Hoje é o dia do Pi

 Hoje, os matemáticos celebram o DIA DO PI (3/14 na notação norte-americana), pois a maioria das pessoas conhece a aproximação 3,14 para o π.
O ponto forte das comemorações acontece à 1:59 da tarde, considerando 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal.

Do mesmo modo que as pessoas celebram o Dia dos Namorados ou outros dias comemorativos, pessoas (principalmente os ligados às áreas de exatas) ao redor do mundo reverenciam essa razão relacionada à circunferência e seu diâmetro e que é uma das  mais belas constantes matemáticas do universo.

Só pra constar, hoje 14 de março, também é o dia do nascimento de Albert Einstein, o que agrega mais fãs das ciências exatas às comemorações.

O SOM DO PI 

O músico Michael John Blake resolveu interpretar musicalmente o número Pi.

Ouça essa obra de arte!!

Ouça também a música de Kate Bush com o nome "PI". Ele canta algumas casas decimais do pi.

 

O Número Pi

Um post atrasado sobre o PI, que comemoramos no Dia 14 de março (3/14 na notação norte-americana), por 3,14 ser a aproximação mais conhecida de π. O auge das comemorações aconteceu à 1:59 da tarde (porque 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal).

Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que

O nome “pi”, usando a letra grega, foi introduzido pela primeira vez em 1706 por William Jones (1675-1749).

Dez mil casas decimais do Pi:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628628998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638937787083039069792077346722182562599661501421503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268561005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017350671274858322287183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314126711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913276561809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213144957685726243344189303968642624341077322697802807318915441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901938971311179042978285647503203198691514028708085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366393790039769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296617119637792133757511495950156604963186294726547364252308177036751590673502350728354056704038674351362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326047215695162396586457302163159819319516735381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416314965897940924323789690706977942236250822168895738379862300159377647165122893578601588161755782973523344604281512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541341899485444734567383162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332316663652861932668633606273567630354477628035045077723554710585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788518529092854520116583934196562134914341595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777756068887644624824685792603953527734803048029005876075825104747091643961362676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460290161876679524061634252257719542916299193064553779914037340432875262888963995879475729174642635745525407909145135711136941091193932519107602082520261879853188770584297259167781314969900901921169717372784768472686084900337702424291651300500516832336435038951702989392233451722013812806965011784408745196012122859937162313017114448464090389064495444006198690754851602632750529834918740786680881833851022833450850486082503930213321971551843063545500766828294930413776552793975175461395398468339363830474611996653858153842056853386218672523340283087112328278921250771262946322956398989893582116745627010218356462201349671518819097303811980049734072396103685406643193950979019069963955245300545058068550195673022921913933918568034490398205955100226353536192041994745538593810234395544959778377902374216172711172364343543947822181852862408514006660443325888569867054315470696574745855033232334210730154594051655379068662733379958511562578432298827372319898757141595781119635833005940873068121602876496286744604774649159950549737425626901049037781986835938146574126804925648798556145372347867330390468838343634655379498641927056387293174872332083760112302991136793862708943879936201629515413371424892830722012690147546684765357616477379467520049075715552781965362132392640616013635815590742202020318727760527721900556148425551879253034351398442532234157623361064250639049750086562710953591946589751413103482276930624743536325691607815478181152843667957061108615331504452127473924544945423682886061340841486377670096120715124914043027253860764823634143346235189757664521641376796903149501910857598442391986291642193994907236234646844117394032659184044378051333894525742399508296591228508555821572503107125701266830240292952522011872676756220415420516184163484756516999811614101002996078386909291603028840026910414079288621507842451670908700069928212066041837180653556725253256753286129104248776182582976515795984703562226293486003415872298053498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250391275771028402799806636582548892648802545661017296702664076559042909945681506526530537182941270336931378517860904070866711496558343434769338578171138645587367812301458768712660348913909562009939361031029161615288138437909904231747336394804575931493140529763475748119356709110137751721008031559024853090669203767192203322909433467685142214477379393751703443661991040337511173547191855046449026365512816228824462575916333039107225383742182140883508657391771509682887478265699599574490661758344137522397096834080053559849175417381883999446974867626551658276584835884531427756879002909517028352971634456212964043523117600665101241200659755851276178583829204197484423608007193045761893234922927965019875187212726750798125547095890455635792122103334669749923563025494780249011419521238281530911407907386025152274299581807247162591668545133312394804947079119153267343028244186041426363954800044800267049624820179289647669758318327131425170296923488962766844032326092752496035799646925650493681836090032380929345958897069536534940603402166544375589004563288225054525564056448246515187547119621844396582533754388569094113031509526179378002974120766514793942590298969594699556576121865619673378623625612521632086286922210327488921865436480229678070576561514463204692790682120738837781423356282360896320806822246801224826117718589638140918390367367222088832151375560037279839400415297002878307667094447456013455641725437090697939612257142989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124247014121478057345510500801908699603302763478708108175450119307141223390866393833952942578690507643100638351983438934159613185434754649556978103829309716465143840700707360411237359984345225161050702705623526601276484830840761183013052793205427462865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869735020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998953539459094407046912091409387001264560016237428802109276457931065792295524988727584610126483699989225695968815920560010165525637568

