ENQ PROFMAT 2027.1: 8 Questões Discursivas de Alto Nível com Resolução e Cronômetro

MATEMÁTICA DO PI • SÉRIE ESPECIAL PROFMAT

ENQ PROFMAT 2027.1: Simulado Intensivo com 8 Questões Discursivas

Quatro disciplinas. Oito desafios. Quatro horas de prova.

Treine com questões autorais de nível avançado, cronômetro individual, tempo total e resoluções comentadas.

Importante: este é um simulado autoral de preparação, não uma previsão nem reprodução de questões oficiais. A seleção de temas foi orientada pela matriz das disciplinas MA11, MA12, MA13 e MA14 e pela consulta ao acervo público de provas anteriores da SBM/PROFMAT. Nenhuma questão pode ser garantida como provável de cair no ENQ 2027.1.

⏳ SIMULADO COMPLETO

Tempo de referência: 4 horas (240 minutos)

04:00:00

Cada questão dispõe de 30 minutos. O contador geral é independente dos cronômetros individuais.

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 01 DE 08

Radicais, domínio e equação

Determine todos os números reais \(x\) que satisfazem a equação abaixo. Apresente as condições de existência e justifique cada transformação algébrica.

\[\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}=3\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Condições de existência

É necessário que \(x+2\geq0\) e \(5-x\geq0\). Logo, \(-2\leq x\leq5\).

2. Eleve ao quadrado

\(x+2+5-x+2\sqrt{(x+2)(5-x)}=9\), portanto \(\sqrt{(x+2)(5-x)}=1\).

3. Resolva a equação resultante

\((x+2)(5-x)=1\Rightarrow -x^2+3x+10=1\), ou seja, \(x^2-3x-9=0\). Pela fórmula quadrática, \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}2=\dfrac{3\pm3\sqrt5}2\).

4. Verifique

Ambas as soluções pertencem a \([-2,5]\) e satisfazem a equação original, pois a soma dos radicais é 3.

RESPOSTA: \(\boxed{x=\dfrac{3-3\sqrt5}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{3+3\sqrt5}{2}}\)

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 02 DE 08

Número de soluções em função de um parâmetro

Considere a função \(f:(0,+\infty)\to\mathbb R\), definida por \(f(x)=x+\dfrac1x\). Para cada número real \(m\), determine quantas soluções reais positivas possui a equação \(f(x)=m\). Justifique a resposta, incluindo o caso de igualdade.

\[x+\frac{1}{x}=m,\qquad x>0\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Aplicação da desigualdade das médias (MA ≥ MG)

Como \(x>0\), podemos aplicar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:

\[ \frac{x+\frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} \]

Simplificando:

\[ \boxed{x+\frac{1}{x}\geq 2} \]

Como a equação proposta é \(x+\frac{1}{x}=m\), necessariamente:

\[ \boxed{m\geq 2} \]

Portanto, se \(m<2\), a equação não possui soluções reais positivas.

2. Análise do caso de igualdade

A igualdade na desigualdade das médias ocorre quando os dois termos são iguais: \[ x=\frac{1}{x} \] Logo: \[ x^2=1 \] Como \(x>0\), temos: \[ \boxed{x=1} \] Substituindo na equação original: \[ 1+\frac{1}{1}=m \] Assim: \[ \boxed{m=2} \] Portanto, para \(m=2\), existe exatamente uma solução real positiva: \(x=1\).

3. Análise do caso \(m>2\)

Para determinar a quantidade de soluções nesse caso, retomamos a equação: \[ x+\frac{1}{x}=m \] Multiplicando ambos os membros por \(x\): \[ x^2-mx+1=0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta=m^2-4 \] Como \(m>2\), temos: \[ \Delta>0 \] Logo, a equação possui duas raízes reais distintas.

4. Verificação da positividade das raízes

Pelas relações de Girard, temos: \[ x_1+x_2=m>0 \] e \[ x_1\cdot x_2=1>0 \] Como o produto das raízes é positivo, elas possuem o mesmo sinal. Como a soma é positiva, ambas são positivas. Portanto, para \(m>2\), existem exatamente duas soluções reais positivas distintas.

5. Conclusão

A desigualdade das médias permite identificar o valor mínimo da expressão, enquanto o discriminante e as relações de Girard completam a análise da quantidade de soluções.

RESPOSTA FINAL: \[ \boxed{ N(m)= \begin{cases} 0,&m<2\\ 1,&m=2\\ 2,&m>2 \end{cases} } \] A equação não possui soluções positivas se \(m<2\); possui uma solução se \(m=2\); e possui duas soluções positivas distintas se \(m>2\).

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 03 DE 08

Funções sobrejetoras e inclusão-exclusão

Sejam \(A\) um conjunto com 4 elementos e \(B\) um conjunto com 3 elementos. Determine o número de funções sobrejetoras \(f:A\to B\). Explique a contagem usando o princípio da inclusão-exclusão.

\[\left|\{f:A\to B\mid f\text{ é sobrejetora}\}\right|=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Conte todas as funções

Cada um dos 4 elementos de \(A\) pode ser enviado a qualquer um dos 3 elementos de \(B\). Existem \(3^4=81\) funções.

2. Retire as funções que deixam algum elemento de B sem imagem inversa

Fixado um elemento de \(B\) que não é atingido, as funções restantes são funções para um conjunto de 2 elementos: \(2^4=16\). Há 3 escolhas para o elemento não atingido; subtraímos \(3\cdot16=48\).

3. Corrija a dupla subtração

Funções cuja imagem contém apenas um elemento foram subtraídas duas vezes a mais. Para cada escolha do único elemento atingido há exatamente 1 função constante. Há 3 dessas funções, que devem ser adicionadas.

4. Aplique inclusão-exclusão

O total é \(3^4-\binom31 2^4+\binom32 1^4=81-48+3=36\).

RESPOSTA: \(\boxed{36\text{ funções sobrejetoras}.}\)

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 04 DE 08

Recorrência linear de primeira ordem

A sequência \((a_n)\) é definida por \(a_0=2\) e \(a_{n+1}=3a_n+2\), para todo inteiro \(n\geq0\). Encontre uma fórmula explícita para \(a_n\) e prove-a por indução matemática.

\[a_0=2,\qquad a_{n+1}=3a_n+2\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Identifique o padrão

Os primeiros termos são \(2,8,26,80,\ldots\). A expressão \(a_n+1\) satisfaz \(a_{n+1}+1=3(a_n+1)\).

