Artigo: O drama do ensino da matemática

Estando eu a procurar por temas interessantes na internet, encontrei este artigo no site da folha.uol (de 25/03/2003) sobre o ensino da Matemática com SUELY DRUCK (presidente da Sociedade Brasileira de Matemática) especial para a Folha de S.Paulo.É interessante notar que trata-se de um artigo feito em 2003, mas cujo conteúdo, infelizmente, ainda é uma realidade no Brasil.

 

A qualidade do ensino da matemática —assunto da reportagem de capa do último Sinapse— atingiu, talvez, o seu mais baixo nível na história educacional do país.

As avaliações não poderiam ser piores. No Provão, a média em matemática tem sido a mais baixa entre todas as áreas. O último Saeb (Sistema Nacional de Avaliacão da Educacão Básica) mostra que apenas 6% dos alunos têm o nível desejado em matemática. E a comparação internacional é alarmante. No Pisa (Program for International Student Assessment) de 2001, ficamos em último lugar.

Resultados tão desastrosos mostram muito mais do que a má formação de uma geração de professores e estudantes: evidenciam o pouco valor dado ao conhecimento matemático e a ignorância em que se encontra a esmagadora maioria da população no que tange à matemática. Não é por acaso que o Brasil conta com enormes contingentes de pessoas privadas de cidadania por não entenderem fatos simples do seu próprio cotidiano, como juros, gráficos, etc. —os analfabetos numéricos—, conforme atesta o recente relatório Inaf sobre o analfabetismo matemático de nossa população.

Diante dessa situação, encontramos o discurso —tão frequente quanto simplista— de que falta boa didática aos professores de matemática. Todavia, pouco se menciona que o conhecimento do conteúdo a ser transmitido precede qualquer discussão acerca da metodologia de ensino.

Abordar a questão do ensino da matemática somente do ponto de vista pedagógico é um erro grave. É necessário encarar primordialmente as deficiências de conteúdo dos que lecionam matemática. É preciso entender as motivações dos que procuram licenciatura em matemática, a formação que a licenciatura lhes propicia e as condições de trabalho com que se deparam.
A enorme demanda por professores de matemática estimulou a proliferação de licenciaturas. Nas faculdades, há muita vaga e pouca qualidade, o que transforma as licenciaturas em cursos atraentes para os que desejam um diploma qualquer. Produz-se, assim, um grande contingente de docentes mal formados ou desmotivados. Esse grupo atua também no ensino superior, sobretudo nas licenciaturas, criando um perverso círculo vicioso.

É verdade que, nas boas universidades, temos excelentes alunos nas graduações de matemática. Porém, eles formam um grupo tão pequeno que pouco influenciam as tristes estatísticas. Predomina uma enorme evasão dos cursos, uma vez que a maioria não enfrenta as dificuldades naturais dos bons cursos.

Nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil a política da supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático na formação dos professores. Comprovamos, agora, os efeitos danosos dessa política sobre boa parte dos nossos professores. Sem entender o conteúdo do que lecionam, procuram facilitar o aprendizado utilizando técnicas pedagógicas e modismos de mérito questionável.

A pedagogia é ferramenta importante para auxi-liar o professor, principalmente aqueles que ensinam para crianças. O professor só pode ajudar o aluno no processo de aprendizagem se puder oferecer pontos de vista distintos sobre um mesmo assunto, suas relações com outros conteúdos já tratados e suas possíveis aplicações. Isso só é possível se o professor tiver um bom domínio do conteúdo a ser ensinado. A preocupação exagerada com as técnicas de ensino na formação dos professores afastou-os da comunidade matemática.
Além disso, eles se deparam com a exigência da moda: a contextualização. Se muitos de nossos professores não possuem o conhecimento matemático necessário para discernir o que existe de matemática interessante em determinadas situações concretas, aqueles que lhes cobram a contextualização possuem menos ainda. Forma-se, então, o pano de fundo propício ao surgimento de inacreditáveis tentativas didático-pedagógicas de construir modelos matemáticos para o que não pode ser assim modelado.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do MEC são erradamente interpretados como se a matemática só pudesse ser tratada no âmbito de situações concretas do dia-a-dia, reduzindo-a a uma sequência desconexa de exemplos o mais das vezes inadequados. Um professor de ensino médio relatou que, em sua escola, existe a "matemática junina", enquanto outro contou ter sido obrigado a dar contexto matemático a trechos de um poema religioso. Certamente, esses não são exemplos de uma contextualização criativa e inteligente que pode, em muito, ajudar nossos alunos. Lamentavelmente, esses tipos de exemplo proliferam em nossas escolas.

