos e recipientes.

O livro também apresentava discussões sobre o comportamento dos gases e antecipava aspectos da teoria cinética que seria desenvolvida posteriormente.

3.1. A importância histórica da obra

Hydrodynamica não foi simplesmente uma coleção de fórmulas. Seu mérito esteve em organizar uma interpretação física e matemática dos fenômenos relacionados ao movimento dos fluidos.

O trabalho ajudou a estabelecer as bases da hidrodinâmica como campo de investigação científica.

É importante observar que a mecânica dos fluidos moderna não foi construída exclusivamente por Daniel. Os trabalhos de Euler, d'Alembert, Lagrange, Navier, Stokes e muitos outros foram essenciais para a consolidação da disciplina.

Documento histórico original:

ETH-Bibliothek – Hydrodynamica, edição de 1738, digitalizada.

É possível consultar o documento histórico e suas pranchas ilustradas.

4. O princípio de Bernoulli

O princípio de Bernoulli estabelece uma relação entre pressão, velocidade e altura em um escoamento de fluido sob determinadas condições.

Em sua forma mais conhecida, para um fluido ideal, incompressível, em escoamento estacionário, a soma das contribuições de pressão, energia cinética por unidade de volume e energia potencial gravitacional por unidade de volume permanece constante ao longo de uma linha de corrente.

p + ½ρv² + ρgh = constante

Em que:

• p: pressão estática do fluido, em pascals (Pa).
• ρ: massa específica ou densidade do fluido, em kg/m³.
• v: velocidade do escoamento, em m/s.
• g: aceleração da gravidade, em m/s².
• h: altura em relação a um referencial escolhido, em metros.

Cada termo representa uma energia por unidade de volume:

Termo	Interpretação
p	Energia associada à pressão por unidade de volume.
½ρv²	Energia cinética por unidade de volume.
ρgh	Energia potencial gravitacional por unidade de volume.

4.1. Interpretação física

Em um escoamento horizontal, a altura permanece constante. Nesse caso, a equação pode ser escrita como:

p + ½ρv² = constante

Para esse modelo ideal, um aumento da velocidade corresponde a uma redução da pressão estática, ao longo da mesma linha de corrente.

É importante compreender que a relação não significa que qualquer região de maior velocidade em qualquer escoamento real necessariamente apresente menor pressão. A aplicação depende das hipóteses do modelo e da comparação adequada entre pontos do escoamento.

5. Dedução matemática simplificada do princípio

Uma maneira de compreender a equação de Bernoulli é partir do teorema trabalho–energia.

Considere um pequeno volume de fluido que se desloca de uma posição 1 para uma posição 2, em um tubo de corrente.

O trabalho realizado pelas forças de pressão é:

W = p₁V − p₂V

Como o volume considerado é o mesmo nas duas seções, podemos utilizar a massa:

m = ρV

A variação da energia cinética é:

ΔEc = ½m(v₂² − v₁²)

A variação da energia potencial gravitacional é:

ΔEp = mg(h₂ − h₁)

Aplicando o teorema trabalho–energia, no modelo ideal:

(p₁ − p₂)V = ½m(v₂² − v₁²) + mg(h₂ − h₁)

Dividindo por V e utilizando m/V = ρ:

p₁ − p₂ = ½ρ(v₂² − v₁²) + ρg(h₂ − h₁)

Reorganizando:

p₁ + ½ρv₁² + ρgh₁
= p₂ + ½ρv₂² + ρgh₂

Essa é a forma usual da equação de Bernoulli.

Observação de rigor: essa dedução representa o modelo ideal sem perdas mecânicas. Em escoamentos reais, a viscosidade, a turbulência, as bombas, as turbinas e as perdas de carga precisam ser consideradas. A equação de energia da hidráulica incorpora esses efeitos.

6. Aplicações do princípio de Bernoulli

6.1. Venturi e medição de vazão

O tubo de Venturi possui uma região de seção transversal menor, chamada garganta. Quando o fluido atravessa essa região, sua velocidade aumenta.