2. Obtenha a fórmula

Assim, \(a_n+1=3^n(a_0+1)=3^n\cdot3\). Portanto, \(a_n=3^{n+1}-1\).

3. Prova por indução — base

Para \(n=0\), a fórmula fornece \(3^1-1=2=a_0\). A base é verdadeira.

4. Prova por indução — passo

Suponha \(a_n=3^{n+1}-1\). Então \(a_{n+1}=3a_n+2=3(3^{n+1}-1)+2=3^{n+2}-1\), que é a fórmula para \(n+1\).

RESPOSTA: \(\boxed{a_n=3^{n+1}-1,\quad n\geq0.}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 05 DE 08

Dois círculos e a corda comum

Dois círculos têm raios 10 e 5, e a distância entre seus centros é 13. Sabendo que eles se intersectam em dois pontos, determine o comprimento da corda comum. Apresente uma construção ou argumento geométrico que justifique os cálculos.

\[r_1=10,\qquad r_2=5,\qquad d=13\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a perpendicular comum

A reta que une os centros é perpendicular à corda comum e a divide ao meio. Seja \(x\) a distância do centro do círculo maior à projeção do ponto médio da corda sobre a linha dos centros, e \(h\) a metade da corda.

2. Monte as relações pitagóricas

Nos dois triângulos retângulos: \(x^2+h^2=10^2\) e \((13-x)^2+h^2=5^2\). Subtraindo as equações, \(x^2-(13-x)^2=75\).

3. Determine x e h

\(26x-169=75\Rightarrow x=\frac{122}{13}\). Então \(h^2=100-(122/13)^2=\frac{2016}{169}=\frac{144\cdot14}{169}\), logo \(h=\frac{12\sqrt{14}}{13}\).

4. Calcule a corda

A corda tem comprimento \(2h\), pois \(h\) é sua metade.

RESPOSTA: \(\boxed{\dfrac{24\sqrt{14}}{13}}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 06 DE 08

Triângulo de lados 13, 14 e 15

Um triângulo possui lados de comprimentos 13, 14 e 15. Determine sua área, seu raio da circunferência inscrita e seu raio da circunferência circunscrita. Justifique as fórmulas utilizadas.

\[a=13,\qquad b=14,\qquad c=15\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Calcule a área pela fórmula de Heron

O semiperímetro é \(s=(13+14+15)/2=21\). Pela fórmula de Heron, \(K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\).

2. Determine o raio inscrito

A área também é \(K=rs\), em que \(r\) é o raio inscrito. Logo, \(r=84/21=4\).

3. Determine o raio circunscrito

Para qualquer triângulo, \(K=\frac{abc}{4R}\). Assim, \(R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}\).

RESPOSTA: \(\boxed{K=84,\qquad r=4,\qquad R=\dfrac{65}{8}.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 07 DE 08

Função totiente de Euler

Determine \(\varphi(360)\), em que \(\varphi\) é a função totiente de Euler, e explique por que o resultado conta exatamente os inteiros entre 1 e 360 que são coprimos com 360.

\[\varphi(360)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Fatore o número

Temos \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\).

2. Aplique a fórmula da função totiente

Se \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\), então \(\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}(1-1/p)\). Portanto, \(\varphi(360)=360(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)\).

3. Calcule

\(360\cdot\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45=96\). A fórmula decorre da exclusão dos múltiplos dos primos 2, 3 e 5, por inclusão-exclusão.

RESPOSTA: \(\boxed{\varphi(360)=96.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 08 DE 08

Valoração p-ádica de um coeficiente binomial

Determine o maior inteiro \(k\geq0\) para o qual \(5^k\) divide o coeficiente binomial \(\binom{100}{20}\). Justifique usando a fórmula de Legendre.

\[v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a aditividade da valoração

\(v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=v_5(100!)-v_5(20!)-v_5(80!)\).

2. Aplique Legendre

\(v_5(100!)=\lfloor100/5\rfloor+\lfloor100/25\rfloor=20+4=24\).

3. Calcule os outros fatoriais

\(v_5(20!)=\lfloor20/5\rfloor=4\). E \(v_5(80!)=\lfloor80/5\rfloor+\lfloor80/25\rfloor=16+3=19\).

4. Subtraia

\(24-4-19=1\). Logo, o coeficiente é divisível por 5, mas não por 25.

RESPOSTA: \(\boxed{k=1.}\)

MATEMÁTICA DO PI
Material autoral de estudo • PROFMAT • MA11, MA12, MA13 e MA14
Recomendação: escreva suas soluções completas antes de abrir os comentários.

Prova Discursiva SEDUC-PA 2026: Como Responder às 2 Questões de Matemática da FGV?

Especial Concurso Público • SEDUC-PA 2026

PROVA DISCURSIVA FGV: COMO RESOLVER AS QUESTÕES DE MATEMÁTICA?

Estratégias, análise de provas anteriores, gestão do tempo e treinamento para conquistar pontos decisivos no concurso de Professor de Matemática.

MATEMÁTICA DO PI | Preparação estratégica para o magistério

Atenção, candidato! A prova discursiva pode ser um dos momentos mais decisivos do concurso. Não basta conhecer fórmulas, propriedades e teoremas. Será necessário interpretar uma situação, identificar o problema matemático e pedagógico, construir uma solução e apresentá-la com clareza, objetividade e domínio da escrita.

2questões discursivas

10pontos no total

15–30linhas por resposta

5hprova completa

O que está em jogo?
A discursiva vale 10 pontos e tem caráter eliminatório e classificatório. O candidato precisa alcançar pelo menos 5 pontos e não pode obter nota zero em nenhuma das duas situações-problema.

1. O QUE O EDITAL DETERMINA SOBRE A DISCURSIVA?

De acordo com o Edital nº 001/2026 – SEPLAD/SEDUC, a prova discursiva será composta por duas situações-problema baseadas em casos escolares, com tema atual, inédito e relacionado ao contexto escolar.

O edital também deixa claro que a avaliação não considera somente o conhecimento técnico. A banca pretende avaliar a capacidade de leitura, interpretação e escrita do candidato, observando clareza, precisão, consistência e concisão.

