Demonstrações – Derivadas II: Regra do produto

CÁLCULO DIFERENCIAL • DEMONSTRAÇÕES

Demonstrações – Derivadas II: A Regra do Produto

Fundamentação matemática • Definição de derivada • Incrementos

Como determinar a derivada de uma função que é formada pelo produto de duas outras funções? A resposta é conhecida como regra do produto, uma das propriedades fundamentais do Cálculo Diferencial. Mas de onde vem essa regra? Nesta publicação, vamos demonstrá-la matematicamente, partindo da própria definição de derivada.

ROTEIRO DE ESTUDO

1. O problema matemático
2. Relembrando a definição
3. Demonstração pelo método dos incrementos
4. Análise rigorosa da passagem ao limite
5. Uma segunda demonstração
6. Exemplos resolvidos
7. Por que a regra funciona?
8. Erros frequentes
9. Exercícios propostos
10. Referências

1. O problema matemático

Considere duas funções diferenciáveis, \(h\) e \(g\), e uma terceira função \(f\), definida pelo produto:

\[ f(x)=h(x)\cdot g(x) \]

Desejamos determinar a expressão de \(f'(x)\), isto é, a derivada do produto dessas duas funções.

REGRA DO PRODUTO \[ \boxed{ f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) } \]

Observe que a derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas. É necessário somar dois produtos: a derivada da primeira função pela segunda função, mais a primeira função pela derivada da segunda.

2. Relembrando a definição de derivada

A derivada de uma função \(f\), em um ponto \(x\), é definida pelo limite:

\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} } \]

O símbolo \(\Delta x\) representa um incremento na variável independente.

Para as funções \(h\) e \(g\), podemos escrever:

\[ \Delta h=h(x+\Delta x)-h(x) \] \[ \Delta g=g(x+\Delta x)-g(x) \]

Assim:

\[ h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h \] \[ g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g \]

Essas relações serão fundamentais para a demonstração.

3. Demonstração pelo método dos incrementos

Vamos desenvolver a demonstração seguindo a abordagem clássica dos incrementos, utilizada na publicação original de 2010.

Consideremos:

\[ y=f(x)=h(x)g(x) \]

Quando \(x\) sofre um incremento \(\Delta x\), a função também sofre um incremento \(\Delta y\). Portanto:

\[ y+\Delta y=f(x+\Delta x) \]

Como \(f(x)=h(x)g(x)\), temos:

\[ y+\Delta y= h(x+\Delta x)g(x+\Delta x) \]

Utilizando as relações dos incrementos:

\[ y+\Delta y= [h(x)+\Delta h][g(x)+\Delta g] \]

1º passo — Desenvolver o produto Aplicando a propriedade distributiva: \[ \begin{aligned} y+\Delta y={}&h(x)g(x)\\ &+h(x)\Delta g\\ &+g(x)\Delta h\\ &+\Delta h\Delta g \end{aligned} \]

2º passo — Isolar o incremento da função Sabemos que: \[ y=h(x)g(x) \] Subtraindo \(y\) dos dois lados: \[ \boxed{ \Delta y=h(x)\Delta g+ g(x)\Delta h+\Delta h\Delta g } \]

3º passo — Dividir pelo incremento da variável independente Dividindo toda a igualdade por \(\Delta x\): \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = h(x)\frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x)\frac{\Delta h}{\Delta x} + \Delta g\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

4º passo — Aplicar o limite Como as funções são diferenciáveis em \(x\), podemos considerar: \[ \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta h}{\Delta x}=h'(x) \] e \[ \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta g}{\Delta x}=g'(x) \] Além disso, a continuidade das funções diferenciáveis garante que: \[ \lim_{\Delta x\to0}\Delta g=0 \]

5º passo — Obter a expressão final Aplicando os limites: \[ \begin{aligned} f'(x)={}&h(x)g'(x)\\ &+g(x)h'(x)\\ &+0\cdot h'(x) \end{aligned} \] Portanto: \[ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) \]

DEMONSTRAÇÃO CONCLUÍDA \[ \boxed{ f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) } \]

Como queríamos demonstrar.

4. Por que o último termo desaparece?

Este é um dos detalhes mais importantes da demonstração e merece atenção especial.

Na expressão:

\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

quando \(\Delta x\to0\), temos:

\[ \Delta g\to0 \]

Por outro lado, como \(h\) é diferenciável:

\[ \frac{\Delta h}{\Delta x}\to h'(x) \]

Consequentemente, pelo teorema do limite do produto:

\[ \lim_{\Delta x\to0} \left( \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \right) =0\cdot h'(x)=0 \]

Observação matemática: Não estamos afirmando que \(\Delta g\) seja igual a zero durante os cálculos. Ele tende a zero quando \(\Delta x\) tende a zero. A existência da derivada de \(h\) garante que o outro fator possui limite finito.

5. Uma segunda demonstração: diretamente pela definição

Podemos chegar ao mesmo resultado utilizando uma reorganização algébrica do quociente incremental.

Partimos de:

\[ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-h(x)g(x)} {\Delta x} \]

Somamos e subtraímos o termo \(h(x+\Delta x)g(x)\) no numerador:

\[ \begin{aligned} f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \Bigg[ &h(x+\Delta x) \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x) \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \Bigg] \end{aligned} \]

Agora, aplicando as propriedades dos limites:

\[ \begin{aligned} f'(x)={}& h(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \end{aligned} \]

Reconhecendo as definições das derivadas:

\[ \boxed{ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) } \]

Obtivemos novamente a regra do produto, agora por uma reorganização direta do quociente incremental.

6. Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Produto de funções polinomiais

Determine a derivada de:

\[ f(x)=(x^2+3)(2x-1) \]

Identificamos:

\[ h(x)=x^2+3 \qquad g(x)=2x-1 \]

Suas derivadas são:

\[ h'(x)=2x \qquad g'(x)=2 \]

Aplicando a regra do produto:

\[ f'(x)=2x(2x-1)+(x^2+3)\cdot2 \] \[ f'(x)=4x^2-2x+2x^2+6 \]

\[ \boxed{f'(x)=6x^2-2x+6} \]

Exemplo 2 — Produto envolvendo função trigonométrica

Determine a derivada de:

\[ f(x)=x^2\sen x \]

Temos:

\[ h(x)=x^2,\qquad g(x)=\sen x \] \[ h'(x)=2x,\qquad g'(x)=\cos x \]

Aplicando a regra:

\[ f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x \]

\[ \boxed{f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x} \]

Exemplo 3 — Produto envolvendo exponencial

\[ f(x)=e^x(x^3+1) \]

Pela regra do produto:

\[ f'(x)=e^x(x^3+1)+e^x(3x^2) \] \[ \boxed{f'(x)=e^x(x^3+3x^2+1)} \]

7. Por que a regra do produto funciona?

A regra do produto possui uma interpretação interessante quando pensamos nas variações simultâneas de duas grandezas.

Considere a área de um retângulo:

\[ A=b\cdot h \]

em que \(b\) representa a base e \(h\) representa a altura.

Se a base e a altura variam com o tempo, a área também varia. Derivando em relação ao tempo:

\[ \frac{dA}{dt} = h\frac{db}{dt} + b\frac{dh}{dt} \]

Isso significa que a taxa de variação da área depende de duas contribuições:

• A variação da base, considerando a altura atual;
• A variação da altura, considerando a base atual.