O bom treinamento em matemática é efetuado, necessariamente, com ênfase no argumento lógico, oposto ao autoritário, na distinção de casos, na crítica dos resultados obtidos em comparação com os dados iniciais do problema e no constante direcionamento para o pensamento independente. Esses hábitos são indispensáveis em qualquer área do conhecimento e permitem a formação de profissionais criativos e autoconfiantes —e a matemática é um campo ideal para o seu exercício.

O Brasil tem condições de mudar o quadro lastimável em que se encontra o ensino da matemática. Com satisfação, notamos um movimento importante de nossos professores em busca de aperfeiçoamento. Muitos estão conscientes dos problemas de sua formação e dos reflexos que ela tem dentro da sala de aula. Há uma enorme massa de professores que querem ser treinados em conteúdo. O desafio é atingir o maior número de professores no menor espaço de tempo.

Não é verdade que nossas crianças odeiam matemática, conforme prova a participação voluntária de 150 mil jovens e crianças nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 2002. Muitos mais eles poderiam ser, se os recursos fossem mais abundantes, como é o caso da Argentina, onde 1 milhão participam das Olimpíadas Argentinas de Matemática.

Iniciativas bem-sucedidas existem e apontam caminhos a seguir. Esse é o caso do fantástico programa de matemática coordenado pelo professor Valdenberg Araújo da Silva no interior de Sergipe, que tem levado crianças oriundas de famílias de baixíssima renda a conquistas importantes, como aprovação no vestibular, participação nas olimpíadas e até mesmo início do mestrado em matemática de jovens entre 15 e 17 anos.

Se medidas urgentes não forem tomadas, a situação tenderá a se agravar: há décadas estamos construindo uma sociedade de indivíduos que, ignorando o que é matemática, se mostram incapazes de cobrar das escolas o seu ensino correto ou mesmo apenas constatar as deficiências mais elementares nesse ensino.

Fonte: http://www1.folha.uol.com.br/folha/sinapse/ult1063u343.shtml

Lista de Exercícios M.U.V. - FÍSICA

1 - Qual a diferença entre o movimento uniforme  (MU)  e o movimento uniformemente variado (MUV)?

2 - A equação que representa a posição em função do tempo em um movimento uniformemente variado tem a seguinte forma:

Sabendo disso, escreva a equação horária que representa o movimento de um carrinho que saia da posição 5m com velocidade inicial de 3m/s, e que possua uma aceleração de 4m/s².

3- Sabe-se que a equação horária do movimento de um corpo é   S = 2 + 10 t + 3 t².  A posição está em metros e o tempo em segundos. Determine:

a) A posição inicial do corpo;

b) A velocidade inicial do corpo;

c) A aceleração do corpo;

d) a equação horária da velocidade;

e) A posição deste corpo no instante de tempo 2s.

4- Um móvel parte do repouso, sendo acelerado constantemente a 0,8 m/s². Que velocidade escalar é atingida após 2 min 5 s de movimento, em km/h?

5- Um ponto material obedece à função horária: s = -30 + 5 t + 5 t² (no SI), t> 0. Determine:

a) o instante em que passa pela origem;

b) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração;

c) a função horária da velocidade escalar;

d) a posição no instante 2s.

6- (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s². Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamente:

a) 6,0 m/s e 9,0m;

b) 6,0m/s e 18m;

c) 3,0 m/s e 12m;

d) 12 m/s e 35m;

e) 2,0 m/s e 12 m

7- (UFMA) Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10 m/s². A velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que deseja percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velocidade de intensidade 100 m/s é:

a) zero

b) 5,0 m/s

c) 10 m/s

d) 15 m/s

e) 20 m/s

8- É dado um movimento cuja equação horária do espaço é s = 8 – 4t+t² ( unidades do SI). A equação horária da velocidade em função do tempo é:

a) v = 8 – 4t

b) v = - 4 + 2t

c) v = -4 + 2t²

d) v = 8 + t²

e) v = 8t – 4t² + t³

9- Uma partícula em M.U.V tem a função horária das posições descrita pela fórmula S = -12-4t +t², no SI. Determine o instante em que a partícula passa pela origem das posições.