Em condições apropriadas, a pressão estática diminui, permitindo relacionar a diferença de pressão à vazão.

Esse princípio é utilizado em medidores de vazão industriais e sistemas de instrumentação.

Esquema de um tubo de Venturi, no qual a redução da seção provoca alteração da velocidade e da pressão estática.

6.2. Tubo de Pitot

O tubo de Pitot é utilizado para medir a velocidade de um escoamento, especialmente em aplicações aeronáuticas.

O instrumento compara a pressão de estagnação com a pressão estática. Para um escoamento incompressível, ideal e em condições apropriadas:

v = √(2Δp/ρ)

Em que Δp representa a diferença entre a pressão de estagnação e a pressão estática.

Esse instrumento possui aplicações em aeronaves, laboratórios de aerodinâmica e sistemas de medição de fluidos.

6.3. Asas de aeronaves e aerodinâmica

O princípio de Bernoulli aparece frequentemente nas explicações introdutórias sobre aerodinâmica. Entretanto, a sustentação de uma aeronave não deve ser explicada apenas pela afirmação de que o ar percorre distâncias diferentes sobre e sob a asa.

Uma análise adequada envolve a distribuição de pressão ao redor do perfil, a conservação da quantidade de movimento, a circulação do escoamento e as condições de contorno impostas pela geometria e pelo movimento da aeronave.

A equação de Bernoulli é uma ferramenta importante para relacionar pressão e velocidade em regiões do escoamento onde suas hipóteses são aplicáveis.

Representação conceitual da sustentação aerodinâmica. A análise completa envolve pressão, velocidade e quantidade de movimento do fluido.

6.4. Outros campos de aplicação

• Engenharia hidráulica: dimensionamento e análise de sistemas de tubulações.
• Engenharia mecânica: máquinas hidráulicas, bombas e turbinas.
• Engenharia aeronáutica: análise de escoamentos e instrumentação.
• Engenharia química: transporte de fluidos e processos industriais.
• Física: conservação de energia em sistemas fluidos.
• Medicina: interpretação de fenômenos hemodinâmicos, respeitando as limitações dos modelos simplificados.

7. Daniel Bernoulli e a teoria cinética dos gases

Uma contribuição menos conhecida de Daniel Bernoulli está relacionada ao comportamento dos gases.

Em Hydrodynamica, ele apresentou uma interpretação molecular na qual a pressão exercida por um gás poderia ser compreendida a partir do movimento de suas partículas.

A ideia era que as partículas de um gás se movimentariam continuamente e colidiriam com as paredes do recipiente. Essas colisões produziriam uma força média por unidade de área, isto é, a pressão.

Representação conceitual do comportamento de partículas de um gás em um recipiente. A interpretação microscópica da pressão foi uma das ideias antecipadas por Daniel Bernoulli.

7.1. Relação entre pressão e movimento molecular

Na formulação moderna da teoria cinética dos gases ideais, a pressão pode ser relacionada à energia cinética média das partículas:

p = ⅓ρ⟨v²⟩

Em que:

• p é a pressão do gás;
• ρ é a densidade do gás;
• ⟨v²⟩ é a média dos quadrados das velocidades moleculares.

Essa expressão pressupõe um modelo de gás ideal com movimento molecular isotrópico.

Daniel Bernoulli antecipou aspectos fundamentais dessa interpretação no século XVIII. A teoria cinética moderna, entretanto, foi desenvolvida posteriormente por diversos pesquisadores, especialmente Rudolf Clausius, James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann.

7.2. A equação dos gases ideais

Uma das relações mais importantes da Termodinâmica é:

pV = nRT

Essa equação relaciona pressão, volume, quantidade de matéria e temperatura absoluta de um gás ideal.

Embora não seja uma equação desenvolvida por Daniel Bernoulli, seu trabalho sobre o movimento microscópico dos gases constitui um antecedente histórico importante para a teoria cinética que ajudou a fundamentar a compreensão moderna dessa relação.