Essa interpretação mostra que a regra do produto não é apenas uma manipulação algébrica: ela expressa matematicamente como a variação de duas grandezas influencia o produto entre elas.

8. Atenção aos erros mais frequentes

Erro 1: afirmar que a derivada do produto é o produto das derivadas.

\[ (hg)'\neq h'g' \]

Erro 2: esquecer que uma das funções permanece sem derivar em cada parcela.

Erro 3: eliminar o termo \(\Delta h\Delta g/\Delta x\) sem justificar a passagem ao limite.

Erro 4: confundir a regra do produto com a regra da soma.

9. Teste seus conhecimentos

Resolva os exercícios e confira as respostas depois de tentar desenvolver cada demonstração.

Questão 1 — Aplicação direta

Determine a derivada de:

\[ f(x)=(x^2+1)(x+3) \]

Ver resolução

\[ f'(x)=2x(x+3)+(x^2+1) \] \[ \boxed{f'(x)=3x^2+6x+1} \]

Questão 2 — Função trigonométrica

Determine a derivada de:

\[ f(x)=x\cos x \]

Ver resolução

\[ f'(x)=1\cdot\cos x+x(-\sen x) \] \[ \boxed{f'(x)=\cos x-x\sen x} \]

Questão 3 — Conhecendo as derivadas em um ponto

Sabendo que \(h(2)=5\), \(g(2)=3\), \(h'(2)=4\) e \(g'(2)=-2\), determine a derivada de \(f(x)=h(x)g(x)\) em \(x=2\).

Ver resolução

\[ f'(2)=h'(2)g(2)+h(2)g'(2) \] \[ f'(2)=4\cdot3+5(-2) \] \[ \boxed{f'(2)=2} \]

Questão 4 — Reflexão conceitual

Explique por que, na demonstração pelo método dos incrementos, o termo

\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

tende a zero quando \(\Delta x\to0\).

Ver resposta

Porque a continuidade de \(g\), garantida por sua diferenciabilidade, implica \(\Delta g\to0\), enquanto a diferenciabilidade de \(h\) implica que \(\Delta h/\Delta x\to h'(x)\), um limite finito. Portanto, o produto tende a zero.

10. Considerações finais

A regra do produto é uma das ferramentas fundamentais do Cálculo Diferencial. Sua demonstração evidencia a importância da definição de derivada e das propriedades dos limites.

Mais do que memorizar:

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

é importante compreender por que essa igualdade é verdadeira.

A matemática ganha profundidade quando deixamos de apenas aplicar fórmulas e passamos a investigar a origem dos resultados.

CONTINUAÇÃO DA SÉRIE

Demonstrações – Derivadas III: Demonstração da regra do quociente.

Na próxima publicação, demonstraremos como derivar o quociente de duas funções diferenciáveis, novamente partindo da definição de derivada.

11. Referências bibliográficas

1. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. Cengage Learning.
2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 1. LTC.
3. APOSTOL, Tom M. Calculus: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Volume 1. Wiley.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática, demonstrações, descobertas e conhecimento.

Professor Jonas Portal | Publicação original, revisada e ampliada.

Demonstrações – Derivadas I : Regra da Soma

CÁLCULO DIFERENCIAL • FUNDAMENTAÇÃO

Demonstrações – Derivadas I

Série de demonstrações matemáticas | Regra da soma

A derivação não é apenas um conjunto de fórmulas que devemos memorizar. Por trás de cada regra existe uma fundamentação matemática, construída a partir do conceito de limite. Nesta publicação, demonstraremos uma das propriedades fundamentais da derivação: a derivada da soma de duas funções.

Nesta publicação

1. A definição de derivada
2. O teorema da derivada da soma
3. Demonstração passo a passo
4. Exemplo resolvido
5. Interpretação geométrica
6. Aplicação prática
7. Exercícios propostos
8. Referências bibliográficas

1. Relembrando a definição de derivada

Antes de demonstrar a propriedade, precisamos recordar a definição de derivada de uma função em um ponto.

Seja \(f\) uma função definida em uma vizinhança de \(x\). A derivada de \(f\) no ponto \(x\), quando existe, é definida por:

\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} } \]

Nessa expressão:

• \(h\) representa um incremento na variável independente;
• \(f(x+h)-f(x)\) representa a variação da função;
• o quociente representa a taxa média de variação;
• o limite, quando existe, fornece a taxa instantânea de variação.

Geometricamente, a derivada representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto considerado.

2. Teorema: derivada da soma

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em um ponto \(x\). Definimos uma terceira função:

\[ F(x)=f(x)+g(x) \]

Queremos demonstrar que a derivada dessa soma é igual à soma das derivadas das funções.

TEOREMA DA DERIVADA DA SOMA \[ \boxed{ [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) } \]

Em outras palavras, a derivação é uma operação linear em relação à adição de funções.

3. Demonstração passo a passo

Hipótese: consideremos \(f\) e \(g\) deriváveis no ponto \(x\).

Pela definição de derivada, temos:

1º passo — Aplicar a definição de derivada \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \]

2º passo — Substituir a função pela sua definição Como \(F(x)=f(x)+g(x)\), então: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h} \]

3º passo — Agrupar os termos semelhantes Reorganizando o numerador: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{ [f(x+h)-f(x)]+[g(x+h)-g(x)] }{h} \]

4º passo — Separar a soma em dois quocientes Utilizando as propriedades algébricas: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right] \]

5º passo — Aplicar a propriedade do limite da soma Como os limites das duas parcelas existem, podemos escrever: \[ F'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \]

6º passo — Reconhecer as derivadas Pela própria definição de derivada: \[ \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \] e \[ \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \] Portanto:

CONCLUSÃO DA DEMONSTRAÇÃO \[ \boxed{F'(x)=f'(x)+g'(x)} \]

CQD — Como queríamos demonstrar.

Observe que não utilizamos previamente a regra da derivada da soma. Partimos exclusivamente da definição de derivada e das propriedades dos limites. Assim, a propriedade foi efetivamente demonstrada.

4. Exemplo resolvido

Vamos utilizar o resultado demonstrado para calcular a derivada da função:

\[ F(x)=x^2+3x-5 \]

Podemos separar a função em duas parcelas:

\[ f(x)=x^2 \qquad g(x)=3x-5 \]

Pela regra da soma:

\[ F'(x)=f'(x)+g'(x) \]

Calculando as derivadas:

\[ f'(x)=2x \] \[ g'(x)=3 \]

Logo:

\[ \boxed{F'(x)=2x+3} \]

A regra demonstrada permite derivar cada parcela separadamente, simplificando consideravelmente os cálculos.

5. Uma interpretação geométrica

A derivada representa a taxa instantânea de variação de uma função. Quando somamos duas funções, suas taxas instantâneas de variação também se somam.

Considere:

\[ F(x)=f(x)+g(x) \]

Se, em determinado ponto, temos:

\[ f'(x)=4 \qquad g'(x)=3 \]

então:

\[ F'(x)=4+3=7 \]

Isso significa que, naquele ponto, a taxa instantânea de variação da função resultante é 7.

Uma observação importante A regra da soma não afirma que os valores das funções sejam necessariamente positivos ou crescentes. As derivadas podem ser positivas, negativas ou nulas. A propriedade continua válida desde que as funções sejam deriváveis no ponto considerado.