10- Um corpo em MUV obedece à função horária s = 4 -2t + 3t² (unidades no SI). Determine:

a) a equação horária da velocidade;

b) a posição no instante t = 3s;

11- Uma partícula está em movimento de modo que sua velocidade em função tempo é dada pelo gráfico abaixo:

a) qual é a velocidade inicial da partícula?

b) qual a aceleração escalar da partícula?

c) dê a equação horária da velocidade.

d) qual a distância percorrida entre os instantes t=0 e t=2s?

Exercícios – Relações Métricas e trigonométricas

1- Problemas Pitagóricos.

Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C.

O Teorema de Pitágoras, diz que “Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” (a² = b² + c²).

Os primeiros problemas que se conhecem onde esta relação é utilizada remontam ao 2º milênio a.C. e aparecem na civilização Babilônica.

O problema a seguir foi proposto de forma semelhante em 1568, pelo alemão Peter Van Halle.

Temos uma Torre de 40m de altura, na qual está apoiada uma escada separada da torre por um lago de 30m de comprimento. Pergunta-se: qual o comprimento da escada?

2- Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, representado na figura abaixo, calcule os valores desconhecidos (x, m, n e h).

3- Considerando o triângulo retângulo abaixo, podemos afirmar que o valor de x é:

a) 3  b) c) 9   d) 6   e) 1/3

 

4- O valor de y no triângulo abaixo é: a)   b)   c) d) ½   e) 4

5- Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada, em metros? a) 2 m   b) 4 m   c) 6 m   d) 8 m   e) 10 m

DESAFIO

Sr Portal desenhou um triângulo retângulo e, fazendo alguns cálculos, descobriu que as raízes da equação do 2º grau x² - 14x + 48 = 0 expressam, em centímetros, as medidas dos catetos desse triângulo. Com os valores encontrados, calculou o valor da hipotenusa e ainda o perímetro do triângulo.

Qual o valor da hipotenusa e do perímetro que o Sr Portal encontrou?

Demonstração Limite Exponencial = ao Logaritmo Natural

Veremos a demonstração do limite exponencial que resulta no Logaritmo Natural.

Devemos, de início, saber a definição:

Chamamos de Logaritmo Natural ou hiperbólico de um número real positivo b, àquele que tem como base o número e.

Usamos a notação ln b.

Veja:

Log_e5 = ln 5

Log_e1/2 = ln 1/2

Vejamos, então, o limite Fundamental:

“EXPONENCIAL MENOS 1 SOBRE O EXPOENTE”

(com a>o). O objetivo aqui é provar que, após levantar a indeterminação desse limite(que é do tipo 0/0), obtemos ln a como resultado.

Isolamos a^x:

Aplicamos agora o logaritmo neperiano aos dois membros:

ln(a^x) = ln(t + 1) => x.ln a = ln( t + 1)

Logo,

Dividindo por t, obtemos:

Como x 0 , então t 0

(como queríamos demonstrar)

Generalizando a propriedade acima, podemos ter:

e

Lista de Exercícios – Função do 1º Grau

1- A função inversa da função bijetora f:IR-{-4} e f­^-1:IR-{2}, definida por é:

a) y -1 = (x + 4)/(2x +3) b) y-1 = (x - 4)/(2x - 3) c) y -1 = (4x + 3 )/(2 - x) d) y -1 = (4x + 3 )/(x - 2) e) y -1 = (4x + 3)/(x + 2)

2- Obtenha a lei da função do 1º grau sendo dado:
a) f(-1) = 2 e f(2) = -1.

b) f(-1) = 0 e f(3)=2

3-Faça o estudo do sinal das funções do 1º grau:

a) y = 3x – 2

b) y = –2x + 1

4- Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$ 80,00, mais uma mensalidade de R$ 50,00. Nestas condições, pode-se afirmar que a função que representa os gastos de um aluno em relação aos meses de aula e o valor gasto por um aluno que nos seis primeiros meses de aula será:

a) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 530,00

b) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 380,00

c) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 380,00

d) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 530,00

e) f(x) = 50,00.x + 30,00 e R$ 380,00

5- Construa o gráfico das funções de 1º grau abaixo:

a) y = 2x-6 b) y = -2x-3 c) y = 3x+4

6- Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)).