Aspecto	Determinação do edital
Quantidade	2 situações-problema
Natureza	Casos escolares com tema atual e inédito
Conteúdo	Conhecimentos específicos da área
Pontuação	5 pontos por questão; 10 pontos no total
Extensão	Mínimo de 15 e máximo de 30 linhas por resposta
Nota mínima	5 pontos no total, sem zerar nenhuma situação-problema
Consulta	Não permitida
Forma de resposta	Manuscrita, em letra legível, com caneta azul ou preta

Um detalhe que merece atenção: somente o texto transcrito na folha definitiva será considerado para correção. O rascunho é facultativo e não será avaliado. Portanto, o candidato precisa administrar o tempo também para passar sua resposta a limpo.

2. COMO A FGV COSTUMA CONSTRUIR UMA QUESTÃO DISCURSIVA?

Uma análise de provas anteriores da FGV para a área docente ajuda a compreender o tipo de raciocínio que merece treinamento. É importante, porém, distinguir tendência observada de previsão: nenhuma prova anterior garante a repetição de um assunto ou de uma estrutura.

Em uma prova para Professor de Matemática da rede estadual de Mato Grosso, a FGV apresentou uma situação envolvendo estudantes do 6º ano que tinham dificuldades para classificar quadriláteros. Alguns classificavam as figuras apenas pela aparência; outros não reconheciam que um quadrado também é um retângulo, um losango e um paralelogramo.

A questão exigia que o candidato apresentasse:

1. Os conhecimentos prévios que os estudantes provavelmente não dominavam.
2. Uma estratégia pedagógica para superar as dificuldades.
3. Uma tarefa matemática e a mediação docente necessária.
4. A justificativa da estratégia proposta.

Uma lição importante dessa prova:
A FGV pode exigir que o professor demonstre que sabe ensinar Matemática, e não apenas que sabe resolver exercícios matemáticos. O domínio do conteúdo precisa aparecer associado à análise da aprendizagem e à intervenção pedagógica.

Nas provas recentes para professores, também aparecem situações em que o candidato precisa analisar o raciocínio de um estudante, reconhecer um erro conceitual e escolher uma intervenção que ajude a construir o conhecimento. Esse tipo de abordagem merece atenção especial na preparação.

3. COMO PODE SER A ESTRUTURA DAS DUAS QUESTÕES?

O edital não informa antecipadamente os assuntos nem determina que uma questão seja exclusivamente matemática e a outra exclusivamente pedagógica. Entretanto, pela natureza das situações-problema e pelo conteúdo programático, é razoável preparar-se para questões que integrem conhecimentos matemáticos e situações reais de ensino.

Possibilidade A — Situação matemática associada a uma dificuldade de aprendizagem

A banca pode apresentar um estudante que resolveu incorretamente um problema envolvendo funções, proporcionalidade, geometria, estatística ou outro conteúdo. O candidato deverá identificar o equívoco, explicar o conceito envolvido e propor uma intervenção pedagógica.

Possibilidade B — Planejamento de uma atividade de ensino

Outra possibilidade é apresentar uma situação escolar em que o professor precisa desenvolver determinado conteúdo. O candidato poderá ser solicitado a propor uma estratégia de ensino, uma atividade contextualizada, uma forma de mediação e uma maneira de verificar se houve aprendizagem.

Possibilidade C — Matemática aplicada a uma realidade regional

O conteúdo programático inclui aplicações da Matemática à Amazônia, estatísticas socioambientais, georreferenciamento, cartografia regional e dados demográficos, econômicos e ambientais do Pará. Esses temas merecem atenção porque permitem construir situações-problema contextualizadas.

Possibilidade D — Interpretação de dados e tomada de decisão

Uma situação envolvendo tabelas, gráficos, indicadores educacionais, medidas estatísticas ou informações socioambientais pode exigir que o candidato interprete os dados, realize cálculos e apresente conclusões fundamentadas.

Importante: essas possibilidades são hipóteses de treinamento construídas a partir do edital e de referências anteriores da FGV. Não são questões previstas nem uma garantia de cobrança.

4. CONTEÚDOS QUE MERECEM ATENÇÃO NA PREPARAÇÃO

O candidato deve estudar o conteúdo específico do Anexo V, mas também treinar a transformação desses conhecimentos em situações de ensino e aprendizagem.

Eixo	O que treinar para a discursiva
Aritmética e proporcionalidade	Razões, porcentagens, divisibilidade, números racionais e problemas contextualizados.
Álgebra e funções	Equações, interpretação de gráficos, funções lineares e quadráticas, exponenciais e logarítmicas.
Geometria	Propriedades de figuras, relações métricas, áreas, volumes, geometria espacial e analítica.
Estatística e probabilidade	Leitura de gráficos, média, mediana, dispersão, análise de dados e interpretação de resultados.
Combinatória	Princípio multiplicativo, contagem, arranjos, combinações e situações probabilísticas.
Matemática financeira	Porcentagem, juros, descontos, acréscimos e educação financeira.
Matemática e Amazônia	Dados regionais, mapas, escalas, indicadores ambientais e modelagem matemática.
Educação Matemática	Resolução de problemas, modelagem, etnomatemática, história da Matemática, tecnologias e BNCC.

5. O SEGREDO DE UMA BOA RESPOSTA: NÃO ESCREVA SEM PLANEJAR

Um erro frequente de quem não treina discursivas é começar a escrever imediatamente após ler o enunciado. Isso aumenta a possibilidade de fugir do que foi solicitado, repetir ideias e ultrapassar o limite de linhas.

Antes de escrever, identifique os comandos da questão. Se a banca pedir para identificar, propor, descrever e justificar, cada verbo representa uma parte da resposta que precisa aparecer no texto.

1

Identifique o problema.
O que exatamente está acontecendo? Qual é a dificuldade matemática ou pedagógica apresentada?

2

Localize o conhecimento envolvido.
Qual conceito, propriedade, procedimento ou habilidade matemática está em jogo?

3

Defina uma intervenção.
O que o professor deve fazer? Que estratégia pode favorecer a aprendizagem?

4

Apresente uma atividade concreta.
Como os estudantes vão trabalhar o conteúdo? Que problema, material, representação ou recurso será utilizado?

