ENQ PROFMAT 2027.1: 8 Questões Discursivas de Alto Nível com Resolução e Cronômetro

MATEMÁTICA DO PI • SÉRIE ESPECIAL PROFMAT

ENQ PROFMAT 2027.1: Simulado Intensivo com 8 Questões Discursivas

Quatro disciplinas. Oito desafios. Quatro horas de prova.

Treine com questões autorais de nível avançado, cronômetro individual, tempo total e resoluções comentadas.

Importante: este é um simulado autoral de preparação, não uma previsão nem reprodução de questões oficiais. A seleção de temas foi orientada pela matriz das disciplinas MA11, MA12, MA13 e MA14 e pela consulta ao acervo público de provas anteriores da SBM/PROFMAT. Nenhuma questão pode ser garantida como provável de cair no ENQ 2027.1.

⏳ SIMULADO COMPLETO

Tempo de referência: 4 horas (240 minutos)

04:00:00

Cada questão dispõe de 30 minutos. O contador geral é independente dos cronômetros individuais.

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 01 DE 08

Radicais, domínio e equação

Determine todos os números reais \(x\) que satisfazem a equação abaixo. Apresente as condições de existência e justifique cada transformação algébrica.

\[\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}=3\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Condições de existência

É necessário que \(x+2\geq0\) e \(5-x\geq0\). Logo, \(-2\leq x\leq5\).

2. Eleve ao quadrado

\(x+2+5-x+2\sqrt{(x+2)(5-x)}=9\), portanto \(\sqrt{(x+2)(5-x)}=1\).

3. Resolva a equação resultante

\((x+2)(5-x)=1\Rightarrow -x^2+3x+10=1\), ou seja, \(x^2-3x-9=0\). Pela fórmula quadrática, \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}2=\dfrac{3\pm3\sqrt5}2\).

4. Verifique

Ambas as soluções pertencem a \([-2,5]\) e satisfazem a equação original, pois a soma dos radicais é 3.

RESPOSTA: \(\boxed{x=\dfrac{3-3\sqrt5}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{3+3\sqrt5}{2}}\)

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 02 DE 08

Número de soluções em função de um parâmetro

Considere a função \(f:(0,+\infty)\to\mathbb R\), definida por \(f(x)=x+\dfrac1x\). Para cada número real \(m\), determine quantas soluções reais positivas possui a equação \(f(x)=m\). Justifique a resposta, incluindo o caso de igualdade.

\[x+\frac{1}{x}=m,\qquad x>0\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Aplicação da desigualdade das médias (MA ≥ MG)

Como \(x>0\), podemos aplicar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:

\[ \frac{x+\frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} \]

Simplificando:

\[ \boxed{x+\frac{1}{x}\geq 2} \]

Como a equação proposta é \(x+\frac{1}{x}=m\), necessariamente:

\[ \boxed{m\geq 2} \]

Portanto, se \(m<2\), a equação não possui soluções reais positivas.

2. Análise do caso de igualdade

A igualdade na desigualdade das médias ocorre quando os dois termos são iguais: \[ x=\frac{1}{x} \] Logo: \[ x^2=1 \] Como \(x>0\), temos: \[ \boxed{x=1} \] Substituindo na equação original: \[ 1+\frac{1}{1}=m \] Assim: \[ \boxed{m=2} \] Portanto, para \(m=2\), existe exatamente uma solução real positiva: \(x=1\).

3. Análise do caso \(m>2\)

Para determinar a quantidade de soluções nesse caso, retomamos a equação: \[ x+\frac{1}{x}=m \] Multiplicando ambos os membros por \(x\): \[ x^2-mx+1=0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta=m^2-4 \] Como \(m>2\), temos: \[ \Delta>0 \] Logo, a equação possui duas raízes reais distintas.

4. Verificação da positividade das raízes

Pelas relações de Girard, temos: \[ x_1+x_2=m>0 \] e \[ x_1\cdot x_2=1>0 \] Como o produto das raízes é positivo, elas possuem o mesmo sinal. Como a soma é positiva, ambas são positivas. Portanto, para \(m>2\), existem exatamente duas soluções reais positivas distintas.

5. Conclusão

A desigualdade das médias permite identificar o valor mínimo da expressão, enquanto o discriminante e as relações de Girard completam a análise da quantidade de soluções.

RESPOSTA FINAL: \[ \boxed{ N(m)= \begin{cases} 0,&m<2\\ 1,&m=2\\ 2,&m>2 \end{cases} } \] A equação não possui soluções positivas se \(m<2\); possui uma solução se \(m=2\); e possui duas soluções positivas distintas se \(m>2\).