ENEM 2026: ENTENDA OS TESTLETS E O QUE MUDA NA TRI

Em 2025, o ENEM passou por uma das maiores mudanças de sua história recente: a introdução dos Testlets, um formato de questões já utilizado em avaliações internacionais e em diversos vestibulares brasileiros. A expectativa é que, em 2026, esse modelo seja ampliado para outras áreas do conhecimento.

Mas afinal:

• O que são Testlets?
• Eles substituem a TRI?
• A Matemática ficará mais difícil?
• Como isso afeta sua nota?

Vamos entender.

O que são Testlets?

Tradicionalmente, cada questão do ENEM possuía seu próprio texto-base.

Com os Testlets, várias questões passam a ser construídas a partir de um mesmo contexto.

Imagine uma reportagem sobre o consumo de água em uma cidade.

A partir desse único texto podem surgir:

• uma questão de porcentagem;
• uma questão de função;
• uma questão de interpretação de gráfico;
• uma questão de estatística.

O estudante precisa analisar um conjunto de informações para resolver diferentes problemas. Segundo o INEP, o objetivo é tornar a prova mais contextualizada e integrada.

VEJA:

Testlets NÃO são TRI

Muitos estudantes acreditam que os Testlets substituem a TRI.

Isso não é verdade.

Os Testlets são apenas uma forma de organizar as questões.

A TRI continua sendo o método utilizado para calcular a nota do ENEM.

Podemos fazer uma analogia:

• Testlets = formato das perguntas;
• TRI = forma de corrigir e atribuir a nota.

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Como funciona a TRI?

A TRI não analisa apenas quantas questões você acertou.

Ela também observa:

1. A dificuldade das questões.
2. A capacidade de discriminação de cada item.
3. A coerência do padrão de respostas.

Por isso, dois alunos com o mesmo número de acertos podem receber notas diferentes.

---

Exemplo Matemático da TRI

Imagine uma prova com:

• Questões fáceis
• Questões médias
• Questões difíceis

Aluno A:

✓ Acerta quase todas as fáceis

✓ Acerta várias médias

✓ Erra a maioria das difíceis

Aluno B:

✓ Erra muitas fáceis

✓ Acerta algumas difíceis

Embora ambos tenham 30 acertos, a TRI tende a favorecer o Aluno A.

Por quê?

Porque seu padrão de respostas é mais coerente com alguém que realmente domina o conteúdo.

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Exemplo usando um Testlet

Considere a tabela:

Ano	Número de usuários
2022	1000
2023	1500
2024	2250

A partir dela poderiam surgir três questões.

Questão 1

Qual foi o crescimento percentual de 2022 para 2023?

A) 25%

B) 50%

C) 75%

D) 100%

Resposta:

$$$$1500−10001000=0,5\frac{1500-1000}{1000}=0,5

Logo:

$$50\%$$

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Questão 2

Supondo o mesmo padrão de crescimento, quantos usuários haverá em 2025?

Resposta:

$$2250\times1,5=3375$$

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Questão 3

A situação pode ser modelada por qual tipo de função?

A) Afim

B) Quadrática

C) Exponencial

D) Constante

Resposta:

C) Exponencial.

Observe que as três questões nasceram do mesmo contexto.

Isso é um Testlet.

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O que muda para quem fará o ENEM 2026?

O estudante precisará desenvolver ainda mais:

• interpretação de texto;
• leitura de gráficos;
• análise de tabelas;
• raciocínio lógico;
• conexão entre conteúdos.

A tendência é diminuir questões puramente mecânicas e aumentar questões que exigem compreensão profunda da situação apresentada.

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Os Testlets representam uma mudança importante no ENEM.

A Matemática deixa de ser apenas cálculo e passa a exigir cada vez mais interpretação e modelagem.

A TRI continua existindo e continuará valorizando quem apresenta um padrão consistente de acertos.

Por isso, para o ENEM 2026, não basta decorar fórmulas.

Será necessário compreender contextos, interpretar informações e construir estratégias de resolução.

Quem entender Matemática além das contas estará um passo à frente.

