ENQ PROFMAT 2027.1: 8 Questões Discursivas de Alto Nível com Resolução e Cronômetro

MATEMÁTICA DO PI • SÉRIE ESPECIAL PROFMAT

ENQ PROFMAT 2027.1: Simulado Intensivo com 8 Questões Discursivas

Quatro disciplinas. Oito desafios. Quatro horas de prova.

Treine com questões autorais de nível avançado, cronômetro individual, tempo total e resoluções comentadas.

Importante: este é um simulado autoral de preparação, não uma previsão nem reprodução de questões oficiais. A seleção de temas foi orientada pela matriz das disciplinas MA11, MA12, MA13 e MA14 e pela consulta ao acervo público de provas anteriores da SBM/PROFMAT. Nenhuma questão pode ser garantida como provável de cair no ENQ 2027.1.

⏳ SIMULADO COMPLETO

Tempo de referência: 4 horas (240 minutos)

04:00:00

Cada questão dispõe de 30 minutos. O contador geral é independente dos cronômetros individuais.

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 01 DE 08

Radicais, domínio e equação

Determine todos os números reais \(x\) que satisfazem a equação abaixo. Apresente as condições de existência e justifique cada transformação algébrica.

\[\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}=3\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Condições de existência

É necessário que \(x+2\geq0\) e \(5-x\geq0\). Logo, \(-2\leq x\leq5\).

2. Eleve ao quadrado

\(x+2+5-x+2\sqrt{(x+2)(5-x)}=9\), portanto \(\sqrt{(x+2)(5-x)}=1\).

3. Resolva a equação resultante

\((x+2)(5-x)=1\Rightarrow -x^2+3x+10=1\), ou seja, \(x^2-3x-9=0\). Pela fórmula quadrática, \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}2=\dfrac{3\pm3\sqrt5}2\).

4. Verifique

Ambas as soluções pertencem a \([-2,5]\) e satisfazem a equação original, pois a soma dos radicais é 3.

RESPOSTA: \(\boxed{x=\dfrac{3-3\sqrt5}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{3+3\sqrt5}{2}}\)

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 02 DE 08

Número de soluções em função de um parâmetro

Considere a função \(f:(0,+\infty)\to\mathbb R\), definida por \(f(x)=x+\dfrac1x\). Para cada número real \(m\), determine quantas soluções reais positivas possui a equação \(f(x)=m\). Justifique a resposta, incluindo o caso de igualdade.

\[x+\frac{1}{x}=m,\qquad x>0\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Aplicação da desigualdade das médias (MA ≥ MG)

Como \(x>0\), podemos aplicar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:

\[ \frac{x+\frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} \]

Simplificando:

\[ \boxed{x+\frac{1}{x}\geq 2} \]

Como a equação proposta é \(x+\frac{1}{x}=m\), necessariamente:

\[ \boxed{m\geq 2} \]

Portanto, se \(m<2\), a equação não possui soluções reais positivas.

2. Análise do caso de igualdade

A igualdade na desigualdade das médias ocorre quando os dois termos são iguais: \[ x=\frac{1}{x} \] Logo: \[ x^2=1 \] Como \(x>0\), temos: \[ \boxed{x=1} \] Substituindo na equação original: \[ 1+\frac{1}{1}=m \] Assim: \[ \boxed{m=2} \] Portanto, para \(m=2\), existe exatamente uma solução real positiva: \(x=1\).

3. Análise do caso \(m>2\)

Para determinar a quantidade de soluções nesse caso, retomamos a equação: \[ x+\frac{1}{x}=m \] Multiplicando ambos os membros por \(x\): \[ x^2-mx+1=0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta=m^2-4 \] Como \(m>2\), temos: \[ \Delta>0 \] Logo, a equação possui duas raízes reais distintas.

4. Verificação da positividade das raízes

Pelas relações de Girard, temos: \[ x_1+x_2=m>0 \] e \[ x_1\cdot x_2=1>0 \] Como o produto das raízes é positivo, elas possuem o mesmo sinal. Como a soma é positiva, ambas são positivas. Portanto, para \(m>2\), existem exatamente duas soluções reais positivas distintas.

5. Conclusão

A desigualdade das médias permite identificar o valor mínimo da expressão, enquanto o discriminante e as relações de Girard completam a análise da quantidade de soluções.

RESPOSTA FINAL: \[ \boxed{ N(m)= \begin{cases} 0,&m<2\\ 1,&m=2\\ 2,&m>2 \end{cases} } \] A equação não possui soluções positivas se \(m<2\); possui uma solução se \(m=2\); e possui duas soluções positivas distintas se \(m>2\).

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 03 DE 08

Funções sobrejetoras e inclusão-exclusão

Sejam \(A\) um conjunto com 4 elementos e \(B\) um conjunto com 3 elementos. Determine o número de funções sobrejetoras \(f:A\to B\). Explique a contagem usando o princípio da inclusão-exclusão.

\[\left|\{f:A\to B\mid f\text{ é sobrejetora}\}\right|=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Conte todas as funções

Cada um dos 4 elementos de \(A\) pode ser enviado a qualquer um dos 3 elementos de \(B\). Existem \(3^4=81\) funções.

2. Retire as funções que deixam algum elemento de B sem imagem inversa

Fixado um elemento de \(B\) que não é atingido, as funções restantes são funções para um conjunto de 2 elementos: \(2^4=16\). Há 3 escolhas para o elemento não atingido; subtraímos \(3\cdot16=48\).

3. Corrija a dupla subtração

Funções cuja imagem contém apenas um elemento foram subtraídas duas vezes a mais. Para cada escolha do único elemento atingido há exatamente 1 função constante. Há 3 dessas funções, que devem ser adicionadas.

4. Aplique inclusão-exclusão

O total é \(3^4-\binom31 2^4+\binom32 1^4=81-48+3=36\).

RESPOSTA: \(\boxed{36\text{ funções sobrejetoras}.}\)

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 04 DE 08

Recorrência linear de primeira ordem

A sequência \((a_n)\) é definida por \(a_0=2\) e \(a_{n+1}=3a_n+2\), para todo inteiro \(n\geq0\). Encontre uma fórmula explícita para \(a_n\) e prove-a por indução matemática.

\[a_0=2,\qquad a_{n+1}=3a_n+2\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Identifique o padrão

Os primeiros termos são \(2,8,26,80,\ldots\). A expressão \(a_n+1\) satisfaz \(a_{n+1}+1=3(a_n+1)\).

2. Obtenha a fórmula

Assim, \(a_n+1=3^n(a_0+1)=3^n\cdot3\). Portanto, \(a_n=3^{n+1}-1\).

3. Prova por indução — base

Para \(n=0\), a fórmula fornece \(3^1-1=2=a_0\). A base é verdadeira.

4. Prova por indução — passo

Suponha \(a_n=3^{n+1}-1\). Então \(a_{n+1}=3a_n+2=3(3^{n+1}-1)+2=3^{n+2}-1\), que é a fórmula para \(n+1\).

RESPOSTA: \(\boxed{a_n=3^{n+1}-1,\quad n\geq0.}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 05 DE 08

Dois círculos e a corda comum

Dois círculos têm raios 10 e 5, e a distância entre seus centros é 13. Sabendo que eles se intersectam em dois pontos, determine o comprimento da corda comum. Apresente uma construção ou argumento geométrico que justifique os cálculos.

\[r_1=10,\qquad r_2=5,\qquad d=13\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a perpendicular comum

A reta que une os centros é perpendicular à corda comum e a divide ao meio. Seja \(x\) a distância do centro do círculo maior à projeção do ponto médio da corda sobre a linha dos centros, e \(h\) a metade da corda.

2. Monte as relações pitagóricas

Nos dois triângulos retângulos: \(x^2+h^2=10^2\) e \((13-x)^2+h^2=5^2\). Subtraindo as equações, \(x^2-(13-x)^2=75\).

3. Determine x e h

\(26x-169=75\Rightarrow x=\frac{122}{13}\). Então \(h^2=100-(122/13)^2=\frac{2016}{169}=\frac{144\cdot14}{169}\), logo \(h=\frac{12\sqrt{14}}{13}\).

4. Calcule a corda

A corda tem comprimento \(2h\), pois \(h\) é sua metade.

RESPOSTA: \(\boxed{\dfrac{24\sqrt{14}}{13}}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 06 DE 08

Triângulo de lados 13, 14 e 15

Um triângulo possui lados de comprimentos 13, 14 e 15. Determine sua área, seu raio da circunferência inscrita e seu raio da circunferência circunscrita. Justifique as fórmulas utilizadas.

\[a=13,\qquad b=14,\qquad c=15\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Calcule a área pela fórmula de Heron

O semiperímetro é \(s=(13+14+15)/2=21\). Pela fórmula de Heron, \(K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\).

2. Determine o raio inscrito

A área também é \(K=rs\), em que \(r\) é o raio inscrito. Logo, \(r=84/21=4\).

3. Determine o raio circunscrito

Para qualquer triângulo, \(K=\frac{abc}{4R}\). Assim, \(R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}\).

RESPOSTA: \(\boxed{K=84,\qquad r=4,\qquad R=\dfrac{65}{8}.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 07 DE 08

Função totiente de Euler

Determine \(\varphi(360)\), em que \(\varphi\) é a função totiente de Euler, e explique por que o resultado conta exatamente os inteiros entre 1 e 360 que são coprimos com 360.

\[\varphi(360)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Fatore o número

Temos \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\).

2. Aplique a fórmula da função totiente

Se \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\), então \(\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}(1-1/p)\). Portanto, \(\varphi(360)=360(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)\).

3. Calcule

\(360\cdot\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45=96\). A fórmula decorre da exclusão dos múltiplos dos primos 2, 3 e 5, por inclusão-exclusão.

RESPOSTA: \(\boxed{\varphi(360)=96.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 08 DE 08

Valoração p-ádica de um coeficiente binomial

Determine o maior inteiro \(k\geq0\) para o qual \(5^k\) divide o coeficiente binomial \(\binom{100}{20}\). Justifique usando a fórmula de Legendre.

\[v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a aditividade da valoração

\(v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=v_5(100!)-v_5(20!)-v_5(80!)\).

2. Aplique Legendre

\(v_5(100!)=\lfloor100/5\rfloor+\lfloor100/25\rfloor=20+4=24\).

3. Calcule os outros fatoriais

\(v_5(20!)=\lfloor20/5\rfloor=4\). E \(v_5(80!)=\lfloor80/5\rfloor+\lfloor80/25\rfloor=16+3=19\).

4. Subtraia

\(24-4-19=1\). Logo, o coeficiente é divisível por 5, mas não por 25.

RESPOSTA: \(\boxed{k=1.}\)

MATEMÁTICA DO PI
Material autoral de estudo • PROFMAT • MA11, MA12, MA13 e MA14
Recomendação: escreva suas soluções completas antes de abrir os comentários.