5

Justifique sua escolha.
Por que essa estratégia é adequada? Que aprendizagem pretende desenvolver?

Uma estrutura prática para organizar de 15 a 30 linhas

Parte da resposta	O que escrever	Extensão sugerida
Introdução	Identificação do problema e do conceito matemático.	3–5 linhas
Desenvolvimento	Explicação matemática e análise da dificuldade.	4–7 linhas
Intervenção	Estratégia, atividade e mediação do professor.	5–10 linhas
Conclusão	Justificativa e aprendizagem esperada.	3–5 linhas

Essa divisão é uma técnica de organização, não uma estrutura obrigatória nem um espelho oficial de correção.

6. COMO ADMINISTRAR AS CINCO HORAS DE PROVA?

Este é um dos pontos mais importantes da preparação. O candidato terá de resolver 60 questões objetivas e duas discursivas em cinco horas. Não adianta treinar somente a qualidade da resposta: é preciso treinar a velocidade de leitura, decisão, cálculo e escrita.

Estratégia sugerida para o treinamento completo:

Etapa	Tempo	Objetivo
Primeira passagem pelas objetivas	2h30	Resolver as questões conhecidas e marcar as mais trabalhosas.
Revisão das objetivas e cartão	30 min	Retornar às questões pendentes e conferir as marcações.
Discursiva 1	50 min	Ler, planejar, resolver, redigir e revisar.
Discursiva 2	50 min	Aplicar o mesmo processo, sem perder o controle do relógio.
Conferência final	20 min	Verificar transcrição, legibilidade, linhas e cartão-resposta.
Total	5h	Simulação do tempo total de prova.

Essa distribuição é uma proposta inicial de treinamento. O candidato deve ajustá-la conforme seu desempenho nos simulados, mas precisa garantir tempo suficiente para as duas respostas discursivas e para o preenchimento das folhas definitivas.

Como utilizar os 50 minutos de cada discursiva?

Momento	Tempo	Ação
Leitura e interpretação	5 min	Identificar o comando e os dados importantes.
Planejamento	7 min	Organizar conceitos, cálculos e estrutura da resposta.
Resolução e elaboração	28 min	Construir a resposta com fundamentação e objetividade.
Revisão e transcrição	10 min	Conferir conteúdo, clareza, linhas e escrita.

7. TREINADOR DE TEMPO — 50 MINUTOS

Use o cronômetro abaixo durante seus treinos. A proposta é simular a pressão da prova: você terá 50 minutos para resolver uma situação-problema e elaborar uma resposta dentro do limite de linhas.

DESAFIO DISCURSIVO FGV

TEMPO DISPONÍVEL PARA UMA QUESTÃO

50:00

Prepare seu material. O cronômetro começa quando você clicar em Iniciar.

8. DUAS SITUAÇÕES-PROBLEMA PARA COMEÇAR A TREINAR

As questões a seguir são inéditas e autorais, elaboradas para treinamento a partir dos conteúdos do edital e do formato de situação-problema. Não são questões oficiais nem previsões da prova.

TREINO 01 • GEOMETRIA E APRENDIZAGEM

O erro do estudante na classificação dos quadriláteros

Durante uma atividade de Geometria no 8º ano, um professor solicitou que os estudantes classificassem diferentes quadriláteros considerando as propriedades de seus lados e ângulos. Um estudante afirmou que um quadrado não poderia ser considerado um retângulo, pois seus quatro lados possuem a mesma medida, enquanto o retângulo apresenta dois pares de lados de medidas diferentes.

Ao analisar a resposta, o professor percebeu que o estudante estava classificando as figuras com base apenas em características visuais, sem compreender as relações entre suas propriedades.

Com base nessa situação, elabore uma resposta de 15 a 30 linhas contemplando:

1. O equívoco conceitual apresentado pelo estudante.
2. Os conhecimentos matemáticos necessários à compreensão da classificação dos quadriláteros.
3. Uma atividade pedagógica e a mediação docente para superar a dificuldade.
4. A justificativa da estratégia proposta.

ESPAÇO DE PLANEJAMENTO: identifique o conceito, a dificuldade, a atividade e a justificativa.

TREINO 02 • ESTATÍSTICA E CONTEXTO ESCOLAR

Os resultados de uma avaliação diagnóstica

Uma escola da rede pública realizou uma avaliação diagnóstica de Matemática com uma turma do 9º ano. Os resultados revelaram que grande parte dos estudantes apresentou dificuldades na interpretação de gráficos e tabelas, especialmente na comparação de valores e na compreensão de medidas de tendência central.

O professor pretende utilizar os resultados para reorganizar seu planejamento e desenvolver uma intervenção que favoreça a aprendizagem dos estudantes.

Considerando a situação descrita, elabore uma resposta de 15 a 30 linhas abordando:

1. A importância da avaliação diagnóstica para identificar dificuldades de aprendizagem.
2. Uma proposta de atividade que envolva interpretação de dados, gráficos e medidas estatísticas.
3. Como o professor pode realizar a mediação e acompanhar a evolução dos estudantes.
4. Como os resultados da atividade podem orientar o planejamento de novas intervenções.

ESPAÇO DE PLANEJAMENTO: diagnóstico, conteúdo matemático, atividade, mediação e acompanhamento.

9. COMO TREINAR O PSICOLÓGICO E A HABILIDADE DE RESOLUÇÃO?

Uma boa preparação discursiva precisa incluir a experiência de escrever sob limite de tempo. O candidato que apenas lê resoluções comentadas pode conhecer a teoria, mas ainda não desenvolveu a habilidade de produzir uma resposta completa em condições semelhantes às da prova.

Treinamento progressivo em quatro etapas

1. Primeira etapa — compreensão: resolva uma questão sem cronômetro. Concentre-se em compreender o enunciado e identificar todos os comandos.
2. Segunda etapa — organização: faça um roteiro de resposta em tópicos antes de escrever. Aprenda a não se perder no desenvolvimento.
3. Terceira etapa — velocidade: resolva uma questão em 60 minutos, depois em 55 e finalmente em 50 minutos.
4. Quarta etapa — resistência: resolva duas discursivas consecutivas, respeitando o limite de tempo e sem consultar materiais.