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 03 DE 08

Funções sobrejetoras e inclusão-exclusão

Sejam \(A\) um conjunto com 4 elementos e \(B\) um conjunto com 3 elementos. Determine o número de funções sobrejetoras \(f:A\to B\). Explique a contagem usando o princípio da inclusão-exclusão.

\[\left|\{f:A\to B\mid f\text{ é sobrejetora}\}\right|=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Conte todas as funções

Cada um dos 4 elementos de \(A\) pode ser enviado a qualquer um dos 3 elementos de \(B\). Existem \(3^4=81\) funções.

2. Retire as funções que deixam algum elemento de B sem imagem inversa

Fixado um elemento de \(B\) que não é atingido, as funções restantes são funções para um conjunto de 2 elementos: \(2^4=16\). Há 3 escolhas para o elemento não atingido; subtraímos \(3\cdot16=48\).

3. Corrija a dupla subtração

Funções cuja imagem contém apenas um elemento foram subtraídas duas vezes a mais. Para cada escolha do único elemento atingido há exatamente 1 função constante. Há 3 dessas funções, que devem ser adicionadas.

4. Aplique inclusão-exclusão

O total é \(3^4-\binom31 2^4+\binom32 1^4=81-48+3=36\).

RESPOSTA: \(\boxed{36\text{ funções sobrejetoras}.}\)

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 04 DE 08

Recorrência linear de primeira ordem

A sequência \((a_n)\) é definida por \(a_0=2\) e \(a_{n+1}=3a_n+2\), para todo inteiro \(n\geq0\). Encontre uma fórmula explícita para \(a_n\) e prove-a por indução matemática.

\[a_0=2,\qquad a_{n+1}=3a_n+2\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Identifique o padrão

Os primeiros termos são \(2,8,26,80,\ldots\). A expressão \(a_n+1\) satisfaz \(a_{n+1}+1=3(a_n+1)\).

2. Obtenha a fórmula

Assim, \(a_n+1=3^n(a_0+1)=3^n\cdot3\). Portanto, \(a_n=3^{n+1}-1\).

3. Prova por indução — base

Para \(n=0\), a fórmula fornece \(3^1-1=2=a_0\). A base é verdadeira.

4. Prova por indução — passo

Suponha \(a_n=3^{n+1}-1\). Então \(a_{n+1}=3a_n+2=3(3^{n+1}-1)+2=3^{n+2}-1\), que é a fórmula para \(n+1\).

RESPOSTA: \(\boxed{a_n=3^{n+1}-1,\quad n\geq0.}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 05 DE 08

Dois círculos e a corda comum

Dois círculos têm raios 10 e 5, e a distância entre seus centros é 13. Sabendo que eles se intersectam em dois pontos, determine o comprimento da corda comum. Apresente uma construção ou argumento geométrico que justifique os cálculos.

\[r_1=10,\qquad r_2=5,\qquad d=13\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a perpendicular comum

A reta que une os centros é perpendicular à corda comum e a divide ao meio. Seja \(x\) a distância do centro do círculo maior à projeção do ponto médio da corda sobre a linha dos centros, e \(h\) a metade da corda.

2. Monte as relações pitagóricas

Nos dois triângulos retângulos: \(x^2+h^2=10^2\) e \((13-x)^2+h^2=5^2\). Subtraindo as equações, \(x^2-(13-x)^2=75\).

3. Determine x e h

\(26x-169=75\Rightarrow x=\frac{122}{13}\). Então \(h^2=100-(122/13)^2=\frac{2016}{169}=\frac{144\cdot14}{169}\), logo \(h=\frac{12\sqrt{14}}{13}\).

4. Calcule a corda

A corda tem comprimento \(2h\), pois \(h\) é sua metade.

RESPOSTA: \(\boxed{\dfrac{24\sqrt{14}}{13}}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 06 DE 08

Triângulo de lados 13, 14 e 15

Um triângulo possui lados de comprimentos 13, 14 e 15. Determine sua área, seu raio da circunferência inscrita e seu raio da circunferência circunscrita. Justifique as fórmulas utilizadas.

\[a=13,\qquad b=14,\qquad c=15\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Calcule a área pela fórmula de Heron

O semiperímetro é \(s=(13+14+15)/2=21\). Pela fórmula de Heron, \(K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\).

2. Determine o raio inscrito

A área também é \(K=rs\), em que \(r\) é o raio inscrito. Logo, \(r=84/21=4\).

3. Determine o raio circunscrito

Para qualquer triângulo, \(K=\frac{abc}{4R}\). Assim, \(R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}\).

