Teorema das Raízes Racionais: O Método que Todo Candidato ao ENQ/PROFMAT Precisa Dominar

VAMOS DOMINAR ESSE CONTEÚDO

Entre os assuntos clássicos cobrados em Álgebra, o Teorema das Raízes Racionais é uma ferramenta poderosa para encontrar raízes de polinômios e fatorá-los de maneira eficiente. Neste artigo você aprenderá o teorema, verá exemplos e resolverá questões no estilo ENQ/PROFMAT.

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📌 Teorema das Raízes Racionais

Considere o polinômio

P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀

com coeficientes inteiros.

Se uma raiz racional da forma

p/q

(com p e q primos entre si) satisfaz P(x)=0, então:

• p divide o termo constante a₀;
• q divide o coeficiente líder a_n.

Assim, todas as possíveis raízes racionais podem ser encontradas listando:

(divisores do termo constante)/(divisores do coeficiente líder)

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Questões de Treinamento ENQ/PROFMAT

Questão 1

Determine todas as possíveis raízes racionais de

P(x)=2x³−5x²−4x+3.

Passo 1: Termo constante = 3.

Divisores: ±1, ±3.

Passo 2: Coeficiente líder = 2.

Divisores: ±1, ±2.

Passo 3:

Possíveis raízes:

±1, ±3, ±1/2, ±3/2.

Essa é a lista completa fornecida pelo Teorema das Raízes Racionais.

Questão 2

Determine uma raiz racional de

P(x)=x³−6x²+11x−6.

Possíveis raízes:

±1, ±2, ±3, ±6.

Testando x=1:

1−6+11−6=0.

Logo,

x=1

é raiz do polinômio.

Na verdade:

P(x)=(x−1)(x−2)(x−3).

Questão 3

Fatore completamente

P(x)=x³+x²−4x−4.

Possíveis raízes:

±1, ±2, ±4.

Testando x=−1:

−1+1+4−4=0.

Logo x=−1 é raiz.

Dividindo por (x+1):

x²−4

que é diferença de quadrados.

Assim:

P(x)=(x+1)(x−2)(x+2).

Questão 4 (Nível ENQ)

Mostre que o polinômio

P(x)=3x³−7x²−10x+8

possui uma raiz racional e determine-a.

Divisores de 8:

±1, ±2, ±4, ±8.

Divisores de 3:

±1, ±3.

Possíveis raízes:

±1, ±2, ±4, ±8, ±1/3, ±2/3, ±4/3, ±8/3.

Testando x=−1:

3(−1)³−7(−1)²−10(−1)+8

=−3−7+10+8

=8.

Não é raiz.

Testando x=2:

3(8)−7(4)−20+8

=24−28−20+8

=−16.

Não é raiz.

Testando x=−2/3:

Após a substituição:

P(−2/3)=0.

Logo:

x=−2/3

é uma raiz racional do polinômio.

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Dica para o ENQ

Sempre que aparecer um polinômio cúbico ou de grau superior, a primeira pergunta deve ser:

"Existe alguma raiz racional?"

Se existir, o Teorema das Raízes Racionais reduz drasticamente o número de testes possíveis e quase sempre é o caminho mais rápido para iniciar a fatoração.

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Bons estudos e até a próxima publicação!