Vou resolver uma questão envolvendo logarítmos da Universidade do Estado do Pará (UEPA), do processo seletivo 2010.
Essa questão é resolvida aplicando as propriedades dos logaritmos.
Do expoente 1/n
Do produto
Como os logaritmos tem mesma base, podemos fazer:
Logo, ![clip_image012[6]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6vMB-C-aw0VoHxLez2WSNMuoZ5s4Kq_89RlVNcuB0QxsiJUgKrOAAqfiLua0rN0Y753IPVAA-3sMlJ8tg27BpsyEey7ioR43_IZ8VYeThZLizJiIZMBwXCEMRWeSXg7qNMSKWBTBEuHY/s1600-h/clip_image012%5B6%5D%5B3%5D.png "clip_image012[6]"){kind=small}
Letra d)
Quero situar teu corpo num plano tridimensional
Encontrar tuas curvas numa definição de integral
Derivar essa saudade que é uma constante na área do meu coração
Nessa pirâmide eqüilátera que se transformou nossa vida
Quero encontrar um lugar comum, só assim poderei estar a tua altura extraindo a raiz quadrada do lado dessa angústia adicionada ao apótema do vício que sinto por ti.
Assim ao término dessa complexa equação finalmente poderei encontrar a área total desse sentimento que transborda o volume da minha sanidade!
(Os devidos créditos a Rossana Monteiro)
Millôr Fernandes
Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.
Vou responder a uma dúvida enviada por um estudante, que me pediu para resolver um problema de Física:
“UM CORPO É LANÇADO DE UMA ALTURA DE 125m. DETERMINE O TEMPO QUE ELE GASTA PARA ATINGIR O SOLO E A VELOCIDADE COM QUE ATINGE. CONSIDERE g = 10m/s2”
Muito bem, vou tentar explicar-lhe da forma mais clara que puder.
Veja bem, trata-se de um lançamento vertical para Baixo e, neste caso, assim como no lançamento para Cima, usamos duas Fórmulazinhas básicas da FÍSICA (as do Movimento Uniformemente Variado):
DA VELOCIDADE:
V = V0 + gt (V0 é Veloc. Inicial e g é aceleração da gravidade)
DOS ESPAÇOS:
S = S0 + V0t + ½ gt2 (S é Espaço Final(altura) e S0 é Espaço Inicial)
Veja na figura o que está acontecendo nesse lançamento:
Veja que o Espaço Inicial e a Velocidade inicial no lançamento são ZERO. Isso porque o corpo está em repouso antes do lançamento, ok!!!!!
Então depois de ver isso, fica fácil, pois
Da Fórmula dos espaços, resta: 
S = ½ gt2
Substituindo a Altura em S e a metade da gravidade, vc obtém:
125 = 5t2
t2 = 125/5 ==> t2 = 25 ==> t = 5 segundos
Da velocidade, resta:
V = gt ( a veloc inicial não aparece, pois vale zero)
Substituindo o tempo de 5 s encontrado e a gravidade:
V = 10.5 = 50 m/s
Prontinho. O corpo atingiu o solo em 5 segundos e com velocidade de 50 m/s.
Derivada da Função Exponencial
Da definição de derivada:
Já foi demonstrado aqui neste blog que:
Portanto:
Está provado que
C.q. d.!!
Generalizando:
Quando ax = ex, temos:
f’(x) = ex.ln e = ex .1 = ex
DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aplicando a propriedade da diferença de logaritmos:
O limite Fundamental:
Portanto, temos:
Invertendo o logaritmo, obtemos:
![clip_image002[28]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgT2qYCraNzi7hLCpmbfPRDO-mfU9ZuwNLtTJjy5izCpxVsuQSDFhAoq1AIwOzTwlsPs0yq0Tx5-1ckM1P4NlKqckOkwf8ztDjGOFQoEnoQzteIp0MJAhqWshBP3sZ8PhBsO5GA5swYWZA/s1600-h/clip_image002%5B28%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[28]"){kind=small}
Está provado que:
C.q.d!!!
Generalizando:
Segue o mesmo raciocínio anterior, resultando:
Logo:
Derivada do Quociente
Vamos chamar f(x) = y, h(x) = u e g(x) = z.