7- (PRISE 98) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, então:

a) Y = 100x b) Y = 5x -100 c) Y = 3x -100 d) Y = 2x -100

8- Para resolver problemas de computador, foram contatados os serviços de um técnico em computação. Em seus honorários, o técnico cobra R$ 20,00 a hora trabalhada, acrescida da taxa de visita de R$ 30,00. Sabe-se que, para resolver o problema, o técnico trabalhou x horas e recebeu a quantia R(x). Então:

a) R(x) = 30x + 20 b) R(x) = 20x + 30 c) R(x) = 10x

d) R(x) = 30x – 20

9- (UEPA) Um pequeno comerciante investiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por:

a) L(x) = 300 - 8x b) L(x) = 8x + 300 c) L(x) = 8x - 300 d) L(x) = 8x e) L(x) = - 8x - 300

10- O custo total de produção de um determinado produto é representado pela função C(x) = x + 20, em que C é o custo ( em reais ) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 10 unidades

b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 3.600,00

c) O gráfico que representa essa função.

11- Uma loja no centro de São Miguel aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da maquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é:

12- Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico está representado abaixo:

13- Determine o domínio e a imagem da função representada no gráfico abaixo:

POTENCIAÇÃO - Relembrando

MATEMÁTICOS BRASILEIROS - IV

DJAIRO GUEDES DE FIGUEIREDO (1926)

Pesquisas

Problemas elípticos semilineares.
Sistemas elípticos não-lineares.
Métodos variacionais.

Títulos

Engenheiro civil - Universidade do Brasil, UB - 1956.
M.Sc. - Universidade de New York - 1958.
Ph.D. - Universidade de New York - 1961.
Livre-docente - Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ - 1963.
Professor associado - Universidade de Brasília, UnB - 1962/1967.
Professor associado - Universidade de Illinois - 1967.
Professor titular - Instituto de Matemática Pura e Aplicada, IMPA - 1968/1969.
Professor titular - UnB - 1971/1988.
Professor titular - Universidade de Illinois - 1973.
Professor titular (MS-6) - Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP - 1988/...

Biografia

Nascido em Limoeiro do Norte, Ceará. Realizou estudos de pós-graduação no Instituto Courant da Universidade de Nova Iorque, onde concluiu o mestrado e o doutorado. Foi Professor Titular da Universidade de Illinois em Chicago e da Universidade de Brasília. Desde 1988 é Professor MS-6 da UNICAMP. Pesquisa na área das Equações Diferenciais Parciais, usando técnicas provenientes da Análise Clássica, do Cálculo das Variações e da Topologia. Possui mais de 60 artigos de pesquisa publicados por revistas especializadas no exterior e no país. Escreveu alguns textos de cursos de graduação, que são utilizados em algumas escolas no país. Treze matemáticos atuantes completaram o doutoramento sob sua orientação.

Atualmente trabalha na Universidade do ABC; Em 1992 foi premiado com a Bolsa de Reconhecimento Acadêmico Zeferino Vaz pelo Conselho Universitário da UNICAMP; em 1995 foi agraciado com a Ordem Nacional do Mérito Científico na categoria Grã-Cruz; em 2000 foi admitido como Membro Titular da Academia de Ciências do Estado de São Paulo; em 2001 ganhou o prêmio Fellow, da Third World Academy of Sciences; em 2004 recebeu o título de Professor Emérito da Universidade Estadual de Campinas, e ganhou o Prêmio Doctor Honoris Causa, da Universidade Federal da Paraíba; desenvolve pesquisas em Equações Diferenciais Parciais, Equações Diferenciais Ordinárias, Análise Funcional não-Linear, Análise Matemática e Análise Funcional; já publicou mais de oitenta trabalhos em periódicos especializados, tendo contribuído também com a escrita de livros de matemática para cursos de graduação e pós-graduação; atualmente é o representante da área Matemática, Probabilidade e Estatística na CAPES; orientou várias dissertações de mestrado em Ciências (Matemática), e até o ano de 2005 orientou 21 teses de doutorado; a evolução do ensino e a consolidação da pesquisa matemática no Brasil muito devem aos esforços empregados por este matemático.