6. Aplicação: movimento de um corpo

Imagine que a posição de um móvel seja descrita pela função:

\[ s(t)=t^2+3t+5 \]

A posição foi construída pela soma de três parcelas. A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em relação ao tempo:

\[ v(t)=s'(t) \]

Aplicando a regra da soma:

\[ v(t)=2t+3 \]

No instante \(t=2\), temos:

\[ v(2)=2(2)+3=7 \]

Portanto, a velocidade instantânea nesse instante é \(7\) unidades de comprimento por unidade de tempo.

7. Teste seus conhecimentos

Agora é sua vez! Resolva as questões e confira as respostas somente depois de tentar.

Questão 1 — Compreensão do teorema

Se \(F(x)=f(x)+g(x)\), sendo ambas deriváveis, qual expressão representa corretamente a derivada de \(F\)?

A) \(f'(x)\cdot g'(x)\)

B) \(f'(x)+g'(x)\)

C) \(f(x)+g'(x)\)

D) \(f'(x)-g'(x)\)

Ver resposta

Alternativa B. A derivada da soma é a soma das derivadas.

Questão 2 — Aplicação

Determine a derivada da função:

\[ F(x)=x^3+4x^2-2x+7 \]

Ver resolução

\[ F'(x)=3x^2+8x-2 \]

Derivamos cada parcela separadamente e somamos os resultados.

Questão 3 — Raciocínio matemático

Se \(f'(2)=-3\) e \(g'(2)=8\), determine a derivada de \(F(x)=f(x)+g(x)\) no ponto \(x=2\).

Ver resolução

\[ F'(2)=f'(2)+g'(2) \] \[ F'(2)=-3+8 \] \[ \boxed{F'(2)=5} \]

8. Conclusão

A demonstração da derivada da soma é um exemplo de como resultados aparentemente simples do Cálculo Diferencial estão fundamentados em conceitos mais profundos.

Compreender a origem das regras de derivação permite desenvolver uma visão mais consistente do Cálculo, indo além da simples memorização de fórmulas.

Nas próximas publicações desta série, estudaremos outras propriedades, sempre partindo da definição de derivada e construindo as demonstrações com rigor matemático.

PRÓXIMA PUBLICAÇÃO DA SÉRIE

Demonstrações – Derivadas II: A demonstração da regra da diferença e da derivada de uma constante.

9. Referências bibliográficas

1. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. Cengage Learning.
2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 1. LTC.
3. APOSTOL, Tom M. Calculus: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Volume 1. Wiley.

MATEMÁTICA DO PI

Da Educação Básica ao Ensino Superior: conceitos, demonstrações, desafios e descobertas matemáticas.

Professor Jonas Portal | Publicação revisada e ampliada.

Queda Livre dos Corpos – Exercícios de Física

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FÍSICA • ENSINO MÉDIO

Queda Livre dos Corpos

Exercícios de Física com resoluções comentadas

Lançamento vertical para cima e para baixo

MATEMÁTICA DO PI | Prof. Jonas Portal

📘 Introdução

A queda livre é um movimento no qual a única aceleração considerada é a aceleração da gravidade. Próximo à superfície da Terra, podemos utilizar aproximadamente g = 9,8 m/s² ou, para facilitar os cálculos, g = 10 m/s², conforme indicado em cada exercício.

Quando um corpo é lançado verticalmente para cima, sua velocidade diminui durante a subida. No ponto mais alto, a velocidade instantânea é zero. Depois, o corpo começa a descer, aumentando o módulo de sua velocidade.

Quando um corpo é abandonado, ele parte do repouso. Quando é lançado verticalmente para baixo, já possui uma velocidade inicial dirigida para baixo.

📌 Fórmulas fundamentais

1. Velocidade em função do tempo

v = v₀ + at

2. Posição em função do tempo

s = s₀ + v₀t + at²/2

3. Equação de Torricelli

v² = v₀² + 2aΔs

4. Altura máxima em lançamento para cima

Hmáx = v₀²/(2g)

5. Tempo de subida

ts = v₀/g

6. Tempo total de voo

T = 2v₀/g

A expressão T = 2v₀/g é válida quando o corpo retorna à mesma altura de lançamento e a resistência do ar é desprezada.

Convenção de sinais: nas questões de lançamento para cima, consideraremos o sentido vertical para cima como positivo. Assim, a aceleração da gravidade será a = −g. Nas questões de queda para baixo, utilizaremos as distâncias percorridas e o módulo da aceleração g para simplificar os cálculos.

📝 Lista de exercícios

Tente resolver cada exercício antes de clicar em “Ver resolução passo a passo”.

PARTE I — LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA

QUESTÃO 01

Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s², calcule:

a) O tempo gasto para atingir a altura máxima;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo;
c) O tempo gasto para retornar ao solo;
d) A velocidade ao chegar ao solo.

Ver resolução passo a passo

Dados: v₀ = 30 m/s; g = 10 m/s².

a) Tempo de subida

No ponto mais alto, v = 0. Utilizando v = v₀ − gt:

0 = 30 − 10t

t = 3 s

b) Altura máxima

H = v₀²/(2g)

H = 30²/(2 × 10) = 900/20

H = 45 m

c) Tempo total

Como o corpo retorna ao mesmo nível de lançamento:

T = 2 × 3 = 6 s

d) Velocidade ao chegar ao solo

Desprezando o ar, o módulo da velocidade de retorno é igual ao da velocidade inicial, mas o sentido é contrário.

v = −30 m/s

Respostas: a) 3 s; b) 45 m; c) 6 s; d) −30 m/s.

QUESTÃO 02

Um móvel é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de 40 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², calcule:

a) O tempo de subida;
b) A altura máxima atingida;
c) O tempo total para retornar ao solo;
d) A velocidade ao tocar o solo.

Ver resolução passo a passo

a) Tempo de subida

t = v₀/g = 40/10 = 4 s

b) Altura máxima

H = 40²/(2 × 10)

H = 1600/20 = 80 m

c) Tempo total

T = 2 × 4 = 8 s

d) Velocidade de retorno

O corpo retorna com o mesmo módulo da velocidade inicial, em sentido descendente.

v = −40 m/s

Respostas: a) 4 s; b) 80 m; c) 8 s; d) −40 m/s.

QUESTÃO 03

Um jogador de beisebol imprime uma velocidade inicial v₀ = 30,48 m/s a uma bola, que sobe verticalmente. Que altura máxima a bola atingirá? Adote g = 9,8 m/s².

Ver resolução passo a passo

Na altura máxima, a velocidade final é zero.

Utilizamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² − 2gH

Substituindo v = 0:

0 = 30,48² − 2 × 9,8 × H

H = 30,48²/19,6

H = 929,0304/19,6

H ≈ 47,4 m

Resposta: aproximadamente 47,4 metros.

QUESTÃO 04

Um móvel é lançado do solo verticalmente para cima e retorna ao local de lançamento após 12 segundos. Adotando g = 10 m/s², calcule:

a) A velocidade inicial do lançamento;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo.

Ver resolução passo a passo

O tempo total de voo é 12 s. Como a subida e a descida duram o mesmo tempo:

ts = 12/2 = 6 s

a) Velocidade inicial

v₀ = g × ts

v₀ = 10 × 6 = 60 m/s

b) Altura máxima

H = v₀²/(2g)

H = 60²/20 = 3600/20

H = 180 m

Respostas: a) 60 m/s; b) 180 m.