Temos a função![clip_image002[31]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9kBpVa7o72lm_K4Ool-UTfFgv8jxAF_qRcoUVOn9JjA4YfERAzDvFWrJwNVy6nOvzyxpfjlfNL8muSvKeuWWtCfVmyVB__aGC82Rh9qu-yAYC45gcXPq4pv5HoWGLcN4wgMExQOC7-B0/s1600-h/clip_image002%5B31%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[31]"){kind=small}
Da definição de derivada, temos:
Fazendo uma análise em zΔz: Δx -->0, Δz-->0, então zΔz = 0
Restando:
Logo, está provado que:
Como Queríamos Demonstrar!!
Existe outra forma mais simples de demonstrar essa derivada. Um exemplo pode ser encontrado no blog “O Baricentro da Mente” http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/07/demonstracao-da-derivada-da-funcao_18.html
Derivada da Potência
f(x) = xn
Provar que f’(x) = n.xn-1
Da definição de derivada:
Para esta demonstração vamos utilizar o Binômio de Newton:
Eliminamos os simétricos xn e colocamos Δx em evidência e também o eliminamos, restando:
Substituindo a tendência Δx, resulta:
Logo, f’(x) = n.xn-1
Como queríamos demonstrar.
Fundamentação matemática • Definição de derivada • Incrementos
Considere duas funções diferenciáveis, \(h\) e \(g\), e uma terceira função \(f\), definida pelo produto:
\[ f(x)=h(x)\cdot g(x) \]Desejamos determinar a expressão de \(f'(x)\), isto é, a derivada do produto dessas duas funções.
Observe que a derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas. É necessário somar dois produtos: a derivada da primeira função pela segunda função, mais a primeira função pela derivada da segunda.
A derivada de uma função \(f\), em um ponto \(x\), é definida pelo limite:
\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} } \]O símbolo \(\Delta x\) representa um incremento na variável independente.
Para as funções \(h\) e \(g\), podemos escrever:
\[ \Delta h=h(x+\Delta x)-h(x) \] \[ \Delta g=g(x+\Delta x)-g(x) \]Assim:
\[ h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h \] \[ g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g \]Essas relações serão fundamentais para a demonstração.
Vamos desenvolver a demonstração seguindo a abordagem clássica dos incrementos, utilizada na publicação original de 2010.
Consideremos:
\[ y=f(x)=h(x)g(x) \]Quando \(x\) sofre um incremento \(\Delta x\), a função também sofre um incremento \(\Delta y\). Portanto:
\[ y+\Delta y=f(x+\Delta x) \]Como \(f(x)=h(x)g(x)\), temos:
\[ y+\Delta y= h(x+\Delta x)g(x+\Delta x) \]Utilizando as relações dos incrementos:
\[ y+\Delta y= [h(x)+\Delta h][g(x)+\Delta g] \]Como queríamos demonstrar.
Este é um dos detalhes mais importantes da demonstração e merece atenção especial.
Na expressão:
\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]quando \(\Delta x\to0\), temos:
\[ \Delta g\to0 \]Por outro lado, como \(h\) é diferenciável:
\[ \frac{\Delta h}{\Delta x}\to h'(x) \]Consequentemente, pelo teorema do limite do produto:
\[ \lim_{\Delta x\to0} \left( \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \right) =0\cdot h'(x)=0 \]Podemos chegar ao mesmo resultado utilizando uma reorganização algébrica do quociente incremental.
Partimos de:
\[ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-h(x)g(x)} {\Delta x} \]Somamos e subtraímos o termo \(h(x+\Delta x)g(x)\) no numerador:
\[ \begin{aligned} f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \Bigg[ &h(x+\Delta x) \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x) \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \Bigg] \end{aligned} \]Agora, aplicando as propriedades dos limites:
\[ \begin{aligned} f'(x)={}& h(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \end{aligned} \]Reconhecendo as definições das derivadas:
\[ \boxed{ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) } \]Obtivemos novamente a regra do produto, agora por uma reorganização direta do quociente incremental.