QUESTÃO TESTLET – ENEM 2026

Nós, do Matemática do PI, criamos um exemplo para treinar...

(ENEM 2026) O blog Matemática do PI registrou o número de acessos mensais durante os quatro primeiros meses de 2026.

Mês	Número de acessos
Janeiro	2.000
Fevereiro	2.600
Março	3.380
Abril	4.394

Com base nessas informações, responda às questões 1, 2, 3 e 4.

---

QUESTÃO 1

O crescimento percentual do número de acessos de janeiro para fevereiro foi:

A) 20%

B) 25%

C) 30%

D) 40%

E) 60%

QUESTÃO 2

Mantendo-se o mesmo padrão de crescimento observado na tabela, o número esperado de acessos em maio será aproximadamente:

A) 5.000

B) 5.200

C) 5.712

D) 6.000

E) 6.500

QUESTÃO 3

O crescimento dos acessos pode ser melhor representado por uma função:

A) Constante

B) Afim

C) Quadrática

D) Exponencial

E) Logarítmica

---

QUESTÃO 4

Suponha que o administrador do blog deseje atingir 10.000 acessos mensais mantendo a mesma taxa de crescimento observada na tabela.

Após abril, o número mínimo de meses necessários para atingir essa meta será:

A) 2 meses

B) 3 meses

C) 4 meses

D) 5 meses

E) 6 meses

Gabarito: 

1-B

2-C

3-D

4-C

Resolução da 4ª

A razão de crescimento é:

$$\frac{2600}{2000}=1,3$$

Logo:

Maio:

$$4394 \times 1,3 = 5712$$

Junho:

$$5712 \times 1,3 = 7426$$

Julho:

$$7426 \times 1,3 = 9654$$

Agosto:

$$9654 \times 1,3 = 12550$$

Portanto, serão necessários 4 meses após abril (maio, junho, julho e agosto).

Resposta: C

---

Comentário pedagógico (estilo ENEM 2026)

Observe que todas as questões foram construídas a partir de um único contexto: o crescimento dos acessos do Matemática do PI. Esse é exatamente o princípio dos Testlets: várias habilidades matemáticas avaliadas a partir da mesma situação-problema.

Competências mobilizadas:

✔ Leitura de tabela

✔ Porcentagem

✔ Progressão geométrica

✔ Função exponencial

✔ Interpretação de dados

✔ Projeção de cenários

✔ Modelagem matemática

Esse é o tipo de estrutura que tende a aparecer com mais frequência no ENEM 2026.

QUESTÕES PADRÃO ENQ PROFMAT - Com cronômetro contador de tempo de resolução

Matemática do Pi • Treino avançado

Desafio ENQ PROFMAT: 4 questões para treinar

Uma questão de cada disciplina básica: MA11, MA12, MA13 e MA14.

Modo simulado: tente resolver no papel antes de abrir cada resolução.

Como usar o cronômetro: cada questão tem seu próprio contador de 15 minutos. Clique em “Iniciar”; pause ou reinicie quando quiser. O cronômetro é apenas uma ferramenta de treino e não interfere na correção.

MA11 • Números e Funções Reais

Questão 1 — Parâmetro e não negatividade

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine todos os valores reais do parâmetro \(a\) para os quais a função

f(x)=x²−2ax+a+2

é não negativa para todo \(x\in\mathbb{R}\). Justifique sua resposta de maneira completa.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Observe o coeficiente quadrático

Como o coeficiente de \(x²\) é \(1>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que \(f(x)\geq0\) para todo real, é necessário e suficiente que a função não tenha duas raízes reais distintas; portanto, o discriminante deve satisfazer \(\Delta\leq0\).

Passo 2 — Calcule o discriminante

Δ=(−2a)²−4(a+2)=4a²−4a−8

Assim,

Δ=4(a²−a−2)=4(a−2)(a+1)

A condição \(\Delta\leq0\) equivale a

(a−2)(a+1)≤0

O produto é não positivo quando \(a\) está entre as raízes −1 e 2, inclusive.

Resposta: \(\boxed{a\in[-1,2]}\).

Observação: nos extremos, a função tem uma raiz real dupla e continua não negativa; por isso, os extremos pertencem ao intervalo.

MA12 • Matemática Discreta

Questão 2 — Permutações circulares

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Seis pessoas distintas sentam-se ao redor de uma mesa circular. Duas delas, Ana e Bruno, não desejam ficar em lugares consecutivos. Considerando iguais as disposições que diferem apenas por rotação, determine o número de maneiras de acomodar as seis pessoas de modo que Ana e Bruno não fiquem lado a lado. Apresente o raciocínio utilizado.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Conte todas as disposições circulares

Para \(n\) pessoas distintas em uma mesa circular, rotações são consideradas iguais. Fixando uma pessoa, as outras podem ser permutadas de \((n-1)!\) maneiras. Logo, há

(6−1)!=5!=120

disposições no total.