QUESTÃO 05

Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de 3 m/s, de uma altura de 2 m acima do solo. Determine o intervalo de tempo desde o lançamento até a pedra chegar ao solo. Adote g = 10 m/s².

Ver resolução passo a passo

Adotamos o solo como posição zero e o sentido para cima como positivo.

Dados: s₀ = 2 m; v₀ = 3 m/s; a = −10 m/s².

Usamos a equação horária da posição:

s = s₀ + v₀t − gt²/2

Quando a pedra chega ao solo, s = 0:

0 = 2 + 3t − 5t²

Organizando:

5t² − 3t − 2 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

t = [3 ± √(9 + 40)]/10

t = [3 ± 7]/10

As raízes são:

t₁ = 1 s; t₂ = −0,4 s

O tempo negativo não corresponde ao intervalo posterior ao lançamento. Portanto, usamos t = 1 s.

Resposta: 1 segundo.

PARTE II — QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO PARA BAIXO

QUESTÃO 06

Um corpo é abandonado em um ponto situado a 80 metros acima da superfície da Terra, numa região em que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s². Despreze a resistência do ar.

a) Quanto tempo o corpo gasta até atingir o solo?
b) Com que velocidade atinge o solo?
c) Qual é a altura do corpo 2 segundos após ser abandonado?

Ver resolução passo a passo

Como o corpo é abandonado, sua velocidade inicial é zero.

a) Tempo de queda

h = gt²/2

80 = 10t²/2

80 = 5t²

t² = 16 → t = 4 s

b) Velocidade ao atingir o solo

v = gt = 10 × 4 = 40 m/s

c) Altura após 2 segundos

Primeiro calculamos a distância percorrida:

d = 10 × 2²/2 = 20 m

Como a altura inicial era 80 m:

h = 80 − 20 = 60 m

Respostas: a) 4 s; b) 40 m/s para baixo; c) 60 m acima do solo.

QUESTÃO 07

Abandona-se um corpo do alto de uma montanha de 180 metros de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², responda:

a) Qual é o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo?
b) Qual é a velocidade do corpo ao atingir o solo?

Ver resolução passo a passo

a) Tempo de queda

h = gt²/2

180 = 5t²

t² = 36

t = 6 s

b) Velocidade final

v = gt

v = 10 × 6 = 60 m/s

Respostas: a) 6 s; b) 60 m/s para baixo.

QUESTÃO 08 • UF-MT

Galileu, na Torre de Pisa, fez cair vários objetos pequenos, com o objetivo de estudar as leis do movimento dos corpos em queda. A respeito dessa experiência, julgue os itens, desprezando o efeito do ar.

I. A aceleração do movimento era a mesma para todos os corpos.
II. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao solo no mesmo instante que o mais leve.
III. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao solo com velocidade maior que o mais leve.

São corretos:

1. Todos.
2. Apenas o item I.
3. Apenas o item II.
4. Apenas os itens I e II.
5. Apenas os itens I e III.

Ver resolução passo a passo

Item I — Verdadeiro.

Desprezando a resistência do ar, todos os corpos próximos à superfície da Terra apresentam a mesma aceleração gravitacional.

Item II — Verdadeiro.

Soltos simultaneamente da mesma altura e com velocidade inicial zero, os dois corpos chegam juntos ao solo no modelo ideal.

Item III — Falso.

Como a aceleração e o tempo de queda são iguais, as velocidades finais também são iguais, independentemente da massa.

Resposta: alternativa D — apenas os itens I e II.

QUESTÃO 09

Uma cachoeira tem uma altura de 320 m. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s², determine a velocidade da água na base da cachoeira, supondo que a água parte do repouso.

Ver resolução passo a passo

Dados: h = 320 m; v₀ = 0; g = 10 m/s².

Utilizamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2gh

v² = 0 + 2 × 10 × 320

v² = 6400

v = √6400 = 80 m/s

Resposta: 80 m/s, para baixo.

A resposta corresponde ao modelo ideal sem resistência do ar.

QUESTÃO 10

Um tijolo cai de um prédio em construção de uma altura de 20 m. Qual é a velocidade do tijolo ao atingir o solo? Quanto tempo gasta na queda? Adote g = 10 m/s² e considere que ele foi abandonado do repouso.

Ver resolução passo a passo

1. Tempo de queda

h = gt²/2

20 = 5t²

t² = 4 → t = 2 s

2. Velocidade final

v = gt

v = 10 × 2 = 20 m/s

Respostas: velocidade de 20 m/s para baixo; tempo de 2 s.

QUESTÃO 11

Um corpo é abandonado de uma altura H e leva 7 segundos para chegar ao solo. Adotando g = 9,8 m/s², calcule H.

Ver resolução passo a passo

Como o corpo parte do repouso, usamos:

H = gt²/2

Substituindo g = 9,8 m/s² e t = 7 s:

H = 9,8 × 7²/2

H = 9,8 × 49/2

H = 480,2/2

H = 240,1 m

Resposta: H = 240,1 metros.

QUESTÃO 12

Abandona-se uma pedra do alto de um edifício e ela atinge o solo 4 segundos depois. Adote g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar. Determine:

a) A altura do edifício;
b) O módulo da velocidade da pedra quando atinge o solo.

Ver resolução passo a passo

a) Altura do edifício

H = gt²/2

H = 10 × 4²/2

H = 160/2 = 80 m

b) Módulo da velocidade final

v = gt

v = 10 × 4 = 40 m/s

Respostas: a) 80 m; b) 40 m/s.

QUESTÃO 13

Um corpo é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial de 15 m/s. Sabendo-se que a altura inicial era de 130 m, determine o instante em que o corpo se encontra a 80 m do solo. Adote g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar.

Ver resolução passo a passo

Passo 1 — Descobrir a distância percorrida

O corpo parte de 130 m de altura e queremos saber quando chega a 80 m.

d = 130 − 80 = 50 m

Passo 2 — Identificar os dados

Distância percorrida: d = 50 m.

Velocidade inicial para baixo: v₀ = 15 m/s.

Aceleração: g = 10 m/s².

Passo 3 — Aplicar a equação horária

d = v₀t + gt²/2

Substituindo os valores:

50 = 15t + 5t²

Organizando a equação:

5t² + 15t − 50 = 0

Dividindo tudo por 5:

t² + 3t − 10 = 0

Passo 4 — Resolver por Bhaskara

Δ = 3² − 4 × 1 × (−10)

Δ = 9 + 40 = 49

t = (−3 ± √49)/2

t = (−3 ± 7)/2

As raízes são:

t₁ = 2 s; t₂ = −5 s

O tempo negativo não corresponde ao movimento posterior ao lançamento.

Resposta: 2 segundos.

QUESTÃO 14 • APLICAÇÃO

O gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele pode atingir o solo sem se machucar seja de 8 m/s. Desprezando a resistência do ar, qual é a altura máxima de queda para que o gato não ultrapasse essa velocidade?

Ver resolução passo a passo

Consideramos o corpo partindo do repouso, com velocidade final de 8 m/s.

Dados: v₀ = 0; v = 8 m/s; g = 10 m/s².

Aplicamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2gh

Substituindo:

8² = 0 + 2 × 10 × h

64 = 20h

h = 64/20 = 3,2 m

Resposta matemática: 3,2 metros.