Determine a derivada de:
\[ f(x)=(x^2+3)(2x-1) \]Identificamos:
\[ h(x)=x^2+3 \qquad g(x)=2x-1 \]Suas derivadas são:
\[ h'(x)=2x \qquad g'(x)=2 \]Aplicando a regra do produto:
\[ f'(x)=2x(2x-1)+(x^2+3)\cdot2 \] \[ f'(x)=4x^2-2x+2x^2+6 \]Determine a derivada de:
\[ f(x)=x^2\sen x \]Temos:
\[ h(x)=x^2,\qquad g(x)=\sen x \] \[ h'(x)=2x,\qquad g'(x)=\cos x \]Aplicando a regra:
\[ f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x \]Pela regra do produto:
\[ f'(x)=e^x(x^3+1)+e^x(3x^2) \] \[ \boxed{f'(x)=e^x(x^3+3x^2+1)} \]A regra do produto possui uma interpretação interessante quando pensamos nas variações simultâneas de duas grandezas.
Considere a área de um retângulo:
\[ A=b\cdot h \]em que \(b\) representa a base e \(h\) representa a altura.
Se a base e a altura variam com o tempo, a área também varia. Derivando em relação ao tempo:
\[ \frac{dA}{dt} = h\frac{db}{dt} + b\frac{dh}{dt} \]Isso significa que a taxa de variação da área depende de duas contribuições:
Essa interpretação mostra que a regra do produto não é apenas uma manipulação algébrica: ela expressa matematicamente como a variação de duas grandezas influencia o produto entre elas.
Erro 1: afirmar que a derivada do produto é o produto das derivadas.
\[ (hg)'\neq h'g' \]Erro 2: esquecer que uma das funções permanece sem derivar em cada parcela.
Erro 3: eliminar o termo \(\Delta h\Delta g/\Delta x\) sem justificar a passagem ao limite.
Erro 4: confundir a regra do produto com a regra da soma.
Resolva os exercícios e confira as respostas depois de tentar desenvolver cada demonstração.
Determine a derivada de:
\[ f(x)=(x^2+1)(x+3) \]Determine a derivada de:
\[ f(x)=x\cos x \]Sabendo que \(h(2)=5\), \(g(2)=3\), \(h'(2)=4\) e \(g'(2)=-2\), determine a derivada de \(f(x)=h(x)g(x)\) em \(x=2\).
Explique por que, na demonstração pelo método dos incrementos, o termo
\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]tende a zero quando \(\Delta x\to0\).
Porque a continuidade de \(g\), garantida por sua diferenciabilidade, implica \(\Delta g\to0\), enquanto a diferenciabilidade de \(h\) implica que \(\Delta h/\Delta x\to h'(x)\), um limite finito. Portanto, o produto tende a zero.
A regra do produto é uma das ferramentas fundamentais do Cálculo Diferencial. Sua demonstração evidencia a importância da definição de derivada e das propriedades dos limites.
Mais do que memorizar:
\[ (uv)'=u'v+uv' \]é importante compreender por que essa igualdade é verdadeira.
A matemática ganha profundidade quando deixamos de apenas aplicar fórmulas e passamos a investigar a origem dos resultados.
Demonstrações – Derivadas III: Demonstração da regra do quociente.
Na próxima publicação, demonstraremos como derivar o quociente de duas funções diferenciáveis, novamente partindo da definição de derivada.
Série de demonstrações matemáticas | Regra da soma
Antes de demonstrar a propriedade, precisamos recordar a definição de derivada de uma função em um ponto.
Seja \(f\) uma função definida em uma vizinhança de \(x\). A derivada de \(f\) no ponto \(x\), quando existe, é definida por:
Nessa expressão:
Geometricamente, a derivada representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto considerado.
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em um ponto \(x\). Definimos uma terceira função:
\[ F(x)=f(x)+g(x) \]Queremos demonstrar que a derivada dessa soma é igual à soma das derivadas das funções.
Em outras palavras, a derivação é uma operação linear em relação à adição de funções.
Hipótese: consideremos \(f\) e \(g\) deriváveis no ponto \(x\).
Pela definição de derivada, temos:
CQD — Como queríamos demonstrar.
Observe que não utilizamos previamente a regra da derivada da soma. Partimos exclusivamente da definição de derivada e das propriedades dos limites. Assim, a propriedade foi efetivamente demonstrada.