8. Cordas vibrantes, música e séries harmônicas

Daniel Bernoulli também realizou contribuições importantes para a teoria das oscilações.

Durante o século XVIII, diversos matemáticos investigaram o comportamento de cordas submetidas a vibrações. O problema era compreender matematicamente como uma corda esticada poderia produzir diferentes frequências sonoras.

Daniel propôs que o movimento de uma corda vibrante poderia ser interpretado como a superposição de diferentes modos harmônicos de vibração.

Representação de modos de vibração de uma corda. A combinação de modos permite compreender a formação de diferentes sons.

8.1. Frequências naturais de uma corda ideal

Para uma corda uniforme, perfeitamente flexível, sob tensão constante, com extremidades fixas, as frequências naturais são dadas por:

fₙ = n/(2L) · √(T/μ)

Em que:

• fₙ é a frequência do modo n;
• L é o comprimento da corda;
• T é a tensão aplicada;
• μ é a densidade linear de massa;
• n é um número inteiro positivo.

As frequências são múltiplos inteiros da frequência fundamental:

f₁, 2f₁, 3f₁, 4f₁, ...

Essas frequências estão relacionadas aos harmônicos e aos modos normais de vibração.

8.2. A controvérsia das cordas vibrantes

O estudo das cordas vibrantes foi um dos problemas matemáticos mais importantes do século XVIII.

Daniel Bernoulli, Jean le Rond d'Alembert e Leonhard Euler apresentaram abordagens diferentes para compreender a forma da corda em movimento.

Uma questão central era saber quais funções poderiam representar o movimento de uma corda e como diferentes movimentos poderiam ser combinados.

Esse debate contribuiu para o desenvolvimento da teoria das equações diferenciais parciais e, posteriormente, para o estudo das séries de Fourier.

É importante destacar que Fourier e seus estudos pertencem a um período posterior. A controvérsia do século XVIII foi um dos antecedentes fundamentais dessa evolução matemática.

Conexão interdisciplinar: esse tema permite relacionar Matemática, Física, Engenharia de Áudio, Acústica, Música e Processamento Digital de Sinais.

9. Daniel Bernoulli e a teoria das probabilidades

Outra contribuição importante de Daniel Bernoulli está relacionada à teoria das probabilidades e à análise das decisões em situações de incerteza.

Em 1738, publicou um trabalho que se tornou fundamental para o desenvolvimento da teoria da utilidade esperada.

O problema central era compreender por que as pessoas não avaliam riscos e ganhos exclusivamente pelo valor monetário esperado.

Em outras palavras: por que uma pessoa pode preferir um ganho certo a uma aposta cujo valor esperado é maior?

9.1. O paradoxo de São Petersburgo

O paradoxo de São Petersburgo foi formulado a partir de um jogo de azar envolvendo lançamentos sucessivos de uma moeda honesta.

O jogo funciona da seguinte maneira:

1. Uma moeda é lançada repetidamente.
2. Se sair cara no primeiro lançamento, o jogador recebe R$ 2.
3. Se sair coroa e depois cara, recebe R$ 4.
4. Se forem necessárias três jogadas para sair cara pela primeira vez, recebe R$ 8.
5. O prêmio continua dobrando a cada lançamento adicional sem cara.

A recompensa é, portanto, igual a 2 elevado ao número de lançamentos necessários para obter a primeira cara.

9.2. O valor esperado do jogo

A probabilidade de receber 2ⁿ unidades monetárias é:

P(X = 2ⁿ) = 1/2ⁿ

O valor esperado é:

E(X) = Σ (1/2ⁿ) · 2ⁿ

Ou seja:

E(X) = 1 + 1 + 1 + 1 + ...

Portanto, a soma diverge:

E(X) = ∞

O paradoxo está no fato de que o valor esperado matemático é infinito, mas as pessoas normalmente não estariam dispostas a pagar qualquer quantia arbitrariamente alta para participar do jogo.

9.3. A solução proposta por Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli argumentou que o valor monetário não representa sozinho a satisfação ou a utilidade proporcionada por uma riqueza.