Atenção: esse é um resultado de um modelo físico idealizado, não uma garantia de que um gato sobreviverá a uma queda dessa altura. A resistência do ar, a postura do animal e outros fatores não foram considerados.

🎯 Gabarito geral

1. a) 3 s; b) 45 m; c) 6 s; d) −30 m/s.

2. a) 4 s; b) 80 m; c) 8 s; d) −40 m/s.

3. Aproximadamente 47,4 m.

4. a) 60 m/s; b) 180 m.

5. 1 s.

6. a) 4 s; b) 40 m/s para baixo; c) 60 m acima do solo.

7. a) 6 s; b) 60 m/s para baixo.

8. Alternativa D: itens I e II.

9. 80 m/s para baixo.

10. 20 m/s para baixo; 2 s.

11. 240,1 m.

12. a) 80 m; b) 40 m/s.

13. 2 s.

14. 3,2 m, no modelo idealizado.

Orientação de estudo: Não basta memorizar as fórmulas. Identifique os dados do enunciado, escolha a equação adequada, substitua os valores e confira se a unidade do resultado corresponde ao que foi solicitado.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática e Física para aprender, praticar e avançar.

Prof. Jonas Portal

Desde 2010 compartilhando conhecimento.

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Desafio de Física

Uma pedra cai do telhado de uma casa e percorre a altura de uma janela, colocada 19,6 m abaixo, no tempo de 0,1 segundos.

Determine a altura h da janela. Adote g = 9,8 m/s².

Fundamentos de Matemática Elementar - Complemento do Professor

Porcentagem, equações, funções, geometria, trigonometria, matrizes, combinatória, probabilidade...

Para muitos estudantes, esses conteúdos aparecem apenas como capítulos separados de um livro didático. Mas, para quem pretende dominar Matemática, preparar-se para vestibulares, ENEM, concursos, graduação, licenciatura, olimpíadas ou mestrado, existe uma necessidade maior: compreender como esses conteúdos se conectam e construir uma base realmente sólida.

É nesse contexto que a coleção Fundamentos de Matemática Elementar, tradicionalmente conhecida pela sigla FME, ocupa um lugar de destaque.

A coleção Fundamentos de Matemática Elementar, organizada por autores como Gelson Iezzi e colaboradores, reúne uma série de volumes dedicados aos principais conteúdos da Matemática do Ensino Fundamental e, principalmente, do Ensino Médio, com uma abordagem muito mais aprofundada do que aquela normalmente encontrada em um livro didático convencional.

Entre os assuntos encontrados nos diferentes volumes estão:

• conjuntos;
• funções;
• progressões;
• matemática financeira;
• trigonometria;
• números complexos;
• polinômios;
• equações algébricas;
• geometria plana;
• geometria espacial;
• geometria analítica;
• matrizes;
• determinantes;
• sistemas lineares;
• combinatória;
• probabilidade;
• estatística;
• números naturais e outros tópicos fundamentais.

Isso permite que o estudante utilize a coleção não apenas como um livro para determinado ano escolar, mas como material de consulta e aprofundamento durante vários anos de sua formação.

A Conjectura de Catalan

Dentre os vários problemas matemáticos, conjecturas, teoremas e indeterminações existem alguns que, para os amantes desse raciocínio exato, são incrivelmente belos pela sua simplicidade no enunciado, mas que resistem por vários anos desafiando os mais brilhantes pensadores dessa raínha das ciências, esperando uma solução digna que os comprovem.

É o caso da Conjectura de Catalan (ou Teorema de Mihailescu),  proposta em 1844 pelo matemático belga Eugène Charles Catalan (1814 – 1894), que por 158 anos permaneceu sem solução desafiando os melhores matemáticos, sendo demonstrado em abril de 2002 pelo matemático romeno Preda V. Mihailescu (nascido em 23 de maio de 1955) e publicado no Jornal de Crelle em 2004.

VAMOS AO PROBLEMA!

Considere a sequência a seguir:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, . . . .

Pergunto, antes de mais nada, o que há de tão interessante nessa sequência??? Você seria capaz de encontrar uma propriedade matemática ou conjecturar algo que desafiasse os melhores matemáticos desde 1844?

Então, Catalan percebeu que nesta sequência de números inteiros maiores que 1, com quadrados, cubos e potências perfeitas, os únicos números consecutivos são o 8 = 2³     e 9 = 3². As primeiras perguntas sugeridas foram: Existem outros pares de inteiros nesta sequência? Quantos? Finitos? Infinitos?

Outras perguntas que podem surgir: Existem outras potências consecutivas além de 8 e 9?

A conjectura afirma que 2³ e 3²  é o único par de potências consecutivas. Ou seja, que a única solução para os números naturais de

x^a – y^b = 1

para x, a, y, b> 1 é x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

VII Encontro Paraense de Educação Matemática - EPAEM

É um evento promovido pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM e Sociedade Brasileira de Educação Matemática Regional Pará – SBEM-PA.

O VII EPAEM será sediado na Universidade da Amazônia – UNAMA, Campus Alcindo Cacela, Belém-PA, no período de 08 a 10 de setembro de 2010.

OBJETIVOS

Visando transformar em realidade os anseios de uma comunidade comprometida com as necessidades da sociedade, estabelecemos os seguintes objetivos para o VII EPAEM:

• Oportunizar o intercâmbio de experiências docentes e de pesquisas em Educação Matemática no Estado do Pará e na Amazônia;
• Promover a comunicação e o debate sobre estudos, pesquisas, projetos e experiências de profissionais e estudantes interessados na área de Educação Matemática e Matemática.
• Desenvolver a área de Educação Matemática e Matemática comprometida com uma intervenção pedagógica qualificada que contribua para a construção de uma sociedade igualitária e democrática;
• Consolidar o papel da entidade nacional e regional como representante das ações políticoeducacionais junto aos órgãos governamentais e a sociedade como um todo;
• Proporcionar um lócus de formação continuada para os profissionais do ensino das redes públicas e privada do estado do Pará, funcionando, ao mesmo tempo, como instrumento divulgador dos conhecimentos produzidos na área de Educação Matemática e Matemática;
• Promover a integração entre os grupos de matemáticos, psicólogos, educadores e de profissionais de outras áreas, interessados na Educação Matemática e Matemática.

PÚBLICO ALVO
 
O VII EPAEM deverá congregar cerca de 800 profissionais e estudantes nas seguintes categorias:
• Pesquisadores em Matemática e Educação Matemática;
• Pesquisadores interessados em Matemática e Educação Matemática;
• Docentes e Discentes de Pós-Graduação em Matemática e Educação Matemática;
• Docentes e Discentes dos Cursos de Licenciatura em Matemática;
• Docentes do Ensino Superior interessados em Matemática e Educação Matemática;
• Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio das redes pública e privada;
• Professores da Educação Infantil, Educação de Jovens e Adultos, das Séries
Iniciais, do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, das redes pública e privada;
• Educadores e profissionais interessados em Matemática e Educação Matemática;
• Discentes de outras áreas interessados na Educação Matemática.

Mais informações, consulte http://www.sbempa.mat.br/fotos/v_epaem.pdf 

Estaremos lá!