Vamos utilizar o resultado demonstrado para calcular a derivada da função:
\[ F(x)=x^2+3x-5 \]Podemos separar a função em duas parcelas:
\[ f(x)=x^2 \qquad g(x)=3x-5 \]Pela regra da soma:
\[ F'(x)=f'(x)+g'(x) \]Calculando as derivadas:
\[ f'(x)=2x \] \[ g'(x)=3 \]Logo:
A regra demonstrada permite derivar cada parcela separadamente, simplificando consideravelmente os cálculos.
A derivada representa a taxa instantânea de variação de uma função. Quando somamos duas funções, suas taxas instantâneas de variação também se somam.
Considere:
\[ F(x)=f(x)+g(x) \]Se, em determinado ponto, temos:
\[ f'(x)=4 \qquad g'(x)=3 \]então:
\[ F'(x)=4+3=7 \]Isso significa que, naquele ponto, a taxa instantânea de variação da função resultante é 7.
Imagine que a posição de um móvel seja descrita pela função:
\[ s(t)=t^2+3t+5 \]A posição foi construída pela soma de três parcelas. A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em relação ao tempo:
\[ v(t)=s'(t) \]Aplicando a regra da soma:
\[ v(t)=2t+3 \]No instante \(t=2\), temos:
\[ v(2)=2(2)+3=7 \]Portanto, a velocidade instantânea nesse instante é \(7\) unidades de comprimento por unidade de tempo.
Agora é sua vez! Resolva as questões e confira as respostas somente depois de tentar.
Se \(F(x)=f(x)+g(x)\), sendo ambas deriváveis, qual expressão representa corretamente a derivada de \(F\)?
A) \(f'(x)\cdot g'(x)\)
B) \(f'(x)+g'(x)\)
C) \(f(x)+g'(x)\)
D) \(f'(x)-g'(x)\)
Alternativa B. A derivada da soma é a soma das derivadas.
Determine a derivada da função:
\[ F(x)=x^3+4x^2-2x+7 \]Derivamos cada parcela separadamente e somamos os resultados.
Se \(f'(2)=-3\) e \(g'(2)=8\), determine a derivada de \(F(x)=f(x)+g(x)\) no ponto \(x=2\).
A demonstração da derivada da soma é um exemplo de como resultados aparentemente simples do Cálculo Diferencial estão fundamentados em conceitos mais profundos.
Compreender a origem das regras de derivação permite desenvolver uma visão mais consistente do Cálculo, indo além da simples memorização de fórmulas.
Nas próximas publicações desta série, estudaremos outras propriedades, sempre partindo da definição de derivada e construindo as demonstrações com rigor matemático.
Demonstrações – Derivadas II: A demonstração da regra da diferença e da derivada de uma constante.
Exercícios de Física com resoluções comentadas
Lançamento vertical para cima e para baixo
MATEMÁTICA DO PI | Prof. Jonas Portal
A queda livre é um movimento no qual a única aceleração considerada é a aceleração da gravidade. Próximo à superfície da Terra, podemos utilizar aproximadamente g = 9,8 m/s² ou, para facilitar os cálculos, g = 10 m/s², conforme indicado em cada exercício.
Quando um corpo é lançado verticalmente para cima, sua velocidade diminui durante a subida. No ponto mais alto, a velocidade instantânea é zero. Depois, o corpo começa a descer, aumentando o módulo de sua velocidade.
Quando um corpo é abandonado, ele parte do repouso. Quando é lançado verticalmente para baixo, já possui uma velocidade inicial dirigida para baixo.
A expressão T = 2v₀/g é válida quando o corpo retorna à mesma altura de lançamento e a resistência do ar é desprezada.
Tente resolver cada exercício antes de clicar em “Ver resolução passo a passo”.
Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s², calcule:
a) O tempo gasto para atingir a altura máxima;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo;
c) O tempo gasto para retornar ao solo;
d) A velocidade ao chegar ao solo.
Dados: v₀ = 30 m/s; g = 10 m/s².
a) Tempo de subida
No ponto mais alto, v = 0. Utilizando v = v₀ − gt:
b) Altura máxima
c) Tempo total
Como o corpo retorna ao mesmo nível de lançamento:
d) Velocidade ao chegar ao solo
Desprezando o ar, o módulo da velocidade de retorno é igual ao da velocidade inicial, mas o sentido é contrário.