FONTE: http://www.abc.org.br/~djairo

www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/.../PO09182926115aT.doc

Vídeos Excelentes sobre LIMITES

Os MELHORES vídeos de Matemática sobre LIMITES que já encontrei.
Dando os devidos créditos da indicação dos vídeos ao meu amigo Joner.

Desafios aos Alunos do 1º Ano

Nessa última semana, de revisão e simulados para a 1ª avaliação, resolvi desafiar os alunos do 1º ano do Ensino Médio com duas questões básicas de raciocínio lógico e potências.

Apenas o aluno Ricardo Neblina do Nascimento conseguiu resolver os dois problemas de forma correta.

O primeiro é uma versão adaptada de um problema proposto por Fibonacci em Liber Abaci, 1202.

Vejamos:

 I - ESTRADA PARA ROMA

Na estrada para Roma passa um homem com 7 mulheres,

cada mulher carrega 7 sacos,

cada saco tem 7 gatos

e cada gato tem 7 gatinhos.

Quantas pernas há ao todo na estrada para Roma?

 

II – SENHA DO COFRE

A senha de um cofre na casa do Sr Portal é formada por três números que foram criptografados por ele e transformados na expressão (2²)³x2²-2²x2³-11². Descubra essa senha resolvendo a expressão.

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS

Minha experiência em concursos e como professor de Matemática, mostram que a persistência  e a dedicação  são o segredo para se obter êxito nas provas das diversas instituições elaboradoras.

Especificamente quanto à Matemática, exige-se muito mais do que dedicação, é necessário horas de estudo e com os mais diferentes materiais que se tenha à disposição. Quanto mais diversos forem os livros, as apostilas e áudios, bem mais preparado você ficará. Matemática é prática, não é bom ficar só na teoria, e o que é mais importante: estudar deve ser sempre prazeroso e nunca se tornar um “fardo grego”, como um castigo. Lembre-se: “o tempo é precioso, e estudar requer tempo e paciência, por isso, divida-o com sabedoria”.

Estou disponibilizando uma APOSTILA muito boa de Matemática. Para fazer o download é só seguir o link na imagem:

 

O Osso de Ishango

A maioria das pessoas pensa que o estudo da matemática tem suas origens no antigo Egito e na Babilônia, mas essa tese foi contestada drasticamente na década de 1950 com a descoberta de um osso de animais de pequeno porte, inscrita com as marcações que aparecem para representar números.

Esse artefato foi descoberto na pequena vila de pescadores Africano de Ishango, na fronteira do Zaire, Uganda e pelo geólogo belga Jean de Heinzelin.

O Osso de Ishango encontra-se no Museu de Ciências Naturais , em Bruxelas, e foi datado de cerca de 20.000 aC. É considerado o mais antigo artefato matemático já descoberto.

Início da Aritmética?

À primeira vista, o osso parece ser uma ferramenta de escrita. Tem 10 cm de comprimento, e no final possui um pedaço de quartzo que devia ser usado para gravuras e escrita. Uma análise mais atenta revela uma série de entalhes correndo até o lado do osso, em três colunas.

As três colunas de traços agrupados assimétricos implicam que a ferramenta era mais funcional do que decorativa. O osso de Ishango pôde ser talhado para estabelecer um sistema numérico.

Os entalhes no osso estão representados abaixo:

A coluna central começa com 3 traços e logo duplica o seu número. O mesmo processo é repetido com o número 4, que se duplica a 8 traços, e logo inverte-se o processo com o número 10, que é dividido pela metade resultando em 5 traços. Por isto chega-se à conclusão de que estes números não podem ser puramente arbitrários, senão que sugestionam algum indício de cálculos de multiplicação e divisão por 2. O osso poderia ter sido usado, portanto, como uma ferramenta para levar a cabo procedimentos matemáticos simples.

