Demonstrações – Derivadas II: Regra do produto

CÁLCULO DIFERENCIAL • DEMONSTRAÇÕES

Demonstrações – Derivadas II: A Regra do Produto

Fundamentação matemática • Definição de derivada • Incrementos

Como determinar a derivada de uma função que é formada pelo produto de duas outras funções? A resposta é conhecida como regra do produto, uma das propriedades fundamentais do Cálculo Diferencial. Mas de onde vem essa regra? Nesta publicação, vamos demonstrá-la matematicamente, partindo da própria definição de derivada.

ROTEIRO DE ESTUDO

1. O problema matemático
2. Relembrando a definição
3. Demonstração pelo método dos incrementos
4. Análise rigorosa da passagem ao limite
5. Uma segunda demonstração
6. Exemplos resolvidos
7. Por que a regra funciona?
8. Erros frequentes
9. Exercícios propostos
10. Referências

1. O problema matemático

Considere duas funções diferenciáveis, \(h\) e \(g\), e uma terceira função \(f\), definida pelo produto:

\[ f(x)=h(x)\cdot g(x) \]

Desejamos determinar a expressão de \(f'(x)\), isto é, a derivada do produto dessas duas funções.

REGRA DO PRODUTO \[ \boxed{ f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) } \]

Observe que a derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas. É necessário somar dois produtos: a derivada da primeira função pela segunda função, mais a primeira função pela derivada da segunda.

2. Relembrando a definição de derivada

A derivada de uma função \(f\), em um ponto \(x\), é definida pelo limite:

\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} } \]

O símbolo \(\Delta x\) representa um incremento na variável independente.

Para as funções \(h\) e \(g\), podemos escrever:

\[ \Delta h=h(x+\Delta x)-h(x) \] \[ \Delta g=g(x+\Delta x)-g(x) \]

Assim:

\[ h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h \] \[ g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g \]

Essas relações serão fundamentais para a demonstração.

3. Demonstração pelo método dos incrementos

Vamos desenvolver a demonstração seguindo a abordagem clássica dos incrementos, utilizada na publicação original de 2010.

Consideremos:

\[ y=f(x)=h(x)g(x) \]

Quando \(x\) sofre um incremento \(\Delta x\), a função também sofre um incremento \(\Delta y\). Portanto:

\[ y+\Delta y=f(x+\Delta x) \]

Como \(f(x)=h(x)g(x)\), temos:

\[ y+\Delta y= h(x+\Delta x)g(x+\Delta x) \]

Utilizando as relações dos incrementos:

\[ y+\Delta y= [h(x)+\Delta h][g(x)+\Delta g] \]

1º passo — Desenvolver o produto Aplicando a propriedade distributiva: \[ \begin{aligned} y+\Delta y={}&h(x)g(x)\\ &+h(x)\Delta g\\ &+g(x)\Delta h\\ &+\Delta h\Delta g \end{aligned} \]

2º passo — Isolar o incremento da função Sabemos que: \[ y=h(x)g(x) \] Subtraindo \(y\) dos dois lados: \[ \boxed{ \Delta y=h(x)\Delta g+ g(x)\Delta h+\Delta h\Delta g } \]

3º passo — Dividir pelo incremento da variável independente Dividindo toda a igualdade por \(\Delta x\): \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = h(x)\frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x)\frac{\Delta h}{\Delta x} + \Delta g\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

4º passo — Aplicar o limite Como as funções são diferenciáveis em \(x\), podemos considerar: \[ \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta h}{\Delta x}=h'(x) \] e \[ \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta g}{\Delta x}=g'(x) \] Além disso, a continuidade das funções diferenciáveis garante que: \[ \lim_{\Delta x\to0}\Delta g=0 \]

5º passo — Obter a expressão final Aplicando os limites: \[ \begin{aligned} f'(x)={}&h(x)g'(x)\\ &+g(x)h'(x)\\ &+0\cdot h'(x) \end{aligned} \] Portanto: \[ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) \]

DEMONSTRAÇÃO CONCLUÍDA \[ \boxed{ f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) } \]

Como queríamos demonstrar.

4. Por que o último termo desaparece?

Este é um dos detalhes mais importantes da demonstração e merece atenção especial.