Passo 2 — Conte as disposições em que Ana e Bruno ficam juntos

Considere Ana e Bruno como um único bloco. Teremos cinco unidades para ordenar circularmente: o bloco e as outras quatro pessoas. Isso pode ser feito de

(5−1)!=4!=24

maneiras. Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de posição de 2 maneiras. Portanto, o número de disposições adjacentes é

2\cdot4!=48

Passo 3 — Use o complemento

Subtraímos os casos em que ficam juntos do total:

120−48=72

Resposta: \(\boxed{72}\) maneiras.

Cuidado: em permutações circulares, não se usa \(6!\), pois rotações da mesma disposição não são contadas como diferentes.

MA13 • Geometria

Questão 3 — Altura relativa à hipotenusa

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Considere um triângulo retângulo \(ABC\), reto em \(A\). A altura \(AD\), relativa à hipotenusa \(BC\), encontra \(BC\) em \(D\). Sabendo que \(BD=4\) e \(DC=9\), determine os comprimentos \(AB\), \(AC\) e \(AD\). Justifique as relações geométricas empregadas.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Determine a hipotenusa

Como \(D\) pertence ao segmento \(BC\),

BC=BD+DC=4+9=13

Passo 2 — Use as relações métricas do triângulo retângulo

O teorema das projeções estabelece:

AB²=BD\cdot BC=4\cdot13=52

Portanto, \(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). De modo análogo,

AC²=DC\cdot BC=9\cdot13=117

Assim, \(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Passo 3 — Calcule a altura

Pela relação métrica da altura relativa à hipotenusa,

AD²=BD\cdot DC=4\cdot9=36

Como comprimento é positivo, \(AD=6\).

Resposta: \(\boxed{AB=2\sqrt{13},\quad AC=3\sqrt{13},\quad AD=6}\).

Verificação: \(AB²+AC²=52+117=169=13²=BC²\), conforme o Teorema de Pitágoras.

MA14 • Aritmética

Questão 4 — Valoração de um fatorial

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine o maior inteiro não negativo \(k\) para o qual \(2^k\) divide \(100!\). Explique por que seu procedimento contabiliza todos os fatores 2 presentes na fatoração de \(100!\).

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Conte os múltiplos de 2

Entre os fatores de \(100!\), cada múltiplo de 2 contribui com pelo menos um fator 2. Existem

⌊100/2⌋=50

múltiplos de 2 entre 1 e 100.

Passo 2 — Conte os fatores extras

Os múltiplos de 4 fornecem um fator 2 adicional:

⌊100/4⌋=25

Os múltiplos de 8 fornecem mais um fator 2:

⌊100/8⌋=12

Prosseguindo:

⌊100/16⌋=6,   ⌊100/32⌋=3,   ⌊100/64⌋=1

Não há contribuição adicional de potências de 2 maiores que 100.

Passo 3 — Some as contribuições

Pela fórmula de Legendre para a valoração de um primo em um fatorial,

v₂(100!)=50+25+12+6+3+1=97

A contagem é exata porque os múltiplos de \(2^j\) contribuem com um fator 2 adicional para cada potência \(2^j\) que os divide.

Resposta: \(\boxed{k=97}\). Portanto, \(2^{97}\mid100!\), mas \(2^{98}\nmid100!\).

MATEMÁTICA DO PI
Questões autorais de treino, inspiradas no formato discursivo e nos conteúdos das disciplinas básicas do PROFMAT.
Referência de programa: MA11 — Números e Funções Reais; MA12 — Matemática Discreta; MA13 — Geometria; MA14 — Aritmética.

Por que 180° é igual a π radianos? A história por trás do ciclo trigonométrico.

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Matemática do Pi · Trigonometria sem mistério

Por que 180° é igual a π radianos?

Uma pergunta simples abre uma porta para a história da matemática, para o comprimento da circunferência e para uma das ideias mais elegantes do ciclo trigonométrico.

π

Imagine a cena: você está começando a estudar o ciclo trigonométrico e o professor escreve no quadro 180° = π. É natural perguntar: “Isso é uma convenção? Alguém decidiu que seria assim? Existe uma demonstração?”

A resposta curta é: não é uma igualdade entre o número 180 e o número π. É uma equivalência entre duas maneiras de medir o mesmo ângulo: 180 graus correspondem a π radianos. E essa equivalência pode ser demonstrada usando apenas uma ideia sobre círculos.