Um móvel é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de 40 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², calcule:
a) O tempo de subida;
b) A altura máxima atingida;
c) O tempo total para retornar ao solo;
d) A velocidade ao tocar o solo.
a) Tempo de subida
b) Altura máxima
c) Tempo total
d) Velocidade de retorno
O corpo retorna com o mesmo módulo da velocidade inicial, em sentido descendente.
Um jogador de beisebol imprime uma velocidade inicial v₀ = 30,48 m/s a uma bola, que sobe verticalmente. Que altura máxima a bola atingirá? Adote g = 9,8 m/s².
Na altura máxima, a velocidade final é zero.
Utilizamos a equação de Torricelli:
Substituindo v = 0:
Um móvel é lançado do solo verticalmente para cima e retorna ao local de lançamento após 12 segundos. Adotando g = 10 m/s², calcule:
a) A velocidade inicial do lançamento;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo.
O tempo total de voo é 12 s. Como a subida e a descida duram o mesmo tempo:
a) Velocidade inicial
b) Altura máxima
Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de 3 m/s, de uma altura de 2 m acima do solo. Determine o intervalo de tempo desde o lançamento até a pedra chegar ao solo. Adote g = 10 m/s².
Adotamos o solo como posição zero e o sentido para cima como positivo.
Dados: s₀ = 2 m; v₀ = 3 m/s; a = −10 m/s².
Usamos a equação horária da posição:
Quando a pedra chega ao solo, s = 0:
Organizando:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são:
O tempo negativo não corresponde ao intervalo posterior ao lançamento. Portanto, usamos t = 1 s.
Resposta: 1 segundo.Um corpo é abandonado em um ponto situado a 80 metros acima da superfície da Terra, numa região em que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s². Despreze a resistência do ar.
a) Quanto tempo o corpo gasta até atingir o solo?
b) Com que velocidade atinge o solo?
c) Qual é a altura do corpo 2 segundos após ser abandonado?
Como o corpo é abandonado, sua velocidade inicial é zero.
a) Tempo de queda
b) Velocidade ao atingir o solo
c) Altura após 2 segundos
Primeiro calculamos a distância percorrida:
Como a altura inicial era 80 m:
Abandona-se um corpo do alto de uma montanha de 180 metros de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², responda:
a) Qual é o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo?
b) Qual é a velocidade do corpo ao atingir o solo?
a) Tempo de queda
b) Velocidade final
Galileu, na Torre de Pisa, fez cair vários objetos pequenos, com o objetivo de estudar as leis do movimento dos corpos em queda. A respeito dessa experiência, julgue os itens, desprezando o efeito do ar.
I. A aceleração do movimento era a mesma para todos os corpos.
II. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava
ao solo no mesmo instante que o mais leve.
III. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava
ao solo com velocidade maior que o mais leve.
São corretos:
Item I — Verdadeiro.
Desprezando a resistência do ar, todos os corpos próximos à superfície da Terra apresentam a mesma aceleração gravitacional.
Item II — Verdadeiro.
Soltos simultaneamente da mesma altura e com velocidade inicial zero, os dois corpos chegam juntos ao solo no modelo ideal.
Item III — Falso.
Como a aceleração e o tempo de queda são iguais, as velocidades finais também são iguais, independentemente da massa.
Resposta: alternativa D — apenas os itens I e II.Uma cachoeira tem uma altura de 320 m. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², determine a velocidade da água na base da cachoeira, supondo que a água parte do repouso.
Dados: h = 320 m; v₀ = 0; g = 10 m/s².
Utilizamos a equação de Torricelli:
A resposta corresponde ao modelo ideal sem resistência do ar.
Um tijolo cai de um prédio em construção de uma altura de 20 m. Qual é a velocidade do tijolo ao atingir o solo? Quanto tempo gasta na queda? Adote g = 10 m/s² e considere que ele foi abandonado do repouso.
1. Tempo de queda
2. Velocidade final
Um corpo é abandonado de uma altura H e leva 7 segundos para chegar ao solo. Adotando g = 9,8 m/s², calcule H.
Como o corpo parte do repouso, usamos:
Substituindo g = 9,8 m/s² e t = 7 s:
Abandona-se uma pedra do alto de um edifício e ela atinge o solo 4 segundos depois. Adote g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar. Determine:
a) A altura do edifício;
b) O módulo da velocidade da pedra quando atinge o solo.
a) Altura do edifício
b) Módulo da velocidade final
Um corpo é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial de 15 m/s. Sabendo-se que a altura inicial era de 130 m, determine o instante em que o corpo se encontra a 80 m do solo. Adote g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar.
Passo 1 — Descobrir a distância percorrida
O corpo parte de 130 m de altura e queremos saber quando chega a 80 m.
Passo 2 — Identificar os dados
Passo 3 — Aplicar a equação horária
Substituindo os valores:
Organizando a equação:
Dividindo tudo por 5:
Passo 4 — Resolver por Bhaskara
As raízes são:
O tempo negativo não corresponde ao movimento posterior ao lançamento.
Resposta: 2 segundos.O gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele pode atingir o solo sem se machucar seja de 8 m/s. Desprezando a resistência do ar, qual é a altura máxima de queda para que o gato não ultrapasse essa velocidade?
Consideramos o corpo partindo do repouso, com velocidade final de 8 m/s.
Dados: v₀ = 0; v = 8 m/s; g = 10 m/s².
Aplicamos a equação de Torricelli:
Substituindo:
Atenção: esse é um resultado de um modelo físico idealizado, não uma garantia de que um gato sobreviverá a uma queda dessa altura. A resistência do ar, a postura do animal e outros fatores não foram considerados.
1. a) 3 s; b) 45 m; c) 6 s; d) −30 m/s.
2. a) 4 s; b) 80 m; c) 8 s; d) −40 m/s.
3. Aproximadamente 47,4 m.
4. a) 60 m/s; b) 180 m.
5. 1 s.
6. a) 4 s; b) 40 m/s para baixo; c) 60 m acima do solo.
7. a) 6 s; b) 60 m/s para baixo.
8. Alternativa D: itens I e II.
9. 80 m/s para baixo.
10. 20 m/s para baixo; 2 s.
11. 240,1 m.
12. a) 80 m; b) 40 m/s.
13. 2 s.
14. 3,2 m, no modelo idealizado.
Matemática e Física para aprender, praticar e avançar.
Prof. Jonas Portal
Desde 2010 compartilhando conhecimento.
Uma pedra cai do telhado de uma casa e percorre a altura de uma janela, colocada 19,6 m abaixo, no tempo de 0,1 segundos.
Determine a altura h da janela. Adote g = 9,8 m/s2.
Porcentagem, equações, funções, geometria, trigonometria, matrizes, combinatória, probabilidade...
Para muitos estudantes, esses conteúdos aparecem apenas como capítulos separados de um livro didático. Mas, para quem pretende dominar Matemática, preparar-se para vestibulares, ENEM, concursos, graduação, licenciatura, olimpíadas ou mestrado, existe uma necessidade maior: compreender como esses conteúdos se conectam e construir uma base realmente sólida.
É nesse contexto que a coleção Fundamentos de Matemática Elementar, tradicionalmente conhecida pela sigla FME, ocupa um lugar de destaque.
A coleção Fundamentos de Matemática Elementar, organizada por autores como Gelson Iezzi e colaboradores, reúne uma série de volumes dedicados aos principais conteúdos da Matemática do Ensino Fundamental e, principalmente, do Ensino Médio, com uma abordagem muito mais aprofundada do que aquela normalmente encontrada em um livro didático convencional.
Entre os assuntos encontrados nos diferentes volumes estão:
Isso permite que o estudante utilize a coleção não apenas como um livro para determinado ano escolar, mas como material de consulta e aprofundamento durante vários anos de sua formação.
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A massa de uma célula é aproximadamente 7×10-9 gramas. Um organismo possui cerca de 3×1011 células. A massa total desse organismo, em gramas, é:
a) 2,1×102
b) 2,1×103
c) 2,1×104
d) 2,1×105
e) 2,1×106
Passo 1:
A massa total é dada por:
(7×10-9) · (3×1011)
Passo 2:
Multiplicamos os coeficientes:
7 · 3 = 21
Passo 3:
Somamos os expoentes:
10-9 · 1011 = 102
Logo:
21×102
Passo 4:
Escrevendo em notação cientÃfica:
21×102 = 2,1×103
Resposta: letra B.
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