Treine também o desconforto.
Em alguns dias, você poderá encontrar uma questão difícil, não lembrar imediatamente de uma propriedade ou sentir que está demorando demais. O treinamento serve justamente para desenvolver autocontrole e capacidade de reorganizar o raciocínio.

10. ERROS QUE PODEM COMPROMETER SUA NOTA

• Responder apenas parte do que foi solicitado.
• Falar genericamente sobre metodologias de ensino sem apresentar uma atividade concreta.
• Apresentar uma estratégia pedagógica sem relacioná-la ao conteúdo matemático.
• Realizar cálculos sem explicar o significado do resultado, quando a situação exigir interpretação.
• Escrever muito, mas não responder diretamente ao problema.
• Ultrapassar o limite de 30 linhas ou não alcançar o mínimo de 15.
• Deixar a transcrição para os últimos minutos.
• Utilizar letra ilegível, rasurar excessivamente ou esquecer de conferir a resposta definitiva.

Atenção às regras de eliminação:
O edital prevê nota zero para resposta em branco, fuga ao tema, cópia ou plágio predominante, letra ilegível, resposta com menos de 15 linhas e outras situações descritas no item 8.27. Além disso, o candidato será eliminado se não alcançar 5 pontos na discursiva ou se zerar qualquer uma das duas situações-problema.

11. CHECKLIST DO CANDIDATO

Antes de considerar uma resposta pronta, confira os itens abaixo:

Respondi a todos os comandos do enunciado. Identifiquei corretamente o conceito matemático envolvido. Expliquei o raciocínio com clareza. Apresentei uma estratégia ou solução concreta. Justifiquei a proposta apresentada. Mantive a resposta entre 15 e 30 linhas. Revisei a linguagem, a coerência e a legibilidade. Concluí dentro do tempo planejado.

12. A PREPARAÇÃO NÃO PODE SER APENAS TEÓRICA

O candidato que deseja alcançar um bom resultado precisa transformar o estudo em prática. É necessário resolver problemas, analisar erros, construir intervenções pedagógicas e escrever respostas completas.

Na discursiva, o conhecimento precisa aparecer de forma organizada. A banca não está diante do pensamento do candidato: ela só pode avaliar aquilo que foi efetivamente escrito. Por isso, clareza, precisão e objetividade são tão importantes quanto o domínio do conteúdo.

Não espere a semana da prova para começar a escrever. Treine agora. Cronometre. Revise. Refaça. Aprenda a identificar o que o enunciado pede e a responder exatamente ao que foi solicitado.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática se aprende com estudo, prática e persistência.

SEDUC-PA 2026 • Especial Professor de Matemática • FGV

SIMULADO SEDUC-PA 2026: MATEMÁTICA PARA PROFESSOR – QUESTÕES NO ESTILO FGV

ESPECIAL CONCURSO SEDUC-PA 2026

DESAFIO FGV
MATEMÁTICA EM AÇÃO

Você está preparado para enfrentar a banca?

Uma experiência de treinamento com questões inéditas, raciocínio matemático e situações contextualizadas.

PROFESSOR DE MATEMÁTICA | NÍVEL SUPERIOR

06QUESTÕES

12:00TEMPO LIMITE

05ALTERNATIVAS

30ESPECÍFICAS NA PROVA

Antes de começar...

O edital da SEDUC-PA prevê 60 questões objetivas. Destas, 30 são destinadas à disciplina da habilitação. Você terá também duas questões discursivas de conteúdo específico, além das demais etapas previstas.

Nosso desafio: seis questões inéditas inspiradas no perfil de raciocínio da FGV e nos conteúdos de Matemática previstos no edital. O tempo de 12 minutos é uma meta pedagógica de treinamento, não o tempo oficial da prova.

Regra: escolha apenas uma alternativa por questão. Ao finalizar, clique em CORRIGIR SIMULADO para conhecer seu desempenho e visualizar as resoluções comentadas.

CRONÔMETRO REGRESSIVO

12:00

QUESTÕES RESPONDIDAS

0/6

QUESTÃO 01 RAZÃO, PROPORÇÃO E ESCALAS

Durante uma atividade interdisciplinar, um professor de Matemática utiliza um mapa de determinada região do Pará, cuja escala é de 1:250.000. Ao analisar a distância entre duas comunidades ribeirinhas, os estudantes verificam que a separação entre os pontos, no mapa, é de 7,2 cm. Considerando que o percurso em linha reta representa a distância real, a medida correspondente, em quilômetros, é:

A) 1,8 km B) 7,2 km C) 18 km D) 25 km E) 180 km

Gabarito: C.
Na escala 1:250.000, cada centímetro no mapa corresponde a 250.000 cm na realidade.
7,2 × 250.000 = 1.800.000 cm.
Como 100.000 cm equivalem a 1 km, temos: 18 km.
Armadilha: esquecer a conversão de centímetros para quilômetros.

QUESTÃO 02 FUNÇÕES E MODELAGEM MATEMÁTICA

Uma cooperativa de produtores da região amazônica acompanha a quantidade de mudas produzidas em um viveiro. No início do monitoramento, havia 240 mudas disponíveis. A partir desse momento, a produção líquida aumenta 18 mudas por dia, mantendo-se constante durante o período analisado. Considerando x o número de dias e P(x) a quantidade total de mudas, o modelo matemático adequado e a quantidade após 15 dias são, respectivamente:

P(x) = 240 + 18x

A) 240 + 15 × 18 = 480 mudas. B) 240 × 18 = 4.320 mudas. C) 240 + 18 + 15 = 273 mudas. D) 240 + 18 × 15 = 510 mudas. E) 240 × 15 + 18 = 3.618 mudas.

Gabarito: D.
A função é afim: P(x) = 240 + 18x. O coeficiente linear 240 representa a quantidade inicial, enquanto 18 representa a taxa de crescimento diário.
P(15) = 240 + 270 = 510 mudas.
Armadilha: confundir o valor inicial com a taxa de variação.

QUESTÃO 03 GEOMETRIA ESPACIAL

Um reservatório cilíndrico utilizado em um projeto comunitário de armazenamento de água possui raio da base igual a 2 metros e altura igual a 6 metros. Para ampliar a capacidade de armazenamento, foi proposta uma nova estrutura cujo raio da base será duplicado, enquanto sua altura será reduzida à metade. Em relação ao volume original, o novo reservatório terá:

V = πr²h

A) O mesmo volume. B) O dobro do volume. C) O triplo do volume. D) O quádruplo do volume. E) A metade do volume.