A ideia central: os graus dividem uma volta em 360 partes convencionais; os radianos medem o ângulo a partir da relação entre o comprimento do arco e o raio da circunferência.

1. Primeiro mistério: por que usamos 360° em uma volta completa?

Uma volta completa poderia, matematicamente, ser dividida em 100, 400 ou 1.000 partes. O número 360 não é uma lei da natureza: é uma escolha histórica que se consolidou ao longo do tempo.

Uma parte importante dessa história passa pelas antigas civilizações da Mesopotâmia, especialmente pela tradição matemática e astronômica babilônica. Os babilônios utilizavam um sistema de numeração sexagesimal, isto é, de base 60. A astronomia antiga também observava ciclos celestes e organizava o céu por divisões angulares. A divisão da volta em 360 partes foi herdada e desenvolvida ao longo dessa tradição.

O desenho mostra os quatro quadrantes. Cada quarto de volta mede 90°; quatro quartos formam 360°.

Por que 360 é uma escolha conveniente? Além da tradição histórica, ele tem muitos divisores inteiros: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 e outros. Isso facilita dividir uma volta em metades, terços, quartos, sextos e várias frações sem recorrer imediatamente a números decimais.

360 é uma convenção.
Uma volta completa também poderia ser chamada de 1 volta, 400 grados ou 2π radianos.

Mas não é um número aleatório sem contexto.
A escolha se relaciona à história da contagem sexagesimal e da astronomia antiga, embora os detalhes exatos de sua origem sejam debatidos por historiadores.

Curiosidade: a tradição sexagesimal também ajuda a explicar por que dividimos cada grau em 60 minutos de arco e cada minuto em 60 segundos de arco.

2. E o que é um radiano?

Agora vem a ideia decisiva. Imagine uma circunferência de raio r. Escolha dois pontos nela e observe o arco entre eles. O ângulo central correspondente pode ser medido comparando o comprimento desse arco com o raio.

Por definição, um radiano é o ângulo central que determina um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.

Em linguagem matemática, se s é o comprimento do arco e r é o raio, a medida do ângulo em radianos é:

θ = s / r

Repare: estamos dividindo um comprimento por outro comprimento. Por isso, as unidades de comprimento se cancelam. O radiano é uma medida angular adimensional, embora seja muito útil escrever “rad” para deixar claro que estamos usando essa forma de medir.

3. A demonstração: por que meia volta é π radianos?

Vamos demonstrar passo a passo. A fórmula do comprimento de uma circunferência é:

C = 2πr

Em uma volta completa, o arco percorrido é a circunferência inteira. Logo, o comprimento do arco é s = 2πr. Pela definição de radiano:

θ = s/r = (2πr)/r = 2π rad

Portanto, uma volta completa corresponde a 2π radianos. Como essa mesma volta mede 360°, temos a equivalência:

360° = 2π rad

Dividindo os dois lados por 2, obtemos:

180° = π rad

Conclusão: π radianos correspondem a meia volta porque o arco de meia circunferência mede πr. Ao dividir esse comprimento pelo raio r, resulta π. Não precisamos “acreditar” na equivalência: ela vem da definição de radiano e da fórmula da circunferência.

4. Veja a ideia em movimento

Arraste o controle para mudar o ângulo. Observe como a medida em graus e a medida em radianos descrevem exatamente a mesma rotação.

Ângulo:

180°

180° = π rad · ponto (-1, 0)

O ponto sobre a circunferência tem coordenadas (cos θ, sen θ). Os valores exibidos são aproximados quando necessário.

5. Então, π é uma convenção?

Não. O símbolo π representa uma constante matemática: a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro. Essa razão é aproximadamente 3,14159… e não depende do tamanho do círculo.

O que depende da escolha humana é a unidade usada para medir ângulos. Os graus dividem a volta em 360 partes; os radianos usam a razão entre arco e raio. Quando usamos radianos, π aparece naturalmente porque o comprimento de uma circunferência é 2πr.

Graus (°)
Uma volta = 360°.
É uma escala angular tradicional e prática.

Radianos (rad)
Uma volta = 2π rad.
Relacionam diretamente ângulo, arco e raio.

O sistema em radianos é especialmente importante em matemática avançada e física. Por exemplo, fórmulas de comprimento de arco ficam muito simples: s = rθ, desde que θ esteja em radianos. Em cálculo diferencial, várias fórmulas trigonométricas também assumem sua forma mais simples quando o ângulo é medido em radianos.

6. Tabela essencial para o ciclo trigonométrico

Graus	Radianos	Referência no ciclo
0°	0	Início da volta
30°	π/6	Primeiro quadrante
45°	π/4	Primeiro quadrante
60°	π/3	Primeiro quadrante
90°	π/2	Um quarto de volta
180°	π	Meia volta
270°	3π/2	Três quartos de volta
360°	2π	Uma volta completa

Como converter graus em radianos?