Uma quantia adicional pode ter importância muito maior para alguém que possui poucos recursos do que para alguém que já possui uma fortuna.

Ele propôs uma função logarítmica de utilidade:

U(W) = ln(W)

Em que W representa a riqueza e U(W) sua utilidade.

Essa função é crescente, mas apresenta utilidade marginal decrescente:

U'(W) = 1/W

U''(W) = −1/W²

Assim, o aumento da riqueza produz satisfação adicional, mas essa satisfação cresce a taxas cada vez menores.

Para uma riqueza inicial W₀ e um prêmio 2ⁿ, a utilidade esperada do jogo, segundo essa formulação, é:

EU = Σ (1/2ⁿ) · ln(W₀ + 2ⁿ)

Essa soma converge para uma riqueza inicial positiva, diferentemente do valor monetário esperado.

Importância histórica: Daniel Bernoulli antecipou uma ideia central da Economia moderna: decisões sob incerteza dependem não apenas dos valores monetários possíveis, mas também da maneira como os indivíduos avaliam esses valores.

9.4. Aplicações contemporâneas

• Economia comportamental e teoria da decisão.
• Finanças e avaliação de investimentos.
• Seguros e análise de riscos.
• Economia da saúde.
• Tomada de decisões em ambientes de incerteza.

Seu trabalho não corresponde integralmente às teorias modernas de decisão, mas é considerado um marco na formação da teoria da utilidade esperada.

10. Medicina, pressão e experimentação

A formação médica de Daniel Bernoulli teve influência sobre suas pesquisas físicas.

Seu interesse pela pressão dos fluidos também se relacionava à circulação sanguínea e ao funcionamento do organismo humano.

Em seus estudos, investigou a relação entre pressão e velocidade do movimento de líquidos, utilizando dispositivos experimentais que permitiam observar a pressão dentro de tubos.

Representação histórica de dispositivos associados à investigação da pressão em escoamentos. A experimentação foi uma parte importante do trabalho de Bernoulli.

Essas investigações possuem relevância histórica para o desenvolvimento da instrumentação e da compreensão dos fenômenos hemodinâmicos.

Entretanto, é necessário distinguir a investigação histórica de pressão em tubos da medição clínica moderna da pressão arterial, que utiliza técnicas e instrumentos próprios.

11. O legado científico de Daniel Bernoulli

A contribuição de Daniel Bernoulli ultrapassa o campo da hidrodinâmica. Seu trabalho demonstra a capacidade da Matemática de estabelecer conexões entre áreas aparentemente diferentes do conhecimento.

Área	Contribuição	Aplicação atual
Hidrodinâmica	Relações entre pressão, velocidade e energia	Hidráulica e engenharia de fluidos
Física	Interpretação energética de fenômenos	Mecânica e termodinâmica
Teoria cinética	Interpretação molecular da pressão	Física estatística
Acústica	Modos de vibração e harmônicos	Música e engenharia de áudio
Probabilidade	Utilidade esperada	Economia e análise de riscos
Medicina	Estudos de pressão em fluidos	Fisiologia e instrumentação

Daniel Bernoulli faleceu em Basileia, em 1782, deixando uma produção científica que continuou influenciando o desenvolvimento da Física Matemática e de diversas áreas aplicadas.

12. Cronologia de Daniel Bernoulli

1700: nascimento em Groningen, nos Países Baixos.

1716–1721: estudos superiores e formação em Medicina.

1724: publicação de Exercitationes, seu primeiro tratado matemático importante.

1725: início de sua trajetória acadêmica em São Petersburgo.

Década de 1730: desenvolvimento de pesquisas sobre fluidos, gases, mecânica e probabilidade.

1733: retorno a Basileia.

1738: publicação de Hydrodynamica e do trabalho sobre utilidade esperada.

1740: reconhecimento em trabalhos premiados pela Academia de Ciências de Paris, em colaboração com Euler.

1750: assume a cátedra de Física em Basileia.

1782: falecimento em Basileia.

