QUESTÕES PADRÃO ENQ PROFMAT - Com cronômetro contador de tempo de resolução

Matemática do Pi • Treino avançado

Desafio ENQ PROFMAT: 4 questões para treinar

Uma questão de cada disciplina básica: MA11, MA12, MA13 e MA14.

Modo simulado: tente resolver no papel antes de abrir cada resolução.

Como usar o cronômetro: cada questão tem seu próprio contador de 15 minutos. Clique em “Iniciar”; pause ou reinicie quando quiser. O cronômetro é apenas uma ferramenta de treino e não interfere na correção.

MA11 • Números e Funções Reais

Questão 1 — Parâmetro e não negatividade

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine todos os valores reais do parâmetro \(a\) para os quais a função

f(x)=x²−2ax+a+2

é não negativa para todo \(x\in\mathbb{R}\). Justifique sua resposta de maneira completa.

⏱15:00

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Passo 1 — Observe o coeficiente quadrático

Como o coeficiente de \(x²\) é \(1>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que \(f(x)\geq0\) para todo real, é necessário e suficiente que a função não tenha duas raízes reais distintas; portanto, o discriminante deve satisfazer \(\Delta\leq0\).

Passo 2 — Calcule o discriminante

Δ=(−2a)²−4(a+2)=4a²−4a−8

Assim,

Δ=4(a²−a−2)=4(a−2)(a+1)

A condição \(\Delta\leq0\) equivale a

(a−2)(a+1)≤0

O produto é não positivo quando \(a\) está entre as raízes −1 e 2, inclusive.

Resposta: \(\boxed{a\in[-1,2]}\).

Observação: nos extremos, a função tem uma raiz real dupla e continua não negativa; por isso, os extremos pertencem ao intervalo.

MA12 • Matemática Discreta

Questão 2 — Permutações circulares

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Seis pessoas distintas sentam-se ao redor de uma mesa circular. Duas delas, Ana e Bruno, não desejam ficar em lugares consecutivos. Considerando iguais as disposições que diferem apenas por rotação, determine o número de maneiras de acomodar as seis pessoas de modo que Ana e Bruno não fiquem lado a lado. Apresente o raciocínio utilizado.

⏱15:00

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Passo 1 — Conte todas as disposições circulares

Para \(n\) pessoas distintas em uma mesa circular, rotações são consideradas iguais. Fixando uma pessoa, as outras podem ser permutadas de \((n-1)!\) maneiras. Logo, há

(6−1)!=5!=120

disposições no total.

Passo 2 — Conte as disposições em que Ana e Bruno ficam juntos

Considere Ana e Bruno como um único bloco. Teremos cinco unidades para ordenar circularmente: o bloco e as outras quatro pessoas. Isso pode ser feito de

(5−1)!=4!=24

maneiras. Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de posição de 2 maneiras. Portanto, o número de disposições adjacentes é

2\cdot4!=48

Passo 3 — Use o complemento

Subtraímos os casos em que ficam juntos do total:

120−48=72

Resposta: \(\boxed{72}\) maneiras.

Cuidado: em permutações circulares, não se usa \(6!\), pois rotações da mesma disposição não são contadas como diferentes.

MA13 • Geometria

Questão 3 — Altura relativa à hipotenusa

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Considere um triângulo retângulo \(ABC\), reto em \(A\). A altura \(AD\), relativa à hipotenusa \(BC\), encontra \(BC\) em \(D\). Sabendo que \(BD=4\) e \(DC=9\), determine os comprimentos \(AB\), \(AC\) e \(AD\). Justifique as relações geométricas empregadas.

⏱15:00

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Passo 1 — Determine a hipotenusa

Como \(D\) pertence ao segmento \(BC\),

BC=BD+DC=4+9=13

Passo 2 — Use as relações métricas do triângulo retângulo

O teorema das projeções estabelece:

AB²=BD\cdot BC=4\cdot13=52

Portanto, \(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). De modo análogo,

AC²=DC\cdot BC=9\cdot13=117

Assim, \(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Passo 3 — Calcule a altura

Pela relação métrica da altura relativa à hipotenusa,

AD²=BD\cdot DC=4\cdot9=36

Como comprimento é positivo, \(AD=6\).

Resposta: \(\boxed{AB=2\sqrt{13},\quad AC=3\sqrt{13},\quad AD=6}\).

Verificação: \(AB²+AC²=52+117=169=13²=BC²\), conforme o Teorema de Pitágoras.