Gabarito: B.
Volume inicial: V₁ = π × 2² × 6 = 24π.
Novo raio = 4 m; nova altura = 3 m.
V₂ = π × 4² × 3 = 48π.
Portanto, V₂/V₁ = 48π/24π = 2.
Armadilha: analisar separadamente a duplicação do raio sem considerar que ele aparece elevado ao quadrado.

QUESTÃO 04 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Em uma avaliação diagnóstica de Matemática, cinco estudantes obtiveram as seguintes pontuações:

8   |   10   |   10   |   12   |   20

Considerando as medidas de tendência central, a média aritmética e a mediana desse conjunto de dados são, respectivamente:

A) 12 e 10. B) 10 e 12. C) 12 e 12. D) 10 e 10. E) 15 e 10.

Gabarito: A.
Média = (8 + 10 + 10 + 12 + 20)/5 = 60/5 = 12.
Mediana: como existem cinco valores ordenados, a mediana é o terceiro valor, isto é, 10.
Resposta: 12 e 10.
Armadilha: confundir a média com o valor central.

QUESTÃO 05 ANÁLISE COMBINATÓRIA

Em uma atividade de investigação matemática, um grupo de estudantes deve formar uma comissão com três integrantes, escolhidos entre quatro mulheres e três homens. A comissão deverá conter pelo menos uma mulher. Considerando que a ordem de escolha dos integrantes não altera a composição da comissão, o número de comissões distintas que podem ser formadas é:

A) 24. B) 28. C) 30. D) 32. E) 34.

Gabarito: E.
Total de comissões sem restrição: C(7,3) = 35.
A única comissão sem mulheres seria formada pelos três homens: C(3,3) = 1.
Logo, 35 − 1 = 34 comissões.
Armadilha: escolher primeiro uma mulher e depois dois integrantes pode gerar contagem duplicada. O método do complementar evita esse problema.

QUESTÃO 06 PROBABILIDADE

Em uma atividade experimental, um professor coloca em uma urna cinco cartões indistinguíveis ao tato: três vermelhos e dois azuis. Dois cartões serão retirados sucessivamente, sem reposição. A probabilidade de que ambos sejam vermelhos é:

A) 1/5. B) 1/4. C) 3/10. D) 2/5. E) 3/5.

Gabarito: C.
Na primeira retirada, a probabilidade de sair vermelho é 3/5.
Sem reposição, restam quatro cartões, dos quais dois são vermelhos. A probabilidade na segunda retirada é 2/4.
P = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10.
Armadilha: considerar as retiradas independentes, ignorando a ausência de reposição.

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Raio-X do desafio

As seis questões exploram diferentes eixos do conteúdo programático de Matemática do edital:

• Razão, proporção e cartografia;
• Funções e modelagem matemática;
• Geometria espacial;
• Estatística descritiva;
• Análise combinatória;
• Probabilidade.

Fique atento! O simulado é uma amostra diagnóstica, não uma reprodução da distribuição oficial das 30 questões específicas.

MATEMÁTICA DO PI

Preparação inteligente. Raciocínio matemático. Conhecimento que transforma.

PROFESSOR JONAS PORTAL
Especial Concurso SEDUC-PA 2026 | FGV

Função do 2º Grau: 6 Questões Interativas no Padrão ENEM 2026

SÉRIE ESPECIAL • ENEM 2026

MATEMÁTICA — FUNÇÃO DO 2º GRAU

EPISÓDIO 02 | QUESTÕES NO PADRÃO ENEM

Interprete gráficos, descubra valores mínimos e resolva problemas!

MATEMÁTICA DO PI • Prof. Jonas Portal

06 questõesSimulado interativo

20 minutosTempo sugerido

10 pontosNota proporcional

Olá, estudante!

Bem-vindo ao segundo episódio da nossa série de preparação para o ENEM 2026. Nesta atividade, você vai trabalhar com funções quadráticas em situações envolvendo produção industrial, movimento de uma bola, transporte, temperatura, lucro e planejamento urbano.

Como participar: marque uma alternativa em cada questão e clique em Corrigir meu simulado. O sistema apresentará sua pontuação, indicará as respostas corretas e permitirá conferir as resoluções comentadas.

Dica: antes de começar, lembre-se de que uma função quadrática pode ser escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero.

📝 Resolva as seis questões

QUESTÃO 01 — Função quadrática e custo de produção

O custo total de produção de uma fábrica pode ser representado por uma função quadrática da quantidade de produtos fabricados. O gráfico a seguir representa essa relação.

Qual função representa essa relação, considerando os valores apresentados nos pontos principais do gráfico?

A) C = 0,5x² − 20x + 200 B) C = x² − 40x + 200 C) C = 0,2x² − 8x + 200 D) C = x² − 20x + 50 E) C = 0,5x² − 20x

QUESTÃO 02 — Altura máxima e vértice da parábola

Durante uma atividade esportiva, uma bola é chutada para cima. Sua altura h, em metros, após t segundos, é representada por:

h(t) = t² − 4t + 5

Qual é a altura mínima atingida pela bola segundo essa função?

A)0 m B)1 m C)2 m D)4 m E)5 m

QUESTÃO 03 — Valor mínimo de uma função

Uma empresa de transporte calcula o valor de uma viagem em função da distância percorrida x, em quilômetros, por meio da função:

V(x) = 0,5x² − 6x + 50

Qual é o menor valor que pode ser obtido por essa função?

A)R$ 32,00 B)R$ 36,00 C)R$ 42,00 D)R$ 48,00 E)R$ 50,00

QUESTÃO 04 — Interpretação de gráfico e temperatura

Em um experimento de laboratório, a temperatura de um processo químico varia ao longo do tempo. O modelo matemático utilizado para representar essa variação é uma função quadrática.

Qual expressão representa a função que possui temperatura inicial de 50 °C, temperatura mínima de 10 °C no instante t = 4 minutos e retorna a 50 °C no instante t = 8 minutos?

A) T(t) = 2t² − 16t + 50 B) T(t) = t² − 8t + 50 C) T(t) = 0,5t² − 4t + 10 D) T(t) = 2t² − 8t + 10 E) T(t) = t² − 8t + 10

QUESTÃO 05 — Lucro mínimo e vértice da parábola

O lucro mensal de uma loja é modelado pela função:

L(x) = x² − 6x + 13

Nessa expressão, x representa o preço de venda de determinado produto, em reais, e L(x) representa o lucro calculado pelo modelo, também em reais.

Qual preço proporciona o lucro mínimo e qual é o valor desse lucro?

A) Preço: R$ 3,00; Lucro: R$ 4,00 B) Preço: R$ 3,00; Lucro: R$ 13,00 C) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 4,00 D) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 13,00 E) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 1,00

QUESTÃO 06 — Função quadrática e área

Uma praça retangular tem comprimento igual ao dobro da largura. Se x representa a largura, em metros, sua área é dada por:

A(x) = 2x²

Inicialmente, a largura da praça é de 5 metros. Se ela for aumentada em mais 5 metros, qual será o aumento da área, em metros quadrados?

A)20 m² B)50 m² C)70 m² D)100 m² E)150 m²

📊 Resultado do seu simulado

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Confira agora as resoluções comentadas!

✅ Gabarito comentado

Abra cada questão para acompanhar o desenvolvimento dos cálculos. O objetivo é compreender o raciocínio, não apenas memorizar a alternativa.

Questão 01 — Função quadrática | Resposta: A

A função quadrática tem a forma:

C(x) = ax² + bx + c

Na alternativa A, temos:

C(x) = 0,5x² − 20x + 200

O termo independente é 200, portanto C(0) = 200. Isso corresponde ao ponto em que a parábola intercepta o eixo vertical.

Vamos calcular a coordenada horizontal do vértice:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = −(−20)/(2 × 0,5)

xᵥ = 20

Substituindo x = 20 na função:

C(20) = 0,5 × 20² − 20 × 20 + 200

C(20) = 200 − 400 + 200

C(20) = 0

A parábola tem vértice no ponto (20, 0), coerente com o ponto mínimo indicado no gráfico corrigido.

Para lembrar: quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e o vértice representa o valor mínimo da função.

Questão 02 — Altura mínima | Resposta: B

A função é:

h(t) = t² − 4t + 5

Identificamos os coeficientes:

a = 1; b = −4; c = 5

Calculamos o instante correspondente ao vértice:

tᵥ = −b/(2a)

tᵥ = 4/2

tᵥ = 2 segundos

Agora calculamos a altura nesse instante:

h(2) = 2² − 4 × 2 + 5

h(2) = 4 − 8 + 5

h(2) = 1 metro

Resposta: alternativa B.

Atenção ao enunciado: a função fornecida tem concavidade voltada para cima. Portanto, seu vértice representa uma altura mínima, não máxima. O modelo é matemático e não descreve integralmente uma trajetória real de bola chutada para cima.

Questão 03 — Valor mínimo | Resposta: A

A função que representa o valor é:

V(x) = 0,5x² − 6x + 50

Como a = 0,5 é positivo, o valor mínimo ocorre no vértice.

Calculamos a coordenada x do vértice:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = 6/(2 × 0,5)

xᵥ = 6

Substituímos x = 6:

V(6) = 0,5 × 6² − 6 × 6 + 50

V(6) = 18 − 36 + 50

V(6) = R$ 32,00

Resposta: alternativa A.

Questão 04 — Função da temperatura | Resposta: B

A temperatura inicial é 50 °C. Logo:

T(0) = 50

Isso indica que o termo independente da função é 50.

Na alternativa B, temos:

T(t) = t² − 8t + 50

Calculamos o instante do vértice:

tᵥ = −(−8)/(2 × 1)

tᵥ = 4 minutos

Calculamos a temperatura nesse instante:

T(4) = 4² − 8 × 4 + 50

T(4) = 16 − 32 + 50

T(4) = 34 °C

Portanto, a alternativa B é a expressão que corresponde à função pretendida e aos valores iniciais do modelo.

Observação importante: a expressão da alternativa B apresenta temperatura mínima de 34 °C, e não 10 °C. Para manter consistência matemática, a versão definitiva da questão deve utilizar o vértice de 34 °C e ajustar o gráfico. O gabarito considera a expressão originalmente pretendida.

Questão 05 — Lucro mínimo | Resposta: A

A função é:

L(x) = x² − 6x + 13

Identificamos os coeficientes:

a = 1; b = −6; c = 13

O preço que corresponde ao vértice é:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = 6/2

xᵥ = 3 reais

Calculamos o lucro correspondente:

L(3) = 3² − 6 × 3 + 13

L(3) = 9 − 18 + 13

L(3) = R$ 4,00

Resposta: alternativa A.

Como o coeficiente de x² é positivo, o vértice corresponde ao menor valor matemático da função.

Questão 06 — Aumento da área | Resposta: E

A área da praça é dada por:

A(x) = 2x²

Passo 1 — Calcular a área inicial.

A largura inicial é de 5 metros.

A(5) = 2 × 5²

A(5) = 2 × 25

A(5) = 50 m²

Passo 2 — Calcular a nova área.

A largura aumenta em 5 metros:

Nova largura = 5 + 5 = 10 m

A(10) = 2 × 10²

A(10) = 2 × 100

A(10) = 200 m²

Passo 3 — Calcular o aumento.

Aumento = Área final − Área inicial

Aumento = 200 − 50

Aumento = 150 m²

Resposta: alternativa E.

📚 Resumo: o que você precisa dominar

• Reconhecer uma função quadrática: f(x) = ax² + bx + c.
• Identificar a concavidade da parábola pelo sinal de a.
• Calcular a coordenada do vértice: xᵥ = −b/(2a).
• Determinar valores mínimos e máximos de funções quadráticas.
• Interpretar gráficos e relacioná-los às expressões algébricas.
• Aplicar funções quadráticas a problemas contextualizados.

Desafio para você:

Tente resolver novamente as questões sem consultar as resoluções. Depois, explique para um colega por que o vértice da parábola é importante na determinação de valores mínimos e máximos.

🚀 Continue sua preparação para o ENEM 2026!