Artigo: O drama do ensino da matemática

Estando eu a procurar por temas interessantes na internet, encontrei este artigo no site da folha.uol (de 25/03/2003) sobre o ensino da Matemática com SUELY DRUCK (presidente da Sociedade Brasileira de Matemática) especial para a Folha de S.Paulo.É interessante notar que trata-se de um artigo feito em 2003, mas cujo conteúdo, infelizmente, ainda é uma realidade no Brasil.

 

A qualidade do ensino da matemática —assunto da reportagem de capa do último Sinapse— atingiu, talvez, o seu mais baixo nível na história educacional do país.

As avaliações não poderiam ser piores. No Provão, a média em matemática tem sido a mais baixa entre todas as áreas. O último Saeb (Sistema Nacional de Avaliacão da Educacão Básica) mostra que apenas 6% dos alunos têm o nível desejado em matemática. E a comparação internacional é alarmante. No Pisa (Program for International Student Assessment) de 2001, ficamos em último lugar.

Resultados tão desastrosos mostram muito mais do que a má formação de uma geração de professores e estudantes: evidenciam o pouco valor dado ao conhecimento matemático e a ignorância em que se encontra a esmagadora maioria da população no que tange à matemática. Não é por acaso que o Brasil conta com enormes contingentes de pessoas privadas de cidadania por não entenderem fatos simples do seu próprio cotidiano, como juros, gráficos, etc. —os analfabetos numéricos—, conforme atesta o recente relatório Inaf sobre o analfabetismo matemático de nossa população.

Diante dessa situação, encontramos o discurso —tão frequente quanto simplista— de que falta boa didática aos professores de matemática. Todavia, pouco se menciona que o conhecimento do conteúdo a ser transmitido precede qualquer discussão acerca da metodologia de ensino.

Abordar a questão do ensino da matemática somente do ponto de vista pedagógico é um erro grave. É necessário encarar primordialmente as deficiências de conteúdo dos que lecionam matemática. É preciso entender as motivações dos que procuram licenciatura em matemática, a formação que a licenciatura lhes propicia e as condições de trabalho com que se deparam.
A enorme demanda por professores de matemática estimulou a proliferação de licenciaturas. Nas faculdades, há muita vaga e pouca qualidade, o que transforma as licenciaturas em cursos atraentes para os que desejam um diploma qualquer. Produz-se, assim, um grande contingente de docentes mal formados ou desmotivados. Esse grupo atua também no ensino superior, sobretudo nas licenciaturas, criando um perverso círculo vicioso.

É verdade que, nas boas universidades, temos excelentes alunos nas graduações de matemática. Porém, eles formam um grupo tão pequeno que pouco influenciam as tristes estatísticas. Predomina uma enorme evasão dos cursos, uma vez que a maioria não enfrenta as dificuldades naturais dos bons cursos.

Nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil a política da supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático na formação dos professores. Comprovamos, agora, os efeitos danosos dessa política sobre boa parte dos nossos professores. Sem entender o conteúdo do que lecionam, procuram facilitar o aprendizado utilizando técnicas pedagógicas e modismos de mérito questionável.

A pedagogia é ferramenta importante para auxi-liar o professor, principalmente aqueles que ensinam para crianças. O professor só pode ajudar o aluno no processo de aprendizagem se puder oferecer pontos de vista distintos sobre um mesmo assunto, suas relações com outros conteúdos já tratados e suas possíveis aplicações. Isso só é possível se o professor tiver um bom domínio do conteúdo a ser ensinado. A preocupação exagerada com as técnicas de ensino na formação dos professores afastou-os da comunidade matemática.
Além disso, eles se deparam com a exigência da moda: a contextualização. Se muitos de nossos professores não possuem o conhecimento matemático necessário para discernir o que existe de matemática interessante em determinadas situações concretas, aqueles que lhes cobram a contextualização possuem menos ainda. Forma-se, então, o pano de fundo propício ao surgimento de inacreditáveis tentativas didático-pedagógicas de construir modelos matemáticos para o que não pode ser assim modelado.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do MEC são erradamente interpretados como se a matemática só pudesse ser tratada no âmbito de situações concretas do dia-a-dia, reduzindo-a a uma sequência desconexa de exemplos o mais das vezes inadequados. Um professor de ensino médio relatou que, em sua escola, existe a "matemática junina", enquanto outro contou ter sido obrigado a dar contexto matemático a trechos de um poema religioso. Certamente, esses não são exemplos de uma contextualização criativa e inteligente que pode, em muito, ajudar nossos alunos. Lamentavelmente, esses tipos de exemplo proliferam em nossas escolas.

O bom treinamento em matemática é efetuado, necessariamente, com ênfase no argumento lógico, oposto ao autoritário, na distinção de casos, na crítica dos resultados obtidos em comparação com os dados iniciais do problema e no constante direcionamento para o pensamento independente. Esses hábitos são indispensáveis em qualquer área do conhecimento e permitem a formação de profissionais criativos e autoconfiantes —e a matemática é um campo ideal para o seu exercício.

O Brasil tem condições de mudar o quadro lastimável em que se encontra o ensino da matemática. Com satisfação, notamos um movimento importante de nossos professores em busca de aperfeiçoamento. Muitos estão conscientes dos problemas de sua formação e dos reflexos que ela tem dentro da sala de aula. Há uma enorme massa de professores que querem ser treinados em conteúdo. O desafio é atingir o maior número de professores no menor espaço de tempo.

Não é verdade que nossas crianças odeiam matemática, conforme prova a participação voluntária de 150 mil jovens e crianças nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 2002. Muitos mais eles poderiam ser, se os recursos fossem mais abundantes, como é o caso da Argentina, onde 1 milhão participam das Olimpíadas Argentinas de Matemática.

Iniciativas bem-sucedidas existem e apontam caminhos a seguir. Esse é o caso do fantástico programa de matemática coordenado pelo professor Valdenberg Araújo da Silva no interior de Sergipe, que tem levado crianças oriundas de famílias de baixíssima renda a conquistas importantes, como aprovação no vestibular, participação nas olimpíadas e até mesmo início do mestrado em matemática de jovens entre 15 e 17 anos.

Se medidas urgentes não forem tomadas, a situação tenderá a se agravar: há décadas estamos construindo uma sociedade de indivíduos que, ignorando o que é matemática, se mostram incapazes de cobrar das escolas o seu ensino correto ou mesmo apenas constatar as deficiências mais elementares nesse ensino.