Na expressão:

\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

quando \(\Delta x\to0\), temos:

\[ \Delta g\to0 \]

Por outro lado, como \(h\) é diferenciável:

\[ \frac{\Delta h}{\Delta x}\to h'(x) \]

Consequentemente, pelo teorema do limite do produto:

\[ \lim_{\Delta x\to0} \left( \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \right) =0\cdot h'(x)=0 \]

Observação matemática: Não estamos afirmando que \(\Delta g\) seja igual a zero durante os cálculos. Ele tende a zero quando \(\Delta x\) tende a zero. A existência da derivada de \(h\) garante que o outro fator possui limite finito.

5. Uma segunda demonstração: diretamente pela definição

Podemos chegar ao mesmo resultado utilizando uma reorganização algébrica do quociente incremental.

Partimos de:

\[ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-h(x)g(x)} {\Delta x} \]

Somamos e subtraímos o termo \(h(x+\Delta x)g(x)\) no numerador:

\[ \begin{aligned} f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \Bigg[ &h(x+\Delta x) \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x) \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \Bigg] \end{aligned} \]

Agora, aplicando as propriedades dos limites:

\[ \begin{aligned} f'(x)={}& h(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \end{aligned} \]

Reconhecendo as definições das derivadas:

\[ \boxed{ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) } \]

Obtivemos novamente a regra do produto, agora por uma reorganização direta do quociente incremental.

6. Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Produto de funções polinomiais

Determine a derivada de:

\[ f(x)=(x^2+3)(2x-1) \]

Identificamos:

\[ h(x)=x^2+3 \qquad g(x)=2x-1 \]

Suas derivadas são:

\[ h'(x)=2x \qquad g'(x)=2 \]

Aplicando a regra do produto:

\[ f'(x)=2x(2x-1)+(x^2+3)\cdot2 \] \[ f'(x)=4x^2-2x+2x^2+6 \]

\[ \boxed{f'(x)=6x^2-2x+6} \]

Exemplo 2 — Produto envolvendo função trigonométrica

Determine a derivada de:

\[ f(x)=x^2\sen x \]

Temos:

\[ h(x)=x^2,\qquad g(x)=\sen x \] \[ h'(x)=2x,\qquad g'(x)=\cos x \]

Aplicando a regra:

\[ f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x \]

\[ \boxed{f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x} \]

Exemplo 3 — Produto envolvendo exponencial

\[ f(x)=e^x(x^3+1) \]

Pela regra do produto:

\[ f'(x)=e^x(x^3+1)+e^x(3x^2) \] \[ \boxed{f'(x)=e^x(x^3+3x^2+1)} \]

7. Por que a regra do produto funciona?

A regra do produto possui uma interpretação interessante quando pensamos nas variações simultâneas de duas grandezas.

Considere a área de um retângulo:

\[ A=b\cdot h \]

em que \(b\) representa a base e \(h\) representa a altura.

Se a base e a altura variam com o tempo, a área também varia. Derivando em relação ao tempo:

\[ \frac{dA}{dt} = h\frac{db}{dt} + b\frac{dh}{dt} \]

Isso significa que a taxa de variação da área depende de duas contribuições:

• A variação da base, considerando a altura atual;
• A variação da altura, considerando a base atual.

Essa interpretação mostra que a regra do produto não é apenas uma manipulação algébrica: ela expressa matematicamente como a variação de duas grandezas influencia o produto entre elas.

8. Atenção aos erros mais frequentes

Erro 1: afirmar que a derivada do produto é o produto das derivadas.

\[ (hg)'\neq h'g' \]

Erro 2: esquecer que uma das funções permanece sem derivar em cada parcela.

Erro 3: eliminar o termo \(\Delta h\Delta g/\Delta x\) sem justificar a passagem ao limite.

Erro 4: confundir a regra do produto com a regra da soma.

9. Teste seus conhecimentos

Resolva os exercícios e confira as respostas depois de tentar desenvolver cada demonstração.

Questão 1 — Aplicação direta

Determine a derivada de:

\[ f(x)=(x^2+1)(x+3) \]

Ver resolução

\[ f'(x)=2x(x+3)+(x^2+1) \] \[ \boxed{f'(x)=3x^2+6x+1} \]

Questão 2 — Função trigonométrica

Determine a derivada de:

\[ f(x)=x\cos x \]

Ver resolução

\[ f'(x)=1\cdot\cos x+x(-\sen x) \] \[ \boxed{f'(x)=\cos x-x\sen x} \]

Questão 3 — Conhecendo as derivadas em um ponto

Sabendo que \(h(2)=5\), \(g(2)=3\), \(h'(2)=4\) e \(g'(2)=-2\), determine a derivada de \(f(x)=h(x)g(x)\) em \(x=2\).