13. Daniel Bernoulli e a família: uma distinção necessária

Para evitar erros em trabalhos acadêmicos, é importante identificar corretamente as contribuições dos diferentes membros da família.

Matemático	Contribuições associadas
Jakob Bernoulli	Lei dos grandes números, probabilidade, números de Bernoulli.
Johann Bernoulli	Cálculo diferencial e integral, mecânica e equações diferenciais.
Daniel Bernoulli	Hidrodinâmica, oscilações, teoria cinética dos gases e utilidade esperada.

Também é importante distinguir o princípio de Bernoulli dos chamados números de Bernoulli. Os números de Bernoulli pertencem à teoria dos números e à análise matemática e estão associados principalmente a Jakob Bernoulli.

14. Orientações para pesquisa acadêmica

Para transformar o estudo de Daniel Bernoulli em um trabalho de pesquisa, é importante ir além da apresentação biográfica.

Uma investigação acadêmica precisa delimitar um problema, formular objetivos, estabelecer procedimentos metodológicos e utilizar fontes adequadas.

14.1. Possíveis temas de pesquisa

• Matemática e Engenharia: análise das aplicações da equação de Bernoulli em sistemas hidráulicos.
• Física: interpretação energética dos escoamentos e suas limitações.
• Estatística e Economia: o paradoxo de São Petersburgo e a origem da utilidade esperada.
• Matemática aplicada: a contribuição de Daniel Bernoulli para a teoria das oscilações.
• História da Ciência: a colaboração entre Daniel Bernoulli e Leonhard Euler.
• Termodinâmica: os antecedentes históricos da teoria cinética dos gases.
• Medicina e Física: a relação entre pressão, movimento dos fluidos e circulação sanguínea.

14.2. Exemplo de problema de pesquisa

Tema: O princípio de Bernoulli e suas aplicações na Engenharia.

Problema: Em que condições a equação de Bernoulli pode ser utilizada para descrever o comportamento de um fluido em movimento e quais são suas limitações na análise de sistemas reais?

Objetivo geral: Investigar os fundamentos matemáticos e físicos do princípio de Bernoulli e analisar suas aplicações em sistemas de engenharia.

Objetivos específicos:

• Estudar o contexto histórico da Hydrodynamica.
• Compreender a dedução da equação de Bernoulli.
• Identificar as hipóteses necessárias para sua aplicação.
• Resolver problemas envolvendo pressão, velocidade e altura.
• Comparar o modelo ideal com situações reais que envolvem perdas de carga.

14.3. Metodologia recomendada

Para uma pesquisa bibliográfica, recomenda-se:

1. Levantar fontes primárias e secundárias sobre Daniel Bernoulli.
2. Consultar livros acadêmicos de Mecânica dos Fluidos, Física e História da Matemática.
3. Identificar os fundamentos matemáticos envolvidos.
4. Comparar diferentes interpretações históricas e científicas.
5. Apresentar aplicações e exemplos de resolução.
6. Registrar as referências bibliográficas segundo as normas adotadas pela instituição.

Para pesquisas experimentais, pode-se construir um sistema simples de escoamento, medir diferenças de pressão e comparar os resultados observados com as previsões do modelo ideal.

15. Recursos digitais e fontes para aprofundamento

1. Mathematical Association of America

Artigo histórico sobre a obra Hydrodynamica, sua importância científica e as imagens originais do livro.

Daniel Bernoulli's Hydrodynamica – MAA.

2. MacTutor History of Mathematics

Biografia acadêmica detalhada, com informações sobre os trabalhos de Daniel, sua trajetória e suas contribuições.

Daniel Bernoulli – University of St Andrews.

3. Universidade de Basileia – Bernoulli Euler Zentrum

Informações sobre a família Bernoulli, bibliografia especializada e referências sobre a produção científica de Daniel.

Daniel Bernoulli – Universität Basel.

4. ETH-Bibliothek – Hydrodynamica digitalizada

Consulta à obra original publicada em 1738, com suas seções e pranchas históricas.

Acessar a obra original.