Fonte: http://www1.folha.uol.com.br/folha/sinapse/ult1063u343.shtml

Lista de Exercícios de Física M.U.V. (FÍSICA) - Interativo

```html

FÍSICA • ENSINO MÉDIO

Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Lista interativa de exercícios com gráficos, aplicações e resoluções comentadas.

Aprenda as fórmulas, pratique e confira seu raciocínio!

MATEMÁTICA DO PI | Prof. Jonas Portal

📘 Antes de começar

No Movimento Uniformemente Variado (MUV), a aceleração é constante. Isso significa que a velocidade varia igualmente em intervalos de tempo iguais.

Um carro que aumenta sua velocidade em 2 m/s a cada segundo, por exemplo, apresenta aceleração constante de 2 m/s² durante esse intervalo de movimento.

Objetivo: compreender as equações do MUV, interpretar gráficos e resolver problemas envolvendo posição, velocidade, aceleração e tempo.

📌 1. Formulário essencial

Velocidade em função do tempo

v = v₀ + at

Use quando precisar relacionar velocidade, aceleração e tempo.

Posição em função do tempo

s = s₀ + v₀t + at²/2

Use para descobrir a posição após determinado intervalo de tempo.

Equação de Torricelli

v² = v₀² + 2aΔs

É especialmente útil quando o tempo não aparece no problema.

Aceleração média

a = (v − v₀)/t

Para aceleração constante, essa expressão fornece a aceleração do movimento.

Legenda:
s = posição final; s₀ = posição inicial;
Δs = s − s₀ = deslocamento;
v = velocidade no instante considerado;
v₀ = velocidade inicial; a = aceleração; t = tempo.

Atenção às unidades: posição em metros (m), velocidade em m/s, aceleração em m/s² e tempo em segundos (s).

km/h → m/s: dividir por 3,6

m/s → km/h: multiplicar por 3,6

📝 2. Lista de exercícios interativa

Resolva cada questão no caderno antes de abrir a caixa de resposta. Clique em “Ver resolução comentada” para conferir o gabarito e acompanhar os cálculos.

QUESTÃO 01 • CONCEITO

Qual é a principal diferença entre o Movimento Uniforme (MU) e o Movimento Uniformemente Variado (MUV)?

1. No MU, a velocidade varia; no MUV, a velocidade é constante.
2. No MU, a aceleração é constante e diferente de zero.
3. No MU, a velocidade é constante; no MUV, a aceleração é constante.
4. Nos dois movimentos, a velocidade é necessariamente nula.
5. No MUV, a aceleração precisa aumentar com o tempo.

Ver resolução comentada

Alternativa correta: C.

No MU, a velocidade permanece constante e a aceleração é zero. No MUV, a aceleração permanece constante, podendo ser positiva ou negativa, e a velocidade varia uniformemente.

Uma aceleração negativa não significa necessariamente que o corpo esteja diminuindo sua rapidez: isso depende também do sinal da velocidade.

QUESTÃO 02 • EQUAÇÃO HORÁRIA

Um carrinho parte da posição 5 m, com velocidade inicial de 3 m/s e aceleração constante de 4 m/s². Qual é sua função horária da posição?

1. s = 5 + 3t + 4t²
2. s = 5 + 3t + 2t²
3. s = 3 + 5t + 2t²
4. s = 5 + 4t + 3t²
5. s = 5 + 3t + 4t²/2

Ver resolução comentada

Utilizamos a equação horária da posição:

s = s₀ + v₀t + at²/2

Posição inicial: s₀ = 5 m.

Velocidade inicial: v₀ = 3 m/s.

Aceleração: a = 4 m/s².

Substituindo:

s = 5 + 3t + 4t²/2

s = 5 + 3t + 2t²

Resposta: alternativa B.

QUESTÃO 03 • INTERPRETAÇÃO

A posição de um móvel é dada pela função s = 2 + 10t + 3t², no Sistema Internacional. Determine a posição inicial, a velocidade inicial, a aceleração, a função da velocidade e a posição no instante t = 2 s.

Ver resolução comentada

Compare a expressão com a equação geral:

s = s₀ + v₀t + at²/2

a) Posição inicial: s₀ = 2 m.

b) Velocidade inicial: v₀ = 10 m/s.

c) Aceleração: como a/2 = 3, temos a = 6 m/s².

d) Função da velocidade:

v = v₀ + at = 10 + 6t

e) Posição no instante t = 2 s:

s = 2 + 10(2) + 3(2²)

s = 2 + 20 + 12 = 34 m

Respostas: s₀ = 2 m; v₀ = 10 m/s; a = 6 m/s²; v = 10 + 6t; s(2) = 34 m.

QUESTÃO 04 • CONVERSÃO DE UNIDADES

Um móvel parte do repouso e apresenta aceleração constante de 0,8 m/s². Qual velocidade ele atinge após 2 minutos e 5 segundos, expressa em km/h?

Ver resolução comentada

Primeiro, convertemos o tempo para segundos:

t = 2 × 60 + 5 = 125 s

Como o móvel parte do repouso, v₀ = 0.

Aplicando v = v₀ + at:

v = 0 + 0,8 × 125 = 100 m/s

Agora convertemos para km/h:

v = 100 × 3,6 = 360 km/h

Resposta: 360 km/h.

Observação: trata-se de um exercício matemático idealizado. Não representa uma recomendação de velocidade para circulação em vias públicas.

QUESTÃO 05 • EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

A posição de um móvel é dada por s = −30 + 5t + 5t², com s em metros e t em segundos.

Determine:

1. O instante em que o móvel passa pela origem.
2. A posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração.
3. A função horária da velocidade.
4. A posição no instante t = 2 s.

Ver resolução comentada

a) Passagem pela origem: fazemos s = 0.

−30 + 5t + 5t² = 0

Dividindo toda a equação por 5:

t² + t − 6 = 0

Fatorando:

(t + 3)(t − 2) = 0

As raízes são t = −3 s e t = 2 s.

Como o enunciado considera t > 0, utilizamos t = 2 s.

b) Comparação dos coeficientes:

s₀ = −30 m; v₀ = 5 m/s; a/2 = 5

Portanto, a = 10 m/s².

c) Função da velocidade:

v = 5 + 10t

d) Posição em t = 2 s:

s = −30 + 5(2) + 5(2²)

s = −30 + 10 + 20 = 0 m

Respostas: 2 s; s₀ = −30 m; v₀ = 5 m/s; a = 10 m/s²; v = 5 + 10t; s(2) = 0 m.

QUESTÃO 06 • ESTILO VESTIBULAR

Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo com aceleração constante de 2,0 m/s². Quais são, respectivamente, a velocidade e o deslocamento após 3,0 segundos?

1. 6,0 m/s e 9,0 m.
2. 6,0 m/s e 18 m.
3. 3,0 m/s e 12 m.
4. 12 m/s e 35 m.
5. 2,0 m/s e 12 m.

Ver resolução comentada

Dados: v₀ = 0; a = 2 m/s²; t = 3 s.

Velocidade:

v = 0 + 2 × 3 = 6 m/s

Deslocamento:

Δs = v₀t + at²/2

Δs = 0 + 2 × 3²/2 = 9 m

Resposta: alternativa A.

QUESTÃO 07 • EQUAÇÃO DE TORRICELLI

Uma motocicleta desenvolve aceleração constante de 10 m/s². Ela percorre 500 m em linha reta e chega ao final do percurso com velocidade de 100 m/s. Qual era sua velocidade inicial?

1. 0 m/s.
2. 5 m/s.
3. 10 m/s.
4. 15 m/s.
5. 20 m/s.

Ver resolução comentada

Dados: v = 100 m/s; a = 10 m/s²; Δs = 500 m.

Aplicamos a equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2aΔs

100² = v₀² + 2 × 10 × 500

10.000 = v₀² + 10.000

v₀² = 0

Logo, v₀ = 0 m/s.

Resposta: alternativa A.

O resultado mostra que, nas condições idealizadas do problema, o móvel parte do repouso.

QUESTÃO 08 • FUNÇÃO DA VELOCIDADE

A função horária da posição de um móvel é s = 8 − 4t + t², no Sistema Internacional. Qual é a função horária da velocidade?