Essa visão é reforçada por olhar para o número de entalhes de cada lado da coluna central. Os números, à esquerda e à direita da coluna central, são todos números ímpares (9, 11, 13, 17, 19 e 21).  Além disso, os números na coluna da esquerda são todos números primos, sugerindo alguns conhecimentos matemáticos. Os números de cada coluna lateral somam 60, e os números da coluna central somam 48. Ambos os resultados são múltiplos de 12, mais uma vez sugerindo que já existia uma compreensão da multiplicação e divisão.

Existem vários críticos que acham que as reivindicações matemática para o osso Ishango são exagerados. Eles sugerem que, uma vez que existem apenas 4 números na coluna da esquerda do osso, pode ser uma simples coincidência que todos esses sejam Primos. O aspecto mais importante da sua argumentação é o fato de que não há nenhuma evidência do conhecimento dos números primos antes do período clássico grego, pelo menos, 10.000 anos mais tarde.

Calendário ou Calculadora?

Alexander Marshack examinou o osso de Ishango com um microscópio e concluiu que esta antiga ferramenta pode representar um calendário lunar de seis meses. Claudia Zaslavsky sugestionou que isto pode indicar que o criador do instrumento era uma mulher, pesquisando a relação entre as fases lunares com o ciclo menstrual.

^{Fonte: http://en.allexperts.com/e/i/is/ishango_bone.htm}

^{http://www.simonsingh.net/The_Ishango_Bone.html}

^{http://www.naturalsciences.be/expo/old_ishango/en/ishango/introduction.html}

SEI Empreendimentos Educacionais - PARCERIA

A InterSis Brasil e a SEI Empreendimentos Educacionais (empresas fundadas no ano de 2000 com sede em Catalão - GO, Goiânia - GO e São Paulo - SP) são organizações especializadas em Projetos Multimídia (com foco em Projetos Educacionais) e EAD, Projetos para WEB e Desenvolvimento de Softwares.

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O Jogo de Xadrez e a Matemática

A prática do Xadrez tem se tornado muito comum em todos os ambientes sociais. Para alguns, um simples  passatempo, para outros, uma forma de treino mental e ainda para os amantes das Ciências, Exatas ou não, uma maneira de despertar habilidades como Raciocínio lógico-dedutivo, concentração e elaboração de estratégias. Para mim, defino o jogo como exercício mental, altamente competivo e saudável.

Minha paixão particular pelo Xadrez me fez elaborar este artigo que faz uma estrita relação com as Ciências Exatas, em especial a Matemática.

Várias lendas sobre a origem do Xadrez podem ser encontradas facilmente na internet ou em livros, mas a que mais me interessou foi a de Sissa, um brâmane indiano, que havia criado o Jogo para curar o tédio de um certo rei.

 

Como recompensa à criação do enigmático jogo, o rei desejou recompensar o seu brilhante súdito com o que desejasse:

Então, Sissa se dirigiu ao Rei e pediu:

- Bondoso rei, desejo um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda casa, quatro (=2²) pela terceira, Oito (=2³) pela quarta, e assim por diante, dobrando o número de grãos na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos correspondentes (ou seja, 2⁶³).
O rei achou esse pedido muito modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:
_ Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava lhe conceder muitas riquezas, mas como é o que desejas, isso te darei. Então o rei ordenou aos seus subordinados que satisfizessem o pedido de Sissa.

Conclusão: O número de grãos que Sissa tinha pedido corresponde à fórmula 2⁶⁴-1 que é igual a 18.446.744.073.709.551.615
É um número monstruoso, na casa dos quintilhões.

Então, O rei descobriu, para sua consternação, que todo o trigo da Índia não era suficiente para satisfazer o pedido de Sissa. E mais, em todo o mundo conhecido na época não havia trigo suficiente para atender àquele pedido!

O valor de 2⁶⁴-1 grãos de trigo corresponde à soma da série:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... + 9.223.372.036.854.775.808.

De acordo com Jhon Wallis, matemático inglês, essa quantidade de grãos de trigo poderia encher um cubo que tivesse 9400m de aresta. Se contássemos esses grãos á razão de 5 por segundo, trabalhando dia e noite sem parar, gastaríamos nessa contagem, 1170 milhões de séculos.