5. Deutsches Museum

Estudo sobre a história da obra Hydrodynamica, seus experimentos e o desenvolvimento da hidrodinâmica.

Hydrodynamica – Deutsches Museum.

6. American Physical Society

Texto histórico sobre o nascimento de Daniel Bernoulli e a influência de suas ideias na Física.

January 29, 1700: Birth of Daniel Bernoulli.

7. Revista Brasileira de História da Matemática

Artigo acadêmico em português sobre a controvérsia das cordas vibrantes e a contribuição de Daniel Bernoulli.

Tradução de texto de Daniel Bernoulli sobre vibrações das cordas.

8. Artigo científico – Revista Brasileira de Ensino de Física

Discussão sobre a estrutura das teorias físicas analíticas e a contribuição de Daniel Bernoulli.

Consultar artigo na SciELO.

16. Referências bibliográficas

Para trabalhos acadêmicos, as referências abaixo constituem um ponto de partida. Recomenda-se consultar as edições efetivamente utilizadas e completar os dados bibliográficos conforme as normas da instituição.

Fontes primárias

• BERNOULLI, Daniel. Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii. Strasbourg, 1738.
• BERNOULLI, Daniel. Specimen theoriae novae de mensura sortis. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1738.
• BERNOULLI, Daniel. Exercitationes quaedam mathematicae. 1724.

Fontes secundárias e estudos históricos

• BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da Matemática.
• KATZ, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction.
• GRATTAN-GUINNESS, Ivor (ed.). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940. Elsevier, 2005. Capítulo sobre Daniel Bernoulli e Hydrodynamica.
• MIKHAILOV, G. K. Estudos históricos sobre a vida e a obra de Daniel Bernoulli.
• DUTKA, Jacques. On the St. Petersburg Paradox. Archive for History of Exact Sciences, v. 39, 1988, p. 13–39.

Livros para aprofundamento técnico

• WHITE, Frank M. Fluid Mechanics.
• FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. Introduction to Fluid Mechanics.
• ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications.
• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física.
• ROSS, Sheldon. A First Course in Probability.

Considerações finais

Daniel Bernoulli representa uma das expressões mais importantes da aproximação entre Matemática e ciência experimental no século XVIII.

Seu trabalho demonstra que uma mesma estrutura matemática pode ser utilizada para investigar fenômenos de diferentes naturezas: o movimento da água, o comportamento dos gases, a vibração de uma corda e as decisões econômicas diante da incerteza.

Na Engenharia, suas ideias continuam presentes na análise de escoamentos e sistemas hidráulicos. Na Física, constituem parte da história da conservação da energia e da teoria cinética. Na Matemática, seus estudos sobre oscilações e probabilidade contribuíram para discussões que continuariam por gerações.

Talvez sua maior contribuição tenha sido mostrar que a Matemática não precisa permanecer isolada em estruturas abstratas: ela pode dialogar com a observação, com a experimentação e com os problemas concretos da humanidade.

Compreender a natureza é também descobrir as relações matemáticas que organizam seus fenômenos.

MATEMÁTICA DO PI
Da Educação Básica à Pesquisa Acadêmica.
Professor Jonas Portal

Que Venha 2011

Quero de modo singelo agradecer a todos os amigos, leitores ou não do blog Matemática do Pi, por fazerem parte de minha jornada no ano de 2010, o qual foi de grandes conquistas, alguns deslizes, muitas risadas, trapalhadas, mas que foram necessárias para realização dos meus planos neste ano, e me ajudaram a ser mais amigo, mais solidário, mais parceiro, mais feliz.

Aos estudantes de 2011, desejo muita coragem para enfrentar o rítmo frenético dos vestibulares e a correria dos cursinhos e que tenham dedicação, paciência e calma na hora dos estudos para que não se desanimem e parem no meio caminho!

Que venha 2011 com maiores realizações, mais saúde, mais alegria,  menos violência, menos incerteza na economia, menos pobreza, e por aí...

Que dê Tudo Certo Para Todos Nós!