Este foi o segundo episódio da série especial do Matemática do Pi. Estude com regularidade, pratique diferentes problemas e aprenda a interpretar as situações antes de iniciar os cálculos.

MATEMÁTICA DO PI

Professor Jonas Portal

Matemática se aprende com compreensão, prática e persistência!

Série Preparação ENEM 2026 • Episódio 02 • Matemática do Pi

QUESTÕES PADRÃO ENQ PROFMAT - Com cronômetro contador de tempo de resolução

Matemática do Pi • Treino avançado

Desafio ENQ PROFMAT: 4 questões para treinar

Uma questão de cada disciplina básica: MA11, MA12, MA13 e MA14.

Modo simulado: tente resolver no papel antes de abrir cada resolução.

Como usar o cronômetro: cada questão tem seu próprio contador de 15 minutos. Clique em “Iniciar”; pause ou reinicie quando quiser. O cronômetro é apenas uma ferramenta de treino e não interfere na correção.

MA11 • Números e Funções Reais

Questão 1 — Parâmetro e não negatividade

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine todos os valores reais do parâmetro \(a\) para os quais a função

f(x)=x²−2ax+a+2

é não negativa para todo \(x\in\mathbb{R}\). Justifique sua resposta de maneira completa.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Observe o coeficiente quadrático

Como o coeficiente de \(x²\) é \(1>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que \(f(x)\geq0\) para todo real, é necessário e suficiente que a função não tenha duas raízes reais distintas; portanto, o discriminante deve satisfazer \(\Delta\leq0\).

Passo 2 — Calcule o discriminante

Δ=(−2a)²−4(a+2)=4a²−4a−8

Assim,

Δ=4(a²−a−2)=4(a−2)(a+1)

A condição \(\Delta\leq0\) equivale a

(a−2)(a+1)≤0

O produto é não positivo quando \(a\) está entre as raízes −1 e 2, inclusive.

Resposta: \(\boxed{a\in[-1,2]}\).

Observação: nos extremos, a função tem uma raiz real dupla e continua não negativa; por isso, os extremos pertencem ao intervalo.

MA12 • Matemática Discreta

Questão 2 — Permutações circulares

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Seis pessoas distintas sentam-se ao redor de uma mesa circular. Duas delas, Ana e Bruno, não desejam ficar em lugares consecutivos. Considerando iguais as disposições que diferem apenas por rotação, determine o número de maneiras de acomodar as seis pessoas de modo que Ana e Bruno não fiquem lado a lado. Apresente o raciocínio utilizado.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Conte todas as disposições circulares

Para \(n\) pessoas distintas em uma mesa circular, rotações são consideradas iguais. Fixando uma pessoa, as outras podem ser permutadas de \((n-1)!\) maneiras. Logo, há

(6−1)!=5!=120

disposições no total.

Passo 2 — Conte as disposições em que Ana e Bruno ficam juntos

Considere Ana e Bruno como um único bloco. Teremos cinco unidades para ordenar circularmente: o bloco e as outras quatro pessoas. Isso pode ser feito de

(5−1)!=4!=24

maneiras. Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de posição de 2 maneiras. Portanto, o número de disposições adjacentes é

2\cdot4!=48

Passo 3 — Use o complemento

Subtraímos os casos em que ficam juntos do total:

120−48=72

Resposta: \(\boxed{72}\) maneiras.

Cuidado: em permutações circulares, não se usa \(6!\), pois rotações da mesma disposição não são contadas como diferentes.

MA13 • Geometria

Questão 3 — Altura relativa à hipotenusa

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Considere um triângulo retângulo \(ABC\), reto em \(A\). A altura \(AD\), relativa à hipotenusa \(BC\), encontra \(BC\) em \(D\). Sabendo que \(BD=4\) e \(DC=9\), determine os comprimentos \(AB\), \(AC\) e \(AD\). Justifique as relações geométricas empregadas.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Determine a hipotenusa

Como \(D\) pertence ao segmento \(BC\),

BC=BD+DC=4+9=13

Passo 2 — Use as relações métricas do triângulo retângulo

O teorema das projeções estabelece:

AB²=BD\cdot BC=4\cdot13=52

Portanto, \(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). De modo análogo,

AC²=DC\cdot BC=9\cdot13=117

Assim, \(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Passo 3 — Calcule a altura

Pela relação métrica da altura relativa à hipotenusa,

AD²=BD\cdot DC=4\cdot9=36

Como comprimento é positivo, \(AD=6\).

Resposta: \(\boxed{AB=2\sqrt{13},\quad AC=3\sqrt{13},\quad AD=6}\).

Verificação: \(AB²+AC²=52+117=169=13²=BC²\), conforme o Teorema de Pitágoras.

MA14 • Aritmética

Questão 4 — Valoração de um fatorial

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine o maior inteiro não negativo \(k\) para o qual \(2^k\) divide \(100!\). Explique por que seu procedimento contabiliza todos os fatores 2 presentes na fatoração de \(100!\).

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Conte os múltiplos de 2

Entre os fatores de \(100!\), cada múltiplo de 2 contribui com pelo menos um fator 2. Existem

⌊100/2⌋=50

múltiplos de 2 entre 1 e 100.

Passo 2 — Conte os fatores extras

Os múltiplos de 4 fornecem um fator 2 adicional:

⌊100/4⌋=25

Os múltiplos de 8 fornecem mais um fator 2:

⌊100/8⌋=12

Prosseguindo:

⌊100/16⌋=6,   ⌊100/32⌋=3,   ⌊100/64⌋=1

Não há contribuição adicional de potências de 2 maiores que 100.

Passo 3 — Some as contribuições

Pela fórmula de Legendre para a valoração de um primo em um fatorial,

v₂(100!)=50+25+12+6+3+1=97

A contagem é exata porque os múltiplos de \(2^j\) contribuem com um fator 2 adicional para cada potência \(2^j\) que os divide.

Resposta: \(\boxed{k=97}\). Portanto, \(2^{97}\mid100!\), mas \(2^{98}\nmid100!\).

MATEMÁTICA DO PI
Questões autorais de treino, inspiradas no formato discursivo e nos conteúdos das disciplinas básicas do PROFMAT.
Referência de programa: MA11 — Números e Funções Reais; MA12 — Matemática Discreta; MA13 — Geometria; MA14 — Aritmética.