FÓRMULAS DE MATEMÁTICA - VESTIBULAR

Partes da Esfera

CALOTA ESFÉRICA

CUNHA ESFÉRICA

FUSO ESFÉRICO

CARACTERÍSTICA: pode ser considerado a “casca” de uma fatia de esfera.

O volume da Cunha  e a Área do Fuso Esférico são proporcionais aos ângulos centrais correspondentes; portanto ambos podem ser obtidos por uma regra de três simples:

PIRÂMIDE RETA

TRONCO DE CONE E PIRÂMIDE

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA VESTIBULAR

Para quem vai fazer vestibular de quaquer universidade do Brasil, q estão entrando em cursinho se deparam com as mais variadas fórmulas de matemática, q muitas vezes deixam a cérebro quase “maluco”. Então resolvi postá-las aqui para vocês, agrupando por assuntos. Vou começar por G.A(Geometria Espacial)…

 CUBO

        

PARALELEPÍPEDO

   

CILINDRO

CONE

ESFERA

Cálculo De limites Seguindo o Nº de Euler

Vamos resolver alguns exemplos de cálculos simples de limites que recaem no número de Euler.
Já vimos em outros posts o gráfico …                                                                 

Concluindo que:




1º ) Calcular
Resolução:

2º) Calcular Resolução: Primeiro faça 5x = t, q vem E perceba q se x—>-∞ => t —>-∞ Agora sim, 3º)Calcular  Resolução: Fazendo –x = t, vem  x—>-∞ => t—>+∞

MATEMÁTICOS BRASILEIROS III

MANFREDO PERDIGÃO DO CARMO.

Dessa vez vou homenagear essa figura ilustre da Matemática, de um currículo impecável.

Seus Títulos:
Engenheiro civil - Universidade do Recife - 1951.
Professor assistente - Universidade de Recife (atual Universidade Federal de Pernambuco) - 1955/1965.
Ph.D. (Matemática) - Universidade da Califórnia, Berkeley - 1963.
Pesquisador titular - Instituto de Matemática Pura e Aplicada - 1966/.

Pesquisas
Topologia e curvatura.
Superfícies mínimas e de curvatura média constante.
Imersões isométricas e conformes.
Implicações da curvatura na estrutura topológica das variedades (Pinching Problem).
Convexidade e rigidez.
Subvariedades mínimas de variedades riemannianas.

Manfredo Perdigão do Carmo nasceu em Maceió em 1928, onde estudou Matemática com o Prof. Benedito de Morais. Formou-se em engenharia civil no Recife em 1951. Trabalhou alguns anos como engenheiro e abandonou a carreira para tornar-se professor assistente na Universidade do Recife. Em 1959 fez um estágio no Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA e, influenciado pelo ambiente matemático ali existente, tomou a decisão fundamental de estudar nos Estados Unidos com S.S.Chern.

Obteve o grau de PHD em Matemática na University of California, Berkley, USA, em 1963 com a tese: The Cohomology Ring of Certain Kallerian Manifolds (Geometria Diferencial); Fez pós-doutorado em 1969 na University of California, Berkley.

Foi professor em Recife, Brasília, Fortaleza, Berkeley, presidente da Sociedade Brasileira de Matemática e bolsista da Fundação Guggenheim.

Seus trabalhos de pesquisas têm se desenvolvido em Geometria Diferencial, em particular na Teoria das Imersões Isométricas e na Teoria das Subvariedades mínimas. Em 1978 foi convidado pela International Mathematical Union para apresentar os seus trabalhos no Congresso Internacional de Matemáticos, que se reúne a cada quatro anos. Atualmente (1997) se interessa por Imersões Conformes e pela Teoria das Superfícies de Curvatura Média Constante.

Até 2001 já havia orientado mais de 24 teses de doutorado e teve a alegria de ver alguns dos seus alunos se transformarem em matemáticos destacados. Tem tido um grande interesse em criar grupos de pesquisas em Geometria Diferencial no Brasil. Como consequência deste interesse, escreveu vários livros com a finalidade de aclarar a literatura existente em Geometria Diferencial e atrair jovens talentosos para esta área. Um desses livros foi traduzido em 1976 para o inglês e utilizado como texto em várias universidades estrangeiras; posteriormente, foi traduzido para o alemão, espanhol e chinês.

Fontes: (http://www.abc.org.br/~manfredo)

             (www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/.../PO09182926115aT.doc)

              (www.gf.org/fellows/2288-manfredo-perdigao-do-carmo)

Sequência de Euler

A sequência de Euler tem um comportamento muito interessante. Ela é crescente (à medida que aumentamos o valor de n, o valor de a_n tem seu valor aumentado).

Vejamos os valores aproximados de a_n para alguns valores naturais de n:

 

Características:

* qualquer que seja o valor de n, a sequência (a_n) terá um valor entre 2 e 3.

* Quando n assume valores infinitos, a sequência tende a um valor irracional que é representado pela letra e.

 

 Admitimos para e o valor aproximado: 

 Vejamos a situação:

Consideramos como uma indeterminação.

 E como fica o gráfico da função f(x) que relaciona esse limite?

Obtemos o gráfico:

A Beleza da Matemática - Absolutamente Impressionante

 Recebi por e-mail de um amigo uma apresentação de slide muito especial. Resolvi então mostrar a todos o que se pode fazer com os números ...

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888 

Veja a Simetria

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Paradoxo Do Avô ! !!!!Que interessante!!

Quem já assistiu a Série Lost deve gostar desta intrigante questão envolvendo viagens no tempo e alteração do passado!!

VEJAMOS...

Você é um viajante que acaba de embarcar numa máquina do tempo rumo ao passado, a uma época não muito distante dos dias atuais. Viaja várias décadas no tempo e se encontra com seu avô ainda criança.

Por acidente ou não, você tira a vida de seu avô, bem antes de ele conhecer a esposa, no caso sua avó.

Se você matou seu avô bem antes de ele conhecer sua futura avó, como pode ter viajado no tempo se nem existia nessa nova realidade, uma vez que seu avô morreu criança e não teve filhos? Se ele não tem filhos você não tem pais. Se você não tem pais, como você existe?

E se não existe, não poderia ter viajado no tempo e matado o seu avô, pelo que o seu avô sobreviveu, casou, teve filhos e nasceu você. Mas se você nasceu, quer dizer que vai voltar atrás no tempo e matá-lo.

Surge então um "paradoxo temporal" e um conflito lógico de existência a partir do momento que você altera os acontecimentos do passado responsáveis pela sua existência.




((Quem está a fim de saber mais, busque sobre Stephen W. Hawking e  Kip Thorne) 

Outras Séries Infinitas

De modo geral meus caros, uma Série Infinita refere-se a uma expressão da forma

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... onde  esses a_n ’s são números(termos) dados por uma fórmula ou determinada regra. As reticências indicam que a série é infinita. Então, um termo geral é escrito como nos exemplos abaixo:

  

 1² + 2² + 3² + ... + n² + ...                 (I)

 

(II)

 

Uma série também pode ser escrita de forma abreviada usando o sinal de somatório: 

 

 

Outras Séries Infinitas

De modo geral meus caros, uma Série Infinita refere-se a uma expressão da forma

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... onde  esses a_n ’s são números(termos) dados por uma fórmula ou determinada regra. As reticências indicam que a série é infinita. Então, um termo geral é escrito como nos exemplos abaixo:

  

 1² + 2² + 3² + ... + n² + ...                 (I)

 

(II)

 

Uma série também pode ser escrita de forma abreviada usando o sinal de somatório: 

 

 

SÉRIE GEOMÉTRICA INFINITA

São exemplos de séries geométricas:

(I)     2, 4, 8, 16, 32,  ...

(II)     1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, ...

(III)     a, ar, ar², ar³, ...

O exemplo (I) pode representar uma população de bactérias em intervalos de tempo iguais numa cultura sem limites.

O exemplo (II) pode representar a altura que uma bola salta ao bater sucessivamente numa superfície horizontal. 

I - Série Divergente: |q|>1 e a₁ ≠ 0

A série é chamada divergente quando a soma dos seus termos não é definida ou o seu limite tende ao infinito (+∞ ou -∞).

Vejamos a PG infinita (5, 5², 5³, 5⁴, ...)

Vamos observar as somas de seus termos:

 

Quanto maior é o número de termos, maior é a soma. Para infinitos termos é intuitivo que a soma tende a infinito.

Então para a_{1>0 e q >1 , temos:}

_{Da mesma forma, em (-3, -6,-12, ...).}

 À medida que o número de termos aumenta, a soma diminui ( aumenta em valor absoluto). Para a_{1<0 e q >1:}

II - Série Convergente: |q|<1

 A soma dos infinitos termos converge para um valor infinito.

Ex.: Seja a PG infinita

em que a_{1=1/2 e q =1/2.} 

 _{Você observa que à medida que a ordem do termo aumenta, o valor do termo diminui, tendendo a zero.}

 _{Vamos analisar o Segmento AB abaixo cuja medida é igual a 1, e o que acontece com a soma dos seus infinitos termos:}

 
_{AC = 1/2
CD = 1/4
DE = 1/8
EF = 1/16
As medidas dos segmentos AC, CD, DE, EF, etc. são, nessa ordem, os termos da PG. À medida que aumenta a quantidade de segmentos, sua soma mais se aproxima do segmento AB. Portanto, dizemos que o limite da soma dos infinitos termos da PG é igual a 1.
 Ou seja:}

_{É daqui que chegaremos àquela fórmula famosinha da Soma dos termos de uma PG infinita q vemos no ensino médio.
Pois se} |q| < 1, o número qⁿ _{tende a zero, quando n tende a infinito.
Então na expressão}

_{Podemos desprezar a parcela} a_1.qⁿ

_{Escrevemos a bendita fórmula, da seguinte forma:}