Use a proporção 180° ↔ π rad. Para passar de graus a radianos, multiplique por π/180.

θ rad = θ° × π/180

Exemplo: 60° × π/180 = 60π/180 = π/3 rad.

Para converter de radianos para graus, multiplique por 180/π.

θ° = θ rad × 180/π

7. Teste seus conhecimentos

Responda às questões e clique em “Corrigir”. É uma boa forma de verificar se a ideia ficou clara.

1. Uma volta completa corresponde a: π radianos 2π radianos 180 radianos

2. Pela definição de radiano, θ é igual a: r/s s + r s/r

3. Por que 180° corresponde a π radianos? Porque π foi definido como 180 Porque meia circunferência mede πr e πr/r = π Porque todos os ângulos devem conter π

4. A escolha de 360° para uma volta é: Uma convenção histórica que se consolidou Uma consequência obrigatória do valor de π Uma regra exclusiva do ciclo trigonométrico

8. Um desafio para pensar além da fórmula

Desafio: se uma volta completa mede 2π radianos, quanto mede um ângulo de 225° em radianos? E por que o resultado é maior que π?

Ver resolução do desafio

Convertemos multiplicando por π/180:

225° × π/180 = 225π/180 = 5π/4 rad

Como 225° é maior que 180°, o ângulo percorre mais de meia volta. Por isso, sua medida em radianos, 5π/4, é maior que π e menor que 2π.

Para guardar na memória

360° = 2π rad   |   180° = π rad   |   90° = π/2 rad

A pergunta do estudante nos lembra que aprender matemática não é apenas memorizar equivalências. É compreender de onde elas vêm. A escolha dos 360° pertence à história das medidas angulares; a presença de π nos radianos nasce da geometria da circunferência.

Da próxima vez que você encontrar π no ciclo trigonométrico, lembre-se: ele não foi colocado ali por capricho. Ele aparece porque, ao medir ângulos com arcos e raios, a própria circunferência conduz naturalmente a esse número.

Referências para aprofundamento

• OpenStax — Algebra and Trigonometry, seção 7.1: Angles. Explica a definição de radiano e a relação entre 360° e 2π.
• NIST — A brief history of the second. Contextualiza a história antiga das divisões angulares e sexagesimais.
• Swinburne University — COSMOS: Degree (angular). Resume a relação histórica entre a divisão em 360° e o sistema sexagesimal.
• U.S. Department of Energy — Fundamentals Handbook, Mathematics, Volume 2. Apresenta a definição operacional de radiano e conversões entre unidades angulares.

Material didático para estudantes do Ensino Médio. As explicações históricas são resumidas; a origem exata da adoção de 360° envolve processos antigos cuja cronologia é discutida por historiadores.

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ENQ PROFMAT 2027.1: 8 Questões Discursivas de Alto Nível com Resolução e Cronômetro

MATEMÁTICA DO PI • SÉRIE ESPECIAL PROFMAT

ENQ PROFMAT 2027.1: Simulado Intensivo com 8 Questões Discursivas

Quatro disciplinas. Oito desafios. Quatro horas de prova.

Treine com questões autorais de nível avançado, cronômetro individual, tempo total e resoluções comentadas.

Importante: este é um simulado autoral de preparação, não uma previsão nem reprodução de questões oficiais. A seleção de temas foi orientada pela matriz das disciplinas MA11, MA12, MA13 e MA14 e pela consulta ao acervo público de provas anteriores da SBM/PROFMAT. Nenhuma questão pode ser garantida como provável de cair no ENQ 2027.1.

⏳ SIMULADO COMPLETO

Tempo de referência: 4 horas (240 minutos)

04:00:00

Cada questão dispõe de 30 minutos. O contador geral é independente dos cronômetros individuais.

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 01 DE 08

Radicais, domínio e equação

Determine todos os números reais \(x\) que satisfazem a equação abaixo. Apresente as condições de existência e justifique cada transformação algébrica.

\[\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}=3\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Condições de existência

É necessário que \(x+2\geq0\) e \(5-x\geq0\). Logo, \(-2\leq x\leq5\).

2. Eleve ao quadrado

\(x+2+5-x+2\sqrt{(x+2)(5-x)}=9\), portanto \(\sqrt{(x+2)(5-x)}=1\).

3. Resolva a equação resultante

\((x+2)(5-x)=1\Rightarrow -x^2+3x+10=1\), ou seja, \(x^2-3x-9=0\). Pela fórmula quadrática, \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}2=\dfrac{3\pm3\sqrt5}2\).

4. Verifique

Ambas as soluções pertencem a \([-2,5]\) e satisfazem a equação original, pois a soma dos radicais é 3.

RESPOSTA: \(\boxed{x=\dfrac{3-3\sqrt5}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{3+3\sqrt5}{2}}\)

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 02 DE 08

Número de soluções em função de um parâmetro

Considere a função \(f:(0,+\infty)\to\mathbb R\), definida por \(f(x)=x+\dfrac1x\). Para cada número real \(m\), determine quantas soluções reais positivas possui a equação \(f(x)=m\). Justifique a resposta, incluindo o caso de igualdade.

\[x+\frac{1}{x}=m,\qquad x>0\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Aplicação da desigualdade das médias (MA ≥ MG)

Como \(x>0\), podemos aplicar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:

\[ \frac{x+\frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} \]

Simplificando:

\[ \boxed{x+\frac{1}{x}\geq 2} \]

Como a equação proposta é \(x+\frac{1}{x}=m\), necessariamente:

\[ \boxed{m\geq 2} \]

Portanto, se \(m<2\), a equação não possui soluções reais positivas.

2. Análise do caso de igualdade

A igualdade na desigualdade das médias ocorre quando os dois termos são iguais: \[ x=\frac{1}{x} \] Logo: \[ x^2=1 \] Como \(x>0\), temos: \[ \boxed{x=1} \] Substituindo na equação original: \[ 1+\frac{1}{1}=m \] Assim: \[ \boxed{m=2} \] Portanto, para \(m=2\), existe exatamente uma solução real positiva: \(x=1\).

3. Análise do caso \(m>2\)

Para determinar a quantidade de soluções nesse caso, retomamos a equação: \[ x+\frac{1}{x}=m \] Multiplicando ambos os membros por \(x\): \[ x^2-mx+1=0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta=m^2-4 \] Como \(m>2\), temos: \[ \Delta>0 \] Logo, a equação possui duas raízes reais distintas.

4. Verificação da positividade das raízes

Pelas relações de Girard, temos: \[ x_1+x_2=m>0 \] e \[ x_1\cdot x_2=1>0 \] Como o produto das raízes é positivo, elas possuem o mesmo sinal. Como a soma é positiva, ambas são positivas. Portanto, para \(m>2\), existem exatamente duas soluções reais positivas distintas.

5. Conclusão

A desigualdade das médias permite identificar o valor mínimo da expressão, enquanto o discriminante e as relações de Girard completam a análise da quantidade de soluções.

RESPOSTA FINAL: \[ \boxed{ N(m)= \begin{cases} 0,&m<2\\ 1,&m=2\\ 2,&m>2 \end{cases} } \] A equação não possui soluções positivas se \(m<2\); possui uma solução se \(m=2\); e possui duas soluções positivas distintas se \(m>2\).

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 03 DE 08

Funções sobrejetoras e inclusão-exclusão

Sejam \(A\) um conjunto com 4 elementos e \(B\) um conjunto com 3 elementos. Determine o número de funções sobrejetoras \(f:A\to B\). Explique a contagem usando o princípio da inclusão-exclusão.

\[\left|\{f:A\to B\mid f\text{ é sobrejetora}\}\right|=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Conte todas as funções

Cada um dos 4 elementos de \(A\) pode ser enviado a qualquer um dos 3 elementos de \(B\). Existem \(3^4=81\) funções.

2. Retire as funções que deixam algum elemento de B sem imagem inversa

Fixado um elemento de \(B\) que não é atingido, as funções restantes são funções para um conjunto de 2 elementos: \(2^4=16\). Há 3 escolhas para o elemento não atingido; subtraímos \(3\cdot16=48\).

3. Corrija a dupla subtração

Funções cuja imagem contém apenas um elemento foram subtraídas duas vezes a mais. Para cada escolha do único elemento atingido há exatamente 1 função constante. Há 3 dessas funções, que devem ser adicionadas.

4. Aplique inclusão-exclusão

O total é \(3^4-\binom31 2^4+\binom32 1^4=81-48+3=36\).

RESPOSTA: \(\boxed{36\text{ funções sobrejetoras}.}\)

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 04 DE 08

Recorrência linear de primeira ordem

A sequência \((a_n)\) é definida por \(a_0=2\) e \(a_{n+1}=3a_n+2\), para todo inteiro \(n\geq0\). Encontre uma fórmula explícita para \(a_n\) e prove-a por indução matemática.

\[a_0=2,\qquad a_{n+1}=3a_n+2\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Identifique o padrão

Os primeiros termos são \(2,8,26,80,\ldots\). A expressão \(a_n+1\) satisfaz \(a_{n+1}+1=3(a_n+1)\).

