QUESTÕES ENQ - Exame Nacional de Qualificação - Mestrado em Matemática - PROFMAT

MATEMÁTICA DO PI • DESAFIO PROFMAT

ENQ em Foco: Aritmética e Congruências

Duas questões para testar seu raciocínio matemático. Resolva antes de revelar as soluções!

ARITMÉTICA • TEOREMA CHINÊS DOS RESTOS

QUESTÃO 01

Um problema de congruências simultâneas

Determine o menor inteiro positivo \(n\) que satisfaz simultaneamente as seguintes congruências:

n ≡ 2 (mod 5)
n ≡ 3 (mod 7)
n ≡ 4 (mod 9)

Assinale a alternativa correta.

• (A) 52
• (B) 122
• (C) 157
• (D) 247
• (E) 312

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1. Utilize a primeira congruência

Como n ≡ 2 (mod 5), podemos escrever:

n = 5k + 2

2. Imponha a segunda condição

Substituindo na congruência módulo 7:

5k + 2 ≡ 3 (mod 7)
5k ≡ 1 (mod 7)

O inverso de 5 módulo 7 é 3, pois 5 × 3 ≡ 1 (mod 7). Portanto:

k ≡ 3 (mod 7)

Logo, k = 7t + 3 e, consequentemente:

n = 35t + 17

3. Utilize a terceira congruência

35t + 17 ≡ 4 (mod 9)
8t ≡ 5 (mod 9)

Como 8 é seu próprio inverso módulo 9:

t ≡ 40 ≡ 4 (mod 9)

Assim, t = 9s + 4. Substituindo:

n = 315s + 157

4. Conclusão

Os módulos 5, 7 e 9 são dois a dois coprimos. Pelo Teorema Chinês dos Restos, a solução é única módulo 5 × 7 × 9 = 315. Como 157 está entre 1 e 315, ele é o menor inteiro positivo que satisfaz as três condições.

Gabarito: alternativa (C), n = 157.

ARITMÉTICA • POTÊNCIAS E CONGRUÊNCIAS

QUESTÃO 02

O resto de uma potência elevada

Seja \(N = 7^{2026}\). Qual é o resto da divisão de \(N\) por 100?

• (A) 1
• (B) 7
• (C) 21
• (D) 49
• (E) 77

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1. Investigue as primeiras potências

Calculando módulo 100:

7² = 49
7⁴ = 2401 ≡ 1 (mod 100)

2. Reduza o expoente

Como 7⁴ ≡ 1 (mod 100), escrevemos:

2026 = 4 × 506 + 2

Portanto:

7²⁰²⁶ = (7⁴)⁵⁰⁶ × 7²

Tomando os restos módulo 100:

7²⁰²⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ × 49 ≡ 49 (mod 100)

3. Conclusão

O resto procurado é 49.

Gabarito: alternativa (D), resto 49.

MATEMÁTICA DO PI • Preparação para o PROFMAT/ENQ
Estude, tente resolver e só depois revele a solução!