((Prof.Jonas Portal))

Teoria dos Números – RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z

Sejam a e b dois inteiros com a≠0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a.q.

Se a divide b diz-se que a é divisor de b, que a é um fator de b, b é múltiplo de a ou que b é divisível por a.

Notação:

a|b (indica que a divide b)

A relação “a divide b” (a|b) denomina-se relação de divisibilidade em Z.

Se a é divisor de b, então –a também é um divisor de b, pois b = aq => b = (-a).(-q), ou seja, os divisores de um inteiro qualquer são dois a dois iguais em valor absoluto e de sinais contrários.

Vejamos:    4|8 ==>8 = 4x2

-6/12 ==> 12 = (-6)x(-2)

                   3 11 ==> q / 3q = 11

Teorema: Quaisquer que sejam os inteiros a, b, c e d, tem-se:

I) a|0, 1|a e a|a

II) Se a|1, então a = (+-)1

III) Se a|b e se c|d, então ac|bd

DEMONSTRAÇÃO

Consideremos:

 

portanto, ac|bd

C.Q.D.

VI) Se a|b e se b|c, então a|c ( TRANSITIVIDADE)

Como a|b e b|c, existem q1, q2 ЄZ com b = aq1 e c = bq2.

Assim, c = bq2 = aq1q2 = aq, com q = q1q2 Є Z.

Logo, por definição, a|c.

Outras Demonstrações que podem servir como exercícios:

1- Mostrar que se a | b,  então  (-a) | b,  a | (-b)  e  (-a) | (-b).

Solução: Se a | b então  ∃ q ∈ Z | b = aq.

(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq  = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).
Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z.

Portanto, existe (-q) inteiro tal que b = (-a).(-q) => (-a) | b.

(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq   => (-b) = a(-q). E conforme foi justificado,  a | (-b).

(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq  => (-b) = (-a).q => (-a)|(b). De acordo com (i)

2-Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que  se a | b, então a | bc.

Solução: a | b =>  b = aq,  q inteiro => bc = aqc => bc = a(qc).
Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).
Portanto, existe um inteiro (qc) tal que  bc = a(qc) => a | bc.

3– Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que se a | b  <==>ac | bc  (com c ≠ 0).

Solução: 
a | b <=> b = aq <=> bc = aqc  <=> bc = (ac) q  <=>
<=>  ac | bc.

C.Q.D.

Energia Cinética

Quando uma pessoa tem energia, supomos que tem grande capacidade de trabalhar. Dizemos, então, que um sistema ou corpo possui energia quando tem a capacidade de realizar trabalho.

A energia que os corpos têm devido ao movimento é chamada Energia Cinética.

A energia é igual ao trabalho realizado pela força, o qual, na direção apresentada, é o produto da força pelo deslocamento:

O deslocamento d é calculado por: S = S_o + V_ot + ½at², sendo S_o e V_o nulos e S = d, temos:

Substituindo (2) em (1):

Da equação horária da velocidade, temos: V = V_o + at , onde V_o = 0:

v = at

Substituindo o produto at pela velocidade, resulta na fórmula da Energia Cinética:

Aplicações:

1- Dois corpos de massas m₁ e m₂ e velocidades v₁ e v₂, respectivamente, movimentam-se horizontalmente sobre uma superfície lisa. A massa do primeiro é 4 vezes maior que a do segundo. Determine a relação entre v₁ e v₂, sendo que suas energias cinéticas são iguais.

Solução:

Dados: Ec₁= Ec₂      

           m₁= 4m₂

Igualando as energias cinéticas

Substituindo m₁ = 4m₂ e eliminando o dois que está dividindo:

Logo,

LOGARITMOS -Questão Vestibular UEPA 2010

Vou resolver uma questão envolvendo logarítmos da Universidade do Estado do Pará (UEPA), do processo seletivo 2010.

Essa questão é resolvida aplicando as propriedades dos logaritmos.

Do expoente 1/n

Do produto

Como os logaritmos tem mesma base, podemos fazer:

Logo,
 

Letra d)