RESPOSTA: \(\boxed{K=84,\qquad r=4,\qquad R=\dfrac{65}{8}.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 07 DE 08

Função totiente de Euler

Determine \(\varphi(360)\), em que \(\varphi\) é a função totiente de Euler, e explique por que o resultado conta exatamente os inteiros entre 1 e 360 que são coprimos com 360.

\[\varphi(360)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Fatore o número

Temos \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\).

2. Aplique a fórmula da função totiente

Se \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\), então \(\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}(1-1/p)\). Portanto, \(\varphi(360)=360(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)\).

3. Calcule

\(360\cdot\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45=96\). A fórmula decorre da exclusão dos múltiplos dos primos 2, 3 e 5, por inclusão-exclusão.

RESPOSTA: \(\boxed{\varphi(360)=96.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 08 DE 08

Valoração p-ádica de um coeficiente binomial

Determine o maior inteiro \(k\geq0\) para o qual \(5^k\) divide o coeficiente binomial \(\binom{100}{20}\). Justifique usando a fórmula de Legendre.

\[v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a aditividade da valoração

\(v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=v_5(100!)-v_5(20!)-v_5(80!)\).

2. Aplique Legendre

\(v_5(100!)=\lfloor100/5\rfloor+\lfloor100/25\rfloor=20+4=24\).

3. Calcule os outros fatoriais

\(v_5(20!)=\lfloor20/5\rfloor=4\). E \(v_5(80!)=\lfloor80/5\rfloor+\lfloor80/25\rfloor=16+3=19\).

4. Subtraia

\(24-4-19=1\). Logo, o coeficiente é divisível por 5, mas não por 25.

RESPOSTA: \(\boxed{k=1.}\)

MATEMÁTICA DO PI
Material autoral de estudo • PROFMAT • MA11, MA12, MA13 e MA14
Recomendação: escreva suas soluções completas antes de abrir os comentários.

Demonstrações – Derivadas I : Regra da Soma

CÁLCULO DIFERENCIAL • FUNDAMENTAÇÃO

Demonstrações – Derivadas I

Série de demonstrações matemáticas | Regra da soma

A derivação não é apenas um conjunto de fórmulas que devemos memorizar. Por trás de cada regra existe uma fundamentação matemática, construída a partir do conceito de limite. Nesta publicação, demonstraremos uma das propriedades fundamentais da derivação: a derivada da soma de duas funções.

Nesta publicação

1. A definição de derivada
2. O teorema da derivada da soma
3. Demonstração passo a passo
4. Exemplo resolvido
5. Interpretação geométrica
6. Aplicação prática
7. Exercícios propostos
8. Referências bibliográficas

1. Relembrando a definição de derivada

Antes de demonstrar a propriedade, precisamos recordar a definição de derivada de uma função em um ponto.

Seja \(f\) uma função definida em uma vizinhança de \(x\). A derivada de \(f\) no ponto \(x\), quando existe, é definida por:

\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} } \]

Nessa expressão:

• \(h\) representa um incremento na variável independente;
• \(f(x+h)-f(x)\) representa a variação da função;
• o quociente representa a taxa média de variação;
• o limite, quando existe, fornece a taxa instantânea de variação.

Geometricamente, a derivada representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto considerado.

2. Teorema: derivada da soma

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em um ponto \(x\). Definimos uma terceira função:

\[ F(x)=f(x)+g(x) \]

Queremos demonstrar que a derivada dessa soma é igual à soma das derivadas das funções.

TEOREMA DA DERIVADA DA SOMA \[ \boxed{ [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) } \]

Em outras palavras, a derivação é uma operação linear em relação à adição de funções.

3. Demonstração passo a passo

Hipótese: consideremos \(f\) e \(g\) deriváveis no ponto \(x\).

Pela definição de derivada, temos:

1º passo — Aplicar a definição de derivada \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \]

2º passo — Substituir a função pela sua definição Como \(F(x)=f(x)+g(x)\), então: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h} \]

3º passo — Agrupar os termos semelhantes Reorganizando o numerador: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \frac{ [f(x+h)-f(x)]+[g(x+h)-g(x)] }{h} \]

4º passo — Separar a soma em dois quocientes Utilizando as propriedades algébricas: \[ F'(x)=\lim_{h\to0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right] \]

5º passo — Aplicar a propriedade do limite da soma Como os limites das duas parcelas existem, podemos escrever: \[ F'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \]

6º passo — Reconhecer as derivadas Pela própria definição de derivada: \[ \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \] e \[ \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \] Portanto:

CONCLUSÃO DA DEMONSTRAÇÃO \[ \boxed{F'(x)=f'(x)+g'(x)} \]

CQD — Como queríamos demonstrar.