2. Obtenha a fórmula

Assim, \(a_n+1=3^n(a_0+1)=3^n\cdot3\). Portanto, \(a_n=3^{n+1}-1\).

3. Prova por indução — base

Para \(n=0\), a fórmula fornece \(3^1-1=2=a_0\). A base é verdadeira.

4. Prova por indução — passo

Suponha \(a_n=3^{n+1}-1\). Então \(a_{n+1}=3a_n+2=3(3^{n+1}-1)+2=3^{n+2}-1\), que é a fórmula para \(n+1\).

RESPOSTA: \(\boxed{a_n=3^{n+1}-1,\quad n\geq0.}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 05 DE 08

Dois círculos e a corda comum

Dois círculos têm raios 10 e 5, e a distância entre seus centros é 13. Sabendo que eles se intersectam em dois pontos, determine o comprimento da corda comum. Apresente uma construção ou argumento geométrico que justifique os cálculos.

\[r_1=10,\qquad r_2=5,\qquad d=13\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a perpendicular comum

A reta que une os centros é perpendicular à corda comum e a divide ao meio. Seja \(x\) a distância do centro do círculo maior à projeção do ponto médio da corda sobre a linha dos centros, e \(h\) a metade da corda.

2. Monte as relações pitagóricas

Nos dois triângulos retângulos: \(x^2+h^2=10^2\) e \((13-x)^2+h^2=5^2\). Subtraindo as equações, \(x^2-(13-x)^2=75\).

3. Determine x e h

\(26x-169=75\Rightarrow x=\frac{122}{13}\). Então \(h^2=100-(122/13)^2=\frac{2016}{169}=\frac{144\cdot14}{169}\), logo \(h=\frac{12\sqrt{14}}{13}\).

4. Calcule a corda

A corda tem comprimento \(2h\), pois \(h\) é sua metade.

RESPOSTA: \(\boxed{\dfrac{24\sqrt{14}}{13}}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 06 DE 08

Triângulo de lados 13, 14 e 15

Um triângulo possui lados de comprimentos 13, 14 e 15. Determine sua área, seu raio da circunferência inscrita e seu raio da circunferência circunscrita. Justifique as fórmulas utilizadas.

\[a=13,\qquad b=14,\qquad c=15\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Calcule a área pela fórmula de Heron

O semiperímetro é \(s=(13+14+15)/2=21\). Pela fórmula de Heron, \(K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\).

2. Determine o raio inscrito

A área também é \(K=rs\), em que \(r\) é o raio inscrito. Logo, \(r=84/21=4\).

3. Determine o raio circunscrito

Para qualquer triângulo, \(K=\frac{abc}{4R}\). Assim, \(R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}\).

RESPOSTA: \(\boxed{K=84,\qquad r=4,\qquad R=\dfrac{65}{8}.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 07 DE 08

Função totiente de Euler

Determine \(\varphi(360)\), em que \(\varphi\) é a função totiente de Euler, e explique por que o resultado conta exatamente os inteiros entre 1 e 360 que são coprimos com 360.

\[\varphi(360)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Fatore o número

Temos \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\).

2. Aplique a fórmula da função totiente

Se \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\), então \(\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}(1-1/p)\). Portanto, \(\varphi(360)=360(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)\).

3. Calcule

\(360\cdot\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45=96\). A fórmula decorre da exclusão dos múltiplos dos primos 2, 3 e 5, por inclusão-exclusão.

RESPOSTA: \(\boxed{\varphi(360)=96.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 08 DE 08

Valoração p-ádica de um coeficiente binomial

Determine o maior inteiro \(k\geq0\) para o qual \(5^k\) divide o coeficiente binomial \(\binom{100}{20}\). Justifique usando a fórmula de Legendre.

\[v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a aditividade da valoração

\(v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=v_5(100!)-v_5(20!)-v_5(80!)\).

2. Aplique Legendre

\(v_5(100!)=\lfloor100/5\rfloor+\lfloor100/25\rfloor=20+4=24\).

3. Calcule os outros fatoriais

\(v_5(20!)=\lfloor20/5\rfloor=4\). E \(v_5(80!)=\lfloor80/5\rfloor+\lfloor80/25\rfloor=16+3=19\).

4. Subtraia

\(24-4-19=1\). Logo, o coeficiente é divisível por 5, mas não por 25.

RESPOSTA: \(\boxed{k=1.}\)

MATEMÁTICA DO PI
Material autoral de estudo • PROFMAT • MA11, MA12, MA13 e MA14
Recomendação: escreva suas soluções completas antes de abrir os comentários.