MA14 • Aritmética

Questão 4 — Valoração de um fatorial

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine o maior inteiro não negativo \(k\) para o qual \(2^k\) divide \(100!\). Explique por que seu procedimento contabiliza todos os fatores 2 presentes na fatoração de \(100!\).

⏱15:00

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Passo 1 — Conte os múltiplos de 2

Entre os fatores de \(100!\), cada múltiplo de 2 contribui com pelo menos um fator 2. Existem

⌊100/2⌋=50

múltiplos de 2 entre 1 e 100.

Passo 2 — Conte os fatores extras

Os múltiplos de 4 fornecem um fator 2 adicional:

⌊100/4⌋=25

Os múltiplos de 8 fornecem mais um fator 2:

⌊100/8⌋=12

Prosseguindo:

⌊100/16⌋=6,   ⌊100/32⌋=3,   ⌊100/64⌋=1

Não há contribuição adicional de potências de 2 maiores que 100.

Passo 3 — Some as contribuições

Pela fórmula de Legendre para a valoração de um primo em um fatorial,

v₂(100!)=50+25+12+6+3+1=97

A contagem é exata porque os múltiplos de \(2^j\) contribuem com um fator 2 adicional para cada potência \(2^j\) que os divide.

Resposta: \(\boxed{k=97}\). Portanto, \(2^{97}\mid100!\), mas \(2^{98}\nmid100!\).

MATEMÁTICA DO PI
Questões autorais de treino, inspiradas no formato discursivo e nos conteúdos das disciplinas básicas do PROFMAT.
Referência de programa: MA11 — Números e Funções Reais; MA12 — Matemática Discreta; MA13 — Geometria; MA14 — Aritmética.

ENQ PROFMAT - QUESTÃO COMENTADA - MA11 NÚMERO E FUNÇÕES REAIS - DENSIDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS

ENQ/PROFMAT – Questão Comentada #01

Área: MA11 – Números e Funções

Conteúdos abordados:

• Funções Monótonas (Crescentes);
• Densidade dos números racionais;
• Teorema do Confronto (Sanduíche);
• Demonstrações em Análise Real.

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❓ Questão

Seja

$$ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $$

uma função crescente.

Sabe-se que existem constantes reais \(a\) e \(b\) tais que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{Q}. $$

Prove que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$

Em outras palavras, mostre que a igualdade continua válida mesmo quando \(x\) é irracional.

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Seja \(x\in\mathbb R\).

Caso 1

Se \(x\in\mathbb Q\), então a conclusão é imediata, pois o enunciado afirma que

$$ f(x)=ax+b. $$

Caso 2

Suponha agora que \(x\) seja irracional.

Pela densidade dos números racionais em \(\mathbb R\), existem duas sequências de números racionais

$$ (p_n)\quad\text{e}\quad(q_n) $$

tais que

$$ p_ne

$$ p_n\longrightarrow x, \qquad q_n\longrightarrow x. $$

Como \(f\) é crescente, segue que

$$ f(p_n)\le f(x)\le f(q_n). $$

Mas \(p_n\) e \(q_n\) são racionais. Logo,

$$ f(p_n)=ap_n+b $$

e

$$ f(q_n)=aq_n+b. $$

Assim,

$$ ap_n+b \le f(x) \le aq_n+b. $$

Fazendo \(n\to\infty\), obtemos

$$ ap_n+b\longrightarrow ax+b, $$

e

$$ aq_n+b\longrightarrow ax+b. $$

Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que

$$ f(x)=ax+b. $$

Como \(x\) foi tomado arbitrariamente, segue que

$$ \boxed{ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb R. } $$

Fim da demonstração. □

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Ideia da Questão

Observe que o problema combina três conceitos fundamentais da Análise Real:

1. A densidade dos números racionais em \(\mathbb R\);
2. O fato de funções crescentes preservarem desigualdades;
3. O Teorema do Confronto para determinar exatamente o valor de \(f(x)\).

Esse tipo de demonstração é bastante frequente no ENQ/PROFMAT, pois exige maturidade matemática e domínio das propriedades da reta real.

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📖 O que revisar após resolver esta questão?

• ✔ Densidade de \(\mathbb Q\);
• ✔ Funções crescentes e decrescentes;
• ✔ Sequências convergentes;
• ✔ Teorema do Confronto;
• ✔ Demonstrações envolvendo ordem em \(\mathbb R\).

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Desafio: Você conseguiria resolver essa questão sem utilizar sequências, apenas utilizando a propriedade do supremo e do ínfimo?

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