1. v = 8 − 4t.
2. v = −4 + 2t.
3. v = −4 + 2t².
4. v = 8 + t².
5. v = 8t − 4t² + t³.

Ver resolução comentada

Comparamos com a equação geral:

s = s₀ + v₀t + at²/2

Temos v₀ = −4 m/s e a/2 = 1, portanto a = 2 m/s².

Usando v = v₀ + at:

v = −4 + 2t

Resposta: alternativa B.

QUESTÃO 09 • PASSAGEM PELA ORIGEM

A posição de uma partícula é dada por s = −12 − 4t + t², no Sistema Internacional. Em que instante positivo ela passa pela origem das posições?

Ver resolução comentada

Na origem, s = 0:

t² − 4t − 12 = 0

Fatorando:

(t − 6)(t + 2) = 0

As raízes são t = 6 s e t = −2 s.

O instante positivo é t = 6 s.

Resposta: 6 segundos.

QUESTÃO 10 • APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES

Um corpo realiza MUV segundo a função s = 4 − 2t + 3t², com grandezas no SI.

Determine a função horária da velocidade e a posição em t = 3 s.

Ver resolução comentada

Comparando com s = s₀ + v₀t + at²/2:

s₀ = 4 m; v₀ = −2 m/s; a = 6 m/s²

A função da velocidade é:

v = −2 + 6t

Para t = 3 s:

s = 4 − 2(3) + 3(3²)

s = 4 − 6 + 27 = 25 m

Respostas: v = −2 + 6t; s(3) = 25 m.

QUESTÃO 11 • LEITURA DE GRÁFICO

O gráfico representa a velocidade de uma partícula em função do tempo. Considere que a velocidade varia linearmente de 6 m/s, no instante inicial, para 12 m/s, no instante t = 2 s.

Determine:

1. A velocidade inicial.
2. A aceleração escalar.
3. A função horária da velocidade.
4. O deslocamento entre 0 e 2 segundos.

Ver resolução comentada

a) Velocidade inicial:

É o valor da velocidade quando t = 0.

v₀ = 6 m/s

b) Aceleração:

A aceleração é a inclinação da reta no gráfico v × t.

a = (12 − 6)/(2 − 0) = 3 m/s²

c) Função horária da velocidade:

v = v₀ + at

v = 6 + 3t

d) Deslocamento:

Em um gráfico de velocidade pelo tempo, o deslocamento corresponde à área algébrica sob o gráfico.

Como a velocidade é positiva em todo o intervalo, o deslocamento é a área do trapézio:

Δs = (B + b)h/2

Δs = (12 + 6) × 2/2 = 18 m

Respostas: 6 m/s; 3 m/s²; v = 6 + 3t; deslocamento = 18 m.

QUESTÃO 12 • SITUAÇÃO COTIDIANA

Um automóvel está se deslocando em linha reta com velocidade inicial de 4 m/s. A partir de determinado instante, sua aceleração passa a ser constante e igual a 2 m/s². Qual será sua velocidade após 5 s e qual será o deslocamento nesse intervalo?

Ver resolução comentada

Velocidade final:

v = v₀ + at

v = 4 + 2 × 5 = 14 m/s

Deslocamento:

Δs = v₀t + at²/2

Δs = 4 × 5 + 2 × 25/2

Δs = 20 + 25 = 45 m

Resposta: velocidade final de 14 m/s e deslocamento de 45 m.

QUESTÃO 13 • FRENAGEM

Um veículo se desloca em linha reta a 20 m/s. Ao iniciar a frenagem, passa a apresentar aceleração constante de −4 m/s² até parar. Admitindo essas condições ideais, determine o tempo de frenagem e o deslocamento durante esse intervalo.

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1. Tempo para parar:

Quando o veículo para, v = 0.

v = v₀ + at

0 = 20 − 4t

t = 5 s

2. Deslocamento durante a frenagem:

v² = v₀² + 2aΔs

0 = 20² + 2(−4)Δs

0 = 400 − 8Δs

Δs = 50 m

Resposta: tempo de 5 s e deslocamento de 50 m.

A distância real de frenagem depende de fatores como condições da pista, pneus, freios e tempo de reação do condutor.

QUESTÃO 14 • DESAFIO

Um móvel tem velocidade inicial de 8 m/s e aceleração constante de −2 m/s². Considerando o movimento no intervalo de 0 a 4 s, determine:

1. A função horária da velocidade.
2. O instante em que a velocidade se torna zero.
3. O deslocamento entre 0 e 4 s.

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a) Função da velocidade:

v = v₀ + at

v = 8 − 2t

b) Instante em que v = 0:

0 = 8 − 2t

t = 4 s

c) Deslocamento:

Δs = v₀t + at²/2

Δs = 8 × 4 + (−2 × 4²)/2

Δs = 32 − 16 = 16 m

Respostas: v = 8 − 2t; velocidade zero em 4 s; deslocamento de 16 m.

Nesse intervalo, a velocidade é positiva até o instante final. Portanto, o móvel diminui sua rapidez sem inverter o sentido do movimento antes de t = 4 s.

🎯 3. Resumo para revisar antes da prova

1. Velocidade constante significa aceleração nula.

2. No MUV, a aceleração é constante.

3. Na função s = s₀ + v₀t + at²/2, o coeficiente de t² é a/2, não a.

4. No gráfico v × t, a inclinação da reta representa a aceleração.

5. No gráfico v × t, a área algébrica representa o deslocamento.

6. Se a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal, o módulo da velocidade aumenta.

7. Se velocidade e aceleração têm sinais opostos, o módulo da velocidade diminui naquele instante.

8. Para converter m/s em km/h, multiplique por 3,6.

9. Para converter km/h em m/s, divida por 3,6.

10. A equação de Torricelli relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem utilizar o tempo explicitamente.

Desafio final: escolha três exercícios que você errou, refaça as contas sem consultar as soluções e explique, com suas próprias palavras, por que escolheu cada fórmula.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática e Física para aprender, praticar e avançar.

Prof. Jonas Portal

Estude. Pratique. Compreenda.

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Exercícios – Relações Métricas e trigonométricas

1- Problemas Pitagóricos.

Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C.

O Teorema de Pitágoras, diz que “Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” (a² = b² + c²).

Os primeiros problemas que se conhecem onde esta relação é utilizada remontam ao 2º milênio a.C. e aparecem na civilização Babilônica.

O problema a seguir foi proposto de forma semelhante em 1568, pelo alemão Peter Van Halle.

Temos uma Torre de 40m de altura, na qual está apoiada uma escada separada da torre por um lago de 30m de comprimento. Pergunta-se: qual o comprimento da escada?

2- Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, representado na figura abaixo, calcule os valores desconhecidos (x, m, n e h).

3- Considerando o triângulo retângulo abaixo, podemos afirmar que o valor de x é:

a) 3  b) c) 9   d) 6   e) 1/3

 

4- O valor de y no triângulo abaixo é: a)   b)   c) d) ½   e) 4

5- Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada, em metros? a) 2 m   b) 4 m   c) 6 m   d) 8 m   e) 10 m

DESAFIO

Sr Portal desenhou um triângulo retângulo e, fazendo alguns cálculos, descobriu que as raízes da equação do 2º grau x² - 14x + 48 = 0 expressam, em centímetros, as medidas dos catetos desse triângulo. Com os valores encontrados, calculou o valor da hipotenusa e ainda o perímetro do triângulo.

Qual o valor da hipotenusa e do perímetro que o Sr Portal encontrou?