Observe que não utilizamos previamente a regra da derivada da soma. Partimos exclusivamente da definição de derivada e das propriedades dos limites. Assim, a propriedade foi efetivamente demonstrada.

4. Exemplo resolvido

Vamos utilizar o resultado demonstrado para calcular a derivada da função:

\[ F(x)=x^2+3x-5 \]

Podemos separar a função em duas parcelas:

\[ f(x)=x^2 \qquad g(x)=3x-5 \]

Pela regra da soma:

\[ F'(x)=f'(x)+g'(x) \]

Calculando as derivadas:

\[ f'(x)=2x \] \[ g'(x)=3 \]

Logo:

\[ \boxed{F'(x)=2x+3} \]

A regra demonstrada permite derivar cada parcela separadamente, simplificando consideravelmente os cálculos.

5. Uma interpretação geométrica

A derivada representa a taxa instantânea de variação de uma função. Quando somamos duas funções, suas taxas instantâneas de variação também se somam.

Considere:

\[ F(x)=f(x)+g(x) \]

Se, em determinado ponto, temos:

\[ f'(x)=4 \qquad g'(x)=3 \]

então:

\[ F'(x)=4+3=7 \]

Isso significa que, naquele ponto, a taxa instantânea de variação da função resultante é 7.

Uma observação importante A regra da soma não afirma que os valores das funções sejam necessariamente positivos ou crescentes. As derivadas podem ser positivas, negativas ou nulas. A propriedade continua válida desde que as funções sejam deriváveis no ponto considerado.

6. Aplicação: movimento de um corpo

Imagine que a posição de um móvel seja descrita pela função:

\[ s(t)=t^2+3t+5 \]

A posição foi construída pela soma de três parcelas. A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em relação ao tempo:

\[ v(t)=s'(t) \]

Aplicando a regra da soma:

\[ v(t)=2t+3 \]

No instante \(t=2\), temos:

\[ v(2)=2(2)+3=7 \]

Portanto, a velocidade instantânea nesse instante é \(7\) unidades de comprimento por unidade de tempo.

7. Teste seus conhecimentos

Agora é sua vez! Resolva as questões e confira as respostas somente depois de tentar.

Questão 1 — Compreensão do teorema

Se \(F(x)=f(x)+g(x)\), sendo ambas deriváveis, qual expressão representa corretamente a derivada de \(F\)?

A) \(f'(x)\cdot g'(x)\)

B) \(f'(x)+g'(x)\)

C) \(f(x)+g'(x)\)

D) \(f'(x)-g'(x)\)

Ver resposta

Alternativa B. A derivada da soma é a soma das derivadas.

Questão 2 — Aplicação

Determine a derivada da função:

\[ F(x)=x^3+4x^2-2x+7 \]

Ver resolução

\[ F'(x)=3x^2+8x-2 \]

Derivamos cada parcela separadamente e somamos os resultados.

Questão 3 — Raciocínio matemático

Se \(f'(2)=-3\) e \(g'(2)=8\), determine a derivada de \(F(x)=f(x)+g(x)\) no ponto \(x=2\).

Ver resolução

\[ F'(2)=f'(2)+g'(2) \] \[ F'(2)=-3+8 \] \[ \boxed{F'(2)=5} \]

8. Conclusão

A demonstração da derivada da soma é um exemplo de como resultados aparentemente simples do Cálculo Diferencial estão fundamentados em conceitos mais profundos.

Compreender a origem das regras de derivação permite desenvolver uma visão mais consistente do Cálculo, indo além da simples memorização de fórmulas.

Nas próximas publicações desta série, estudaremos outras propriedades, sempre partindo da definição de derivada e construindo as demonstrações com rigor matemático.

PRÓXIMA PUBLICAÇÃO DA SÉRIE

Demonstrações – Derivadas II: A demonstração da regra da diferença e da derivada de uma constante.

9. Referências bibliográficas

1. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. Cengage Learning.
2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 1. LTC.
3. APOSTOL, Tom M. Calculus: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Volume 1. Wiley.

MATEMÁTICA DO PI

Da Educação Básica ao Ensino Superior: conceitos, demonstrações, desafios e descobertas matemáticas.

Professor Jonas Portal | Publicação revisada e ampliada.

Demonstrações – Derivadas II: Regra do produto

CÁLCULO DIFERENCIAL • DEMONSTRAÇÕES

Demonstrações – Derivadas II: A Regra do Produto

Fundamentação matemática • Definição de derivada • Incrementos

Como determinar a derivada de uma função que é formada pelo produto de duas outras funções? A resposta é conhecida como regra do produto, uma das propriedades fundamentais do Cálculo Diferencial. Mas de onde vem essa regra? Nesta publicação, vamos demonstrá-la matematicamente, partindo da própria definição de derivada.

ROTEIRO DE ESTUDO

1. O problema matemático
2. Relembrando a definição
3. Demonstração pelo método dos incrementos
4. Análise rigorosa da passagem ao limite
5. Uma segunda demonstração
6. Exemplos resolvidos
7. Por que a regra funciona?
8. Erros frequentes
9. Exercícios propostos
10. Referências

1. O problema matemático

Considere duas funções diferenciáveis, \(h\) e \(g\), e uma terceira função \(f\), definida pelo produto:

\[ f(x)=h(x)\cdot g(x) \]

Desejamos determinar a expressão de \(f'(x)\), isto é, a derivada do produto dessas duas funções.

REGRA DO PRODUTO \[ \boxed{ f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) } \]

Observe que a derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas. É necessário somar dois produtos: a derivada da primeira função pela segunda função, mais a primeira função pela derivada da segunda.

2. Relembrando a definição de derivada

A derivada de uma função \(f\), em um ponto \(x\), é definida pelo limite:

\[ \boxed{ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} } \]

O símbolo \(\Delta x\) representa um incremento na variável independente.

Para as funções \(h\) e \(g\), podemos escrever:

\[ \Delta h=h(x+\Delta x)-h(x) \] \[ \Delta g=g(x+\Delta x)-g(x) \]

Assim:

\[ h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h \] \[ g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g \]

Essas relações serão fundamentais para a demonstração.

3. Demonstração pelo método dos incrementos

Vamos desenvolver a demonstração seguindo a abordagem clássica dos incrementos, utilizada na publicação original de 2010.

Consideremos:

\[ y=f(x)=h(x)g(x) \]

Quando \(x\) sofre um incremento \(\Delta x\), a função também sofre um incremento \(\Delta y\). Portanto:

\[ y+\Delta y=f(x+\Delta x) \]

Como \(f(x)=h(x)g(x)\), temos:

\[ y+\Delta y= h(x+\Delta x)g(x+\Delta x) \]

Utilizando as relações dos incrementos:

\[ y+\Delta y= [h(x)+\Delta h][g(x)+\Delta g] \]

1º passo — Desenvolver o produto Aplicando a propriedade distributiva: \[ \begin{aligned} y+\Delta y={}&h(x)g(x)\\ &+h(x)\Delta g\\ &+g(x)\Delta h\\ &+\Delta h\Delta g \end{aligned} \]

2º passo — Isolar o incremento da função Sabemos que: \[ y=h(x)g(x) \] Subtraindo \(y\) dos dois lados: \[ \boxed{ \Delta y=h(x)\Delta g+ g(x)\Delta h+\Delta h\Delta g } \]

3º passo — Dividir pelo incremento da variável independente Dividindo toda a igualdade por \(\Delta x\): \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = h(x)\frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x)\frac{\Delta h}{\Delta x} + \Delta g\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

4º passo — Aplicar o limite Como as funções são diferenciáveis em \(x\), podemos considerar: \[ \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta h}{\Delta x}=h'(x) \] e \[ \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta g}{\Delta x}=g'(x) \] Além disso, a continuidade das funções diferenciáveis garante que: \[ \lim_{\Delta x\to0}\Delta g=0 \]

5º passo — Obter a expressão final Aplicando os limites: \[ \begin{aligned} f'(x)={}&h(x)g'(x)\\ &+g(x)h'(x)\\ &+0\cdot h'(x) \end{aligned} \] Portanto: \[ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) \]

DEMONSTRAÇÃO CONCLUÍDA \[ \boxed{ f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) } \]

Como queríamos demonstrar.

4. Por que o último termo desaparece?

Este é um dos detalhes mais importantes da demonstração e merece atenção especial.

Na expressão:

\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

quando \(\Delta x\to0\), temos:

\[ \Delta g\to0 \]

Por outro lado, como \(h\) é diferenciável:

\[ \frac{\Delta h}{\Delta x}\to h'(x) \]

Consequentemente, pelo teorema do limite do produto:

\[ \lim_{\Delta x\to0} \left( \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \right) =0\cdot h'(x)=0 \]

Observação matemática: Não estamos afirmando que \(\Delta g\) seja igual a zero durante os cálculos. Ele tende a zero quando \(\Delta x\) tende a zero. A existência da derivada de \(h\) garante que o outro fator possui limite finito.

5. Uma segunda demonstração: diretamente pela definição

Podemos chegar ao mesmo resultado utilizando uma reