OBMEP – 2009 – QUESTÃO 10

Achei muito bom esse desafio. E finalmente, depois de muito pensar encontrei a solução deste problema.

- Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam?

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

SOLUÇÃO:

Muito bem,

De início devemos lembrar que 1 volta completa na circunferência vale 360º

Chamamos:

f₁ : Formiga 1: V₁ : Velocid. de f₁ S₁: espaço percorrido por f₁

f₂ : Formiga 2: V₂ : Velocid. de f₂ S₂: espaço percorrido por f₂

f₁ é mais rápido que f₂ , então temos: V₂ = 6/9 V₁ => V₂ = 2/3V₁

Precisamos encontrar o instante t do encontro entre elas. Para isso vou abrir a circunferência:

f₁ ---------------------------------------------------f₂
0----------------------------------------------------__-360º

Enquanto f₁ percorre 360º, f₂ percorre 2/3 de 360º = 240º

S₁ = 0 + 360t e S₂ = 360 – 240t

No momento do encontro, teremos S₁ = S₂

360t = 360-240t

360t + 240t = 360

600t = 360

t = 360/600 = 3/5 ( significa que 3/5 de tempo depois da partida (origem) elas se encontraram)

Para saber onde se deu o 1º encontro basta substituir 3/5 em:

S₁ = 360*t = 360*3/5 = 216º , ou S₂ = 360-240t = 360-240*3/5 = 216º

Então, as formiguinhas voltam a se encontrar a cada 216º sempre contando da origem.

1º Encontro: 216º a partir da origem

2º Encontro: 216º + 216º = 2*216º = 432º (ou ainda, 1 volta(360º) + 72º)

3º Encontro: 432º + 216º = 3*216º = 648º ( 1 volta(1*360º) + 288º)

4º Encontro: 648+ 216º = 4*216º = 864º ( 2 voltas(2*360º) + 144º)

5º Encontro: 864+216º = 5*216º = 1080º ( 3 voltas completas= 3*360º ), ou seja deu na origem , de onde partiram.

6º Encontro: 1080º + 216º = 6*216 = 1296º ( 3 voltas + 216º)

Então, meus caros, significa que as duas formiguinhas voltaram a se encontrar no ponto onde se deu o 1º encontro. E a partir daí os pontos de encontro começam a se repetir.

Portanto, as formiguinhas se encontram em apenas 5 pontos distintos, letra d)

Dicas e Truques de Matemática

Muitas vezes precisamos dar respostas rápidas para problemas e temos que ficar "batendo" a cabeça pra encontrar o resultado de uma multiplicação ou Divisão.
Então aqui vai lgumas dicas pra quem quer fazer cálculos mentais rápidos.

1) Divisão por 5
Para dividir um Número N qualquer por 5, basta multiplicá-lo por dois ( ou seja, o DOBRO) e dividir por 10 (ou seja volta uma casa com a vírgula).

Ex: 320 dividido por 5.
Temos: o dobro de 320 é 640, voltando uma casa com a vírgula temos 64.

Ex2: 43 divido por 5.
O Dobro 86, então voltando uma casa temos: 8,6


2) Multiplicação por 5
Para multiplicar um Número N qualquer por 5, basta dividi-lo por dois ( ou seja, a metade) e multiplicar por 10 (andar com a vírgula para a direita).

Ex: 5 x 46 = (46/2)x10 = 23x10 = 230

Ex2: 75x5 = 37,5 x 10 = 375 ( Veja que 37,5 é metade de 75, blz!!)


3) Soma de um número N por 9, 99 , 999, etc.
Para somar qualquer número por 9, 99, 999, 9999, ... basta somar por 10, 100, 1000, 1000, respectivamente e subtrair 1.

Ex:
165 + 9 = 165 + (10) = 175-1 = 174 , perceba q foi somado 10 e diminuído 1 no final, o mesmo se repete nos outros exemplos.
178 + 99 = 178+(100) = 278 - 1 = 277
1463+ 99 = 1463 + (100) = 1563 - 1 = 1562

4) Soma de números quase consecutivos:

Para fazer a soma de dois números quase consecutivos, como 12 e 14, basta dobrarmos o número intermediário.

12 + 14 => 13 + 13 = 26 124 + 126 => 125+125 = 250

5) Decomposição de somas:
Algumas vezes, para somar, se torna mais fácil decompor o número em parcelas mais simples.
Por exemplo: 123 + 57
=> (120+3) + (50 + 7) = (120 + 50) + ( 3 +7) = 170 +10 = 180
É lógico q tudo isso é feito na "mente" de forma rápida, ok!!!!!!!

6) Cálculo Mental com DECIMAIS
Os números decimais são o TERROR de nossos alunos. Eles simplesmente ñ sabem o q fazer.Mas dou as dicas seguintes:

(((Vc soma normalmente e acrescenta e vírgula no final))))

Ex.: 1,3 + 2,6 calculamos assim 13+26 = 39, agora é só acrescentar a vírgula e obtemos 3,9.

12,4 + 1,3 calculamos assim 124+13 = 137, agora acrescenta a vírgula e obtemos 13,7

Outro Com SUBTRAÇÃO

2,3 - 1,5 segue o mesmo raciocínio 23 -15 = 8, daí temos 0,8

14,6 - 2,4 temos, então 146 - 24 = 122, daí temos 12,2

então blz ,
...to be continued!!!!!!!!!!!!

Matemática do Mendigo

Foi um estagiário que elaborou essa pesquisa, ao qual dou os devidos créditos e os parabéns muito sincero pois o resultado que ele conseguiu obter é a mais pura realidade.

Preste atenção...

Um sinal de trânsito muda de estado em média a cada 30 segundos (trinta segundos no vermelho e trinta no verde).

Então, a cada minuto um mendigo tem 30 segundos para faturar pelo menos R$ 0,10, o que numa hora dará: 60 x 0,10 = R$6,00.

Se ele trabalhar 8 horas por dia, 25 dias por mês, num mês terá faturado: 25 x 8 x 6 = R$ 1.200,00. Será que isso é uma conta maluca?

Bom, 6 reais por hora é uma conta bastante razoável para quem está no sinal, uma vez que, quem doa nunca dá somente 10 centavos e sim 20, 50 e às vezes até 1,00.

Mas, tudo bem, se ele faturar a metade: R$ 3,00 por hora terá R$600,00 no final do mês, que é o salário de um estagiário com carga de 35 horas semanais ou 7 horas por dia.

Ainda assim, quando ele consegue uma moeda de R$1,00 (o que não é raro), ele pode descansar tranqüilo debaixo de uma árvore por mais 9 viradas do sinal de trânsito, sem nenhum chefe pra 'encher o saco' por causa disto.

Mas considerando que é apenas teoria, vamos ao mundo real.

De posse destes dados fui entrevistar uma mulher que pede esmolas, e que sempre vejo trocar seus rendimentos na Panetiere (padaria em frente ao CEFET ). Então lhe perguntei quanto ela faturava por dia. Imagine o que ela respondeu?

É isso mesmo, de 35 a 40 reais em média o que dá (25 dias por mês) x 35 = 875 ou 25 x 40 = 1000, então na média R$ 937,50 e ela disse que não mendiga 8 horas por dia.

Moral da História :
É melhor ser mendigo do que estagiário (e muito menos PROFESSOR), e pelo visto, ser estagiário e professor, é pior que ser Mendigo...

Se esforce como mendigo e ganhe mais do que um estagiário ou um professor.

Estude a vida toda e peça esmolas; é mais fácil e melhor que arrumar emprego.

E lembre-se:
Mendigo não paga 1/3 do que ganha pra sustentar um bando de ladrão.

Viva a Matemática!

Que país é esse?

Profissão de Professor

Ser professor, de escola pública ou particular, é uma árdua tarefa. As cobranças são muitas, as críticas são constantes, e o q é mais sério é saber q a sociedade mudou e atingiu um nível de banalização da educação, como nunca se viu, e quando me refiro à educação ñ estou falando simplesmente no sentido do que é aprendido nas escolas, falo de valores morais e humanos, principalmente o respeito, a dignidade e o amor ao próximo que não dependem da situação social do indivíduo, seja rico ou pobre, pois estes se aprendem em casa. Diante disso, percebo a cada dia que a angústia de nós professores surge não apenas pelos baixos salários ou pela falta de políticas governamentais que façam da educação algo primordial, mas talvez se justifique pela forma como, muitas vezes, somos tratados dentro das salas de aula. Quantas barbáries vemos e ouvimos de nossos educandos, que por ignorância acham q somos uma máquina que deve suportar sempre com muito bom humor as suas atrocidades. Creio que nossos alunos refletem uma sociedade alterada pelo consumismo exacerbado e pela liberdade sem limites que muitas famílias adotam.
Em conversa com certo amigo pude notar que por mais que não se queira assumir ou se pretenda desvalorizar a sua importância, temos certeza de que há um problema grave nas escolas ligado ao controle dos alunos, designadamente nas próprias salas de aulas, pois se nas aulas não conseguirmos criar as condições necessárias a que se favoreça a aprendizagem, o resultado é líquido e certo: frustração para professor e aluno.
O certo é que queremos ser valorizados pelo que somos e fazemos, pois abraçamos a causa com louvor e merecemos ao menos um "OBRIGADO PROFESSOR", simples e sincero, afinal, o advogado é chamado de doutor, o Engenheiro é muito bem remunerado, e há de se Lembrar que todos passaram pelas mãos "calejadas" do professor. E termino por me questionar: o que seria da sociedade se os professores se extinguissem?

Lei de Murphy

A famosa lei de Murphy diz o seguinte:
"Se alguma coisa pode dar errado, dará. E mais, dará errado da pior maneira, no pior momento e de modo que cause o maior dano possível. E se algo pode dar certo , tem grandes chances de dar errado."

puts, acho q isso sempre acontece com todo mundo, em algum momento vc já deve ter estado diante de uma situação como essa.
Imagina q vc vai fazer um trabalho ou uma obra, realizar uma tarefa e vc tem diversas maneiras de fazê-la, e é então q vc se depara com a questão: pode dar certo ou errado. Então é aí q aparece a irritante Lei de Murphy, pq probabilisticamente vc escolherá a maneira q resultará em algo desastroso.

Algumas variantes...

1. Nada é tão fácil quanto parece.

2. Tudo leva mais tempo do que se pensa.

3. Se há possibilidade de várias coisas darem errado, dará errado a que causar mais prejuízo.

4. Se você perceber que há quatro maneiras de uma coisa dar errado, e driblar as quatro, uma quinta maneira surgirá do nada.

5. Deixadas à sua sorte, a tendência das coisas é ir de mal a pior.

6. Toda vez que você decide fazer alguma coisa, tem sempre outra coisa pra ser feita antes.

7. Toda solução cria novos problemas.

8. É impossível fazer qualquer coisa à prova de erros - os idiotas são muito inventivos.

9. A natureza está sempre a favor da falha.

10. A natureza é fogo.

A cruel filosofia de Murphy: Sorria ... pois manhã será pior.
E não e q eu seja pessimista, mas acredito sim que de fato tudo isso tem um "q" de verdade...

Greve dos Profissionais da Educação - Pará

Achei importante fazer alguns esclarecimentos sobre nossos motivos para deflagrar a greve.

A greve dos professores da rede estadual do Pará completa hoje mais de 7 dias. Porém, ainda há muitos comentários por aí de pessoas que desconhecem os direitos e deveres dos trabalhadores previstos em lei e na Constituição, e disparam barbáries sobre os motivos pelos quais os professores estão fazendo a greve.
Há de se explicar que na nossa pauta de greve não estamos lutando unicamente por reajuste salarial, apesar de se admitir que essa é uma das principais exigências, frisamos que queremos que se cumpra pelo menos o que está previsto em lei, ou seja, que cumpram um direito adquirido. Os professores reivindicam: melhores condições de trabalho, Plano de cargos Carreira e Remuneração da categoria, melhores estruturas das escolas, capacitação profissional, auxílio alimentação de R$ 300,00, dentre outros.
O Estado não paga salários dignos a nenhum servidor da educação. Existem deigualdades imensas entre as secretarias do goveno. Por exemplo, o Detran paga R$ 800,00 de ticket, a SEFA R$ 1.000,00, a ADEPARÁ R$ 250,00 a R$ 600,00 entre outras, mas só a seduc é mal paga, pois há pouco tempo começamos a receber R$ 100,00 de auxílio alimentação, o que já é uma conquista, mas não nos deixa satisfeitos.
Diante de tudo, não entendemos o porquê de muitos colegas não abraçarem a causa, pois lutamos por um bem comum, mas sabe-se lá quais são seus motivos. Apesar de tudo compreendemos que cada um tem liberdade de escolha e até de sentenciar, no entanto, que tenha um mínimo de respeito com a maioria, ou então olharemos para os lados e pensaremos: "que espécie de democracia é essa?" ou "que tipo de aluno queremos formar: cidadão crítico ou alienado a um sistema?". Eis a questão.
A greve é justa apesar de estar em termos, prejudicando os alunos, mas infelizmente somos conscientes de que a única forma de conseguir alguma coisa nesta "Terra de Direitos" é fazendo mobilização e pressão sobre o governo.
Não somos vilões, nem ociosos, estamos dentro dos parâmetros legais. Não dá para ficarmos de braços cruzados esperando as coisas acontecerem. Somos trabalhadores e temos esse direito.

DIREITOS DOS TRABALHADORES

LEI N. 7.783, DE 28 DE JUNHO DE 1989

Dispõe sobre o exercício do direito de greve, define as atividades essenciais, regula o atendimento das necessidades inadiáveis da comunidade, e dá outras providências.

O Presidente da República:
Faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a seguinte Lei:

Artigo 1º - É assegurado o direito de greve, competindo aos trabalhadores decidir sobre a
oportunidade de exercê-lo e sobre os interesses que devam por meio dele defender.

Parágrafo único - O direito de greve será exercido na forma estabelecida nesta Lei.

O novo ensino de Matemática!

Realmente é uma piada o q está acontecendo...

Vejamos a história do Ensino da Matemática

Ensino de 1960
Um camponês vende um saco de batatas por 100 francos. As suas despesas de produção elevam-se a 4/5 do preço de venda. Qual é o seu lucro?

Ensino tradicional de 1970
Um camponês vende um saco de batatas por 100 francos. As suas despesas de produção elevam-se a 4/5 do preço de venda, ou seja, 80 francos. Qual é o seu lucro?

Ensino moderno de 1970
Um camponês troca um conjunto B de batatas por um conjunto M de moedas. O cardinal do conjunto M é igual a 100 e cada elemento de M vale um franco. Desenha 100 pontos que representem os elementos do conjunto M. O conjunto C dos custos de produção compreende menos 20 pontos que o conjunto M. Representa o conjunto C como um subconjunto M e responde à seguinte pergunta: Qual é o cardinal do conjunto L? (Escreva-o a vermelho).

Ensino renovado de 1980
Um agricultor vende um saco debatatas por 100 francos. Os custos de produção elevam-se a 80 francos e o lucro é de 20 francos. Trabalho a realizar: sublinha a palavra «batatas» e discute-a com teu colega de carteira.

Ensino politicamente correto de 1990
Um agricultor desmata a terra para plantar batatas, e lucra 20 francos. Você acha correto ganhar dinheiro deste modo? Tema de debate em classe: como se sentiram os pássaros e as outras árvores?

Ensino reformado de 2000
Um kampunes kapitalista privilijiado enriquesse injustamente em 20 francos num çaco de batatas, analiza o testo e procura os erros de kontiudo de gramatica, de ortografia, de pontuassão e em ceguida dis o que penças desta maneira de enriquesser."

A PEDRA

Para refletir...

A PEDRA

"O distraído nela tropeçou...
O bruto a usou como projétil.
O empreendedor, usando-a, construiu.
O camponês, cansado da lida, dela fez assento.
Para meninos, foi brinquedo.
Drummond a poetizou.
Já, David matou Golias, e Michelangelo extraiu-lhe a mais bela escultura...
E em todos esses casos, a diferença não esteve na pedra, mas no Homem!
Não existe 'pedra' no seu caminho que você não possa aproveitá-la para o seu próprio crescimento."

O ACORDO ORTOGRÁFICO E A MATEMÁTICA

Fique ligado! A grafia de alguns termos matemáticos também mudou.

O novo acordo ortográfico da Língua Portuguesa também modificou a grafia de algumas palavras próprias das ciências exatas. Para facilitar a sua vida, vamos registrar aqui algumas palavras que foram afetadas pelas mudanças.

Entre as que perderam o trema, há várias palavras relacionadas ao número cinco: cinquenta, quinquênio, cinquentenário, quinquagésimo, quingentésimo.

O prefixo “equi”, que indica igualdade, também deixou de lado o trema, em palavras em que ele era obrigatório, ou não: equilátero, equidistante, equiângulo, equipotente.

A palavra consequente(em oposição a antecedente) também passa a ser escrita sem o sinal gráfico sobre o u.

Assim como ideia, as palavras geoide, romboide e trapezoide passam a ser grafadas sem acento.

No que se refere ao uso do hífen, a mudança mais interessante ocorre com cosseno, cotangente e cossecante. Antes da reforma, o uso do hífen nessas palavras era opcional. Podíamos encontrar em alguns livros as grafias “co-seno”, “co-tangente” e “co-secante”. A nova regra acaba com a duplicidade, assim como mantém a grafia de coordenadas.

Os prefixos multiplicadores continuam não pedindo hífen. Continuaremos a escrever bissetriz, quilômetro, hectolitro, etc. Outras palavras prefixadas cuja grafia não é modificada são: isométrico, submúltiplo e ortocentro.

Por fim, fica registrado que as geometrias não euclideanas passam a ser nomeadas exatamente assim, sem hífen.

Você consegue explicar isto?

Um pouco de lógica matemática...

Emprestei certa vez a quantia de 100 reais, a dois amigos, sendo 50 a Paulo e outros 50 a Pedro. Paulo pagou a dívida em quatro parcelas, do seguinte modo: 20, 15, 10 e 5. Assim:

Pagou 20, ficou devendo 30
Pagou 15, ficou devendo 15
Pagou 10, ficou devendo 5
Pagou 5, ficou devendo 0
Soma 50 Soma 50

Repare, que tanto a soma das quantias pagas como a dos saldos devedores são iguais a 50.

Ja o Pedro pagou, igualmente os 50 reais em quatro prestações, do seguinte modo:

Pagou 20, ficou devendo 30
Pagou 18, ficou devendo 12
Pagou 3, ficou devendo 9
Pagou 9, ficou devendo 0
Soma 50 Soma 51

Como se explica isso?

DESAFIOS - Enigmas

A partir de hoje vou postar desafios e enigmas...

PRIMEIRO:
Quem come mais?

O Paulo come mais do que o Raúl. O Pedro come menos que o José, mas este, comendo mais do que o Raúl, come menos que o Paulo. Quem come mais?

E o Tempo....mais uma Vez

O tempo é relativo. Foi Einstein quem falou isso? acredito q sim, Agora me aproprio da afirmação.
O tempo é relativo em diversas situações: quando percebemos que vivemos anos que chegam a parecer minutos, dias que parecem anos ou meses que parecem… bom, que parecem meses, mesmo.

O tempo é relativo quando você percebe que ele é sempre intenso. Quando você erra com intensidade, acerta com intensidade e vive com intensidade. Quando você olha no espelho e apesar dos receios, das dúvidas e das incertezas ainda sorri e vê que a intensidade dos fatos atropelam os próprios fatos.

O tempo é relativo e quase sempre o seu tempo não corre no mesmo ritmo de quem está ao seu lado, perto ou longe.

O tempo é relativo, mas o aprendizado que ele traz é definitivo. É certo.

FILTRO SOLAR

Este Vídeo é muito bom. Recebi de um aluno.
Use Filtro Solar, os benefícios a longo prazo são indiscutíveis...

Planilha para Planejamento Financeiro

Criei um planilha para o planejamento dos gastos durante todos os meses do ano.
É uma ótima estratégia de controle financeiro p/ quem quer se organizar e evitar gastos desnecessários.

Para Baixar, basta seguir o link:
http://geocities.yahoo.com.br/jonasmatematic/PlanilhaControlesdeGastos.xls


Obs:
Para os meus alunos, o mês de janeiro está preenchido com valores fictícios, coloque outros e acrescente alguma outra despesa q achar necessário nos outros itens.

Ano Letivo

Começou o ano letivo,
Com as forças renovadas, iniciamos mais uma etapa cheia de desafios, projetos e ambições que como sempre com muito empenho e dedicação serão vencidos.

O intuito deste ano é ser diferente e arrojado, enfrentando com coragem os desafio que a cada dia se constroem, solucionando-os com grande presteza.

A todos os meus alunos espero que encarem a realidade sem medo: Vibremos juntos, lutemos juntos e sejamos acima de tudo Felizes!!!! \o/

FORMAS

Apreciando as diversas formas




O que me encanta é a riqueza de detalhes


Dão vida às imagens.

Encontrando Inspiração

Não havia mais postado, diria não por falta de tempo, pois q é o tempo?
Diria talvez, por falta de inspiração, e então ocupando-me com outros assuntos.

E é justamente sobre inspiração q agora comento.
Pois quando dela há falta, busquemos na leitura uma fonte,
No silêncio, a resposta
No vazio, o conteúdo
Nas imagens, a riqueza de detalhes
No fim do túnel, uma Luz!
Na solidão, a observação
Na crença, a inspiração divina!!!!

Então a inspiração está por toda parte, à nossa volta,
busquemos e a encontraremos.

Ano Internacional da Astronomia

Ano de 2009 foi considerado como o Ano Internacional da Astronomia.

Como admirador da Astronomia e um aficionado pela imensidão do universo e seus mistérios me dispus a publicar este post, já q poucos têm tempo p/ isso por desconhecerem a importância dessa ciência.

Neste ano comemora-se 400 anos das primeiras observações de Galileu com sua luneta e 200 anos do nascimento de Charles Darwin.

No ano de 1609 Galileu recebeu um manuscrito descrevendo um instrumento que permitia enxergar objetos distantes como se estivessem próximos. Ele construiu o seu próprio instrumento e revolucionou a maneira que entendemos o universo. As observações de Galileu foram relatadas no Livro "O mensageiro das Estrelas" , publicado em 1610. Com esse trabalho defendeu-se o modelo Heliocêntrico (o sol no centro do sistema solar).

Duas primeiras lunetas de Galileu, Museu de Física e
História Natural de Florença