Ver resolução

\[ f'(2)=h'(2)g(2)+h(2)g'(2) \] \[ f'(2)=4\cdot3+5(-2) \] \[ \boxed{f'(2)=2} \]

Questão 4 — Reflexão conceitual

Explique por que, na demonstração pelo método dos incrementos, o termo

\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

tende a zero quando \(\Delta x\to0\).

Ver resposta

Porque a continuidade de \(g\), garantida por sua diferenciabilidade, implica \(\Delta g\to0\), enquanto a diferenciabilidade de \(h\) implica que \(\Delta h/\Delta x\to h'(x)\), um limite finito. Portanto, o produto tende a zero.

10. Considerações finais

A regra do produto é uma das ferramentas fundamentais do Cálculo Diferencial. Sua demonstração evidencia a importância da definição de derivada e das propriedades dos limites.

Mais do que memorizar:

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

é importante compreender por que essa igualdade é verdadeira.

A matemática ganha profundidade quando deixamos de apenas aplicar fórmulas e passamos a investigar a origem dos resultados.

CONTINUAÇÃO DA SÉRIE

Demonstrações – Derivadas III: Demonstração da regra do quociente.

Na próxima publicação, demonstraremos como derivar o quociente de duas funções diferenciáveis, novamente partindo da definição de derivada.

11. Referências bibliográficas

1. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. Cengage Learning.
2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 1. LTC.
3. APOSTOL, Tom M. Calculus: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Volume 1. Wiley.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática, demonstrações, descobertas e conhecimento.

Professor Jonas Portal | Publicação original, revisada e ampliada.

Demonstrações – Derivadas I : Regra da Soma

CÁLCULO DIFERENCIAL • FUNDAMENTAÇÃO

Demonstrações – Derivadas I

Série de demonstrações matemáticas | Regra da soma

A derivação não é apenas um conjunto de fórmulas que devemos memorizar. Por trás de cada regra existe uma fundamentação matemática, construída a partir do conceito de limite. Nesta publicação, demonstraremos uma das propriedades fundamentais da derivação: a derivada da soma de duas funções.

Nesta publicação

1. A definição de derivada
2. O teorema da derivada da soma
3. Demonstração passo a passo
4. Exemplo resolvido
5. Interpretação geométrica
6. Aplicação prática
7. Exercícios propostos
8. Referências bibliográficas

1. Relembrando a definição de derivada

Antes de demonstrar a propriedade, precisamos recordar a definição de derivada de uma função em um ponto.

Seja \(f\) uma função definida em uma vizinhança de \(x\). A derivada de \(f\) no ponto \(x\), quando existe, é definida por:

\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} } \]

Nessa expressão:

• \(h\) representa um incremento na variável independente;
• \(f(x+h)-f(x)\) representa a variação da função;
• o quociente representa a taxa média de variação;
• o limite, quando existe, fornece a taxa instantânea de variação.

Geometricamente, a derivada representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto considerado.

2. Teorema: derivada da soma

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em um ponto \(x\). Definimos uma terceira função:

\[ F(x)=f(x)+g(x) \]

Queremos demonstrar que a derivada dessa soma é igual à soma das derivadas das funções.

TEOREMA DA DERIVADA DA SOMA \[ \boxed{ [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) } \]

Em outras palavras, a derivação é uma operação linear em relação à adição de funções.

3. Demonstração passo a passo

Hipótese: consideremos \(f\) e \(g\) deriváveis no ponto \(x\).

Pela definição de derivada, temos:

1º passo — Aplicar a definição de derivada \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \]

2º passo — Substituir a função pela sua definição Como \(F(x)=f(x)+g(x)\), então: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h} \]

3º passo — Agrupar os termos semelhantes Reorganizando o numerador: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{ [f(x+h)-f(x)]+[g(x+h)-g(x)] }{h} \]

4º passo — Separar a soma em dois quocientes Utilizando as propriedades algébricas: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right] \]

5º passo — Aplicar a propriedade do limite da soma Como os limites das duas parcelas existem, podemos escrever: \[ F'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \]

6º passo — Reconhecer as derivadas Pela própria definição de derivada: \[ \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \] e \[ \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \] Portanto:

CONCLUSÃO DA DEMONSTRAÇÃO \[ \boxed{F'(x)=f'(x)+g'(x)} \]

CQD — Como queríamos demonstrar.

Observe que não utilizamos previamente a regra da derivada da soma. Partimos exclusivamente da definição de derivada e das propriedades dos limites. Assim, a propriedade foi efetivamente demonstrada.

4. Exemplo resolvido

Vamos utilizar o resultado demonstrado para calcular a derivada da função:

\[ F(x)=x^2+3x-5 \]

Podemos separar a função em duas parcelas:

\[ f(x)=x^2 \qquad g(x)=3x-5 \]

Pela regra da soma:

\[ F'(x)=f'(x)+g'(x) \]

Calculando as derivadas:

\[ f'(x)=2x \] \[ g'(x)=3 \]

Logo:

\[ \boxed{F'(x)=2x+3} \]

A regra demonstrada permite derivar cada parcela separadamente, simplificando consideravelmente os cálculos.

5. Uma interpretação geométrica

A derivada representa a taxa instantânea de variação de uma função. Quando somamos duas funções, suas taxas instantâneas de variação também se somam.

Considere:

\[ F(x)=f(x)+g(x) \]

Se, em determinado ponto, temos:

\[ f'(x)=4 \qquad g'(x)=3 \]

então:

\[ F'(x)=4+3=7 \]

Isso significa que, naquele ponto, a taxa instantânea de variação da função resultante é 7.

Uma observação importante A regra da soma não afirma que os valores das funções sejam necessariamente positivos ou crescentes. As derivadas podem ser positivas, negativas ou nulas. A propriedade continua válida desde que as funções sejam deriváveis no ponto considerado.

6. Aplicação: movimento de um corpo

Imagine que a posição de um móvel seja descrita pela função:

\[ s(t)=t^2+3t+5 \]

A posição foi construída pela soma de três parcelas. A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em relação ao tempo:

\[ v(t)=s'(t) \]

Aplicando a regra da soma:

\[ v(t)=2t+3 \]

No instante \(t=2\), temos:

\[ v(2)=2(2)+3=7 \]

Portanto, a velocidade instantânea nesse instante é \(7\) unidades de comprimento por unidade de tempo.

7. Teste seus conhecimentos

Agora é sua vez! Resolva as questões e confira as respostas somente depois de tentar.

Questão 1 — Compreensão do teorema

Se \(F(x)=f(x)+g(x)\), sendo ambas deriváveis, qual expressão representa corretamente a derivada de \(F\)?

A) \(f'(x)\cdot g'(x)\)

B) \(f'(x)+g'(x)\)

C) \(f(x)+g'(x)\)

D) \(f'(x)-g'(x)\)

Ver resposta

Alternativa B. A derivada da soma é a soma das derivadas.

Questão 2 — Aplicação

Determine a derivada da função:

\[ F(x)=x^3+4x^2-2x+7 \]

Ver resolução

\[ F'(x)=3x^2+8x-2 \]

Derivamos cada parcela separadamente e somamos os resultados.

Questão 3 — Raciocínio matemático

Se \(f'(2)=-3\) e \(g'(2)=8\), determine a derivada de \(F(x)=f(x)+g(x)\) no ponto \(x=2\).

Ver resolução

\[ F'(2)=f'(2)+g'(2) \] \[ F'(2)=-3+8 \] \[ \boxed{F'(2)=5} \]

8. Conclusão

A demonstração da derivada da soma é um exemplo de como resultados aparentemente simples do Cálculo Diferencial estão fundamentados em conceitos mais profundos.

Compreender a origem das regras de derivação permite desenvolver uma visão mais consistente do Cálculo, indo além da simples memorização de fórmulas.

Nas próximas publicações desta série, estudaremos outras propriedades, sempre partindo da definição de derivada e construindo as demonstrações com rigor matemático.

PRÓXIMA PUBLICAÇÃO DA SÉRIE

Demonstrações – Derivadas II: A demonstração da regra da diferença e da derivada de uma constante.

9. Referências bibliográficas

1. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. Cengage Learning.
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3. APOSTOL, Tom M. Calculus: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Volume 1. Wiley.

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Da Educação Básica ao Ensino Superior: conceitos, demonstrações, desafios e descobertas matemáticas.

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