(Adaptado de: TAHAN, Malba. O Homem que Calculava)

Nas séries de postagens seguintes vou publicar vários recursos matemáticos, com os quais é possível calcular esse número que corresponde à quantidade de grãos pedidos por Sissa.

Xadrez e Progressão Geométrica

Vamos inicialmente à definição:

Progressão Geométrica (P.G) é toda seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por um constante, denominado razão q da progressão geométrica.

Ex. (1, 2, 4, 8, .........) P.G infinita; razão q = 2
Para acharmos um termo qualquer de uma P.G. adota-se a seguinte fórmula: an = a₁ . q^{n - 1} , onde:
an: termo geral
a₁: primeiro termo
q: razão
n: número de termos

Portanto, no caso da lenda do xadrez fica fácil descobrir sem ter que fazer muita conta, claro que usando uma calculadora científica do quanto era grande a recompensa de Sissa, com o seguinte cálculo:
a₆₄ = 1 . 2^64-1 o que daria o mesmo valor mencionado acima para a 64^a casa do tabuleiro de xadrez.

 

E a fórmula que fornece a Soma dos termos de Uma PG, de que forma, podemos usá-la aqui?

Muito bem, consideremos q≠1 (razão da PG) e n um número inteiro positivo qualquer, temos

S = 1 + q + q² + q³ + ...+qⁿ (I)

e observemos que

qS = q + q² + q³ + q⁴ +...+qⁿ⁺¹. (II)

Portanto, subtraindo (I) de (II), obtemos

qS – S = qⁿ⁺¹ – 1, donde

Que é a fórmula da Soma que está sendo usada nos cálculos.

O Número Pi

Um post atrasado sobre o PI, que comemoramos no Dia 14 de março (3/14 na notação norte-americana), por 3,14 ser a aproximação mais conhecida de π. O auge das comemorações aconteceu à 1:59 da tarde (porque 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal).

Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que

O nome “pi”, usando a letra grega, foi introduzido pela primeira vez em 1706 por William Jones (1675-1749).

Dez mil casas decimais do Pi:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286289986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472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POEMA MATEMÁTICO

 

Fiz um calculo exato para conquistar meu amor,
Com a circunferência de um raio de emoção.
Calculei milimetradamente suas arestas,
Com o tempo de vida do meu coração

Descobri meu amor na matemática,
Numa operação somei sua virtude,
Logo diminui seus defeitos,
Multiplicando a sua personalidade

Como professor de matemática que sou,
Fiz uma conta exata, que nada sobrou.
Sua baixa verticalidade foi igualada,
Com horizontalidade do ninho do nosso amor.

Quando começamos usei a aritmética.
Com a chave do tempo fizemos um conjunto.
A soma de nossos sentimentos era o universo.
E a paixão veio forte, em progressão geométrica

Dividi comigo a sua tristeza, alegria e emoção.
Tangenciei uma perimetral na sua fonte.
Lotiei seu corpo em formas arredondadas.
Para que coubessem no meu coração.

(Zédio Alvarez)

Os Poliedros de Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452-1519) foi o  “cara” do Renascimento por excelência: Artista, Matemático, Cientista e Engenheiro. Ele era um grande amante da Geometria e muito tempo dedicado ao trabalho com figuras geométricas. Sua realização mais notável é o “poliédrico”, que são ilustrações para Luca Pacioli (frade franciscano, 1445-1509, que é conhecido por seu compêndio de matemática do século XV, “Summa de Arithmetica, Geometrica, proportioni et proportionalita” (1494) e “De divina proportione” (1509).

O termo Ycocedron Abscisus na placa título significa icosaedro truncado. Os desenhos são feitos manualmente com uma perfeição admirável.

Vejamos algumas das figuras feitas por Da Vinci, especicamente aquelas que ilustram a Esfera, Cone, Cilindro, Pirâmide e os Sólidos Platônicos.

ESFERA

TETRAEDRO

CUBO

 

OCTAEDRO

 

ICOSAEDRO

 

DODECAEDRO

PIRÂMIDE QUADRANGULAR

 

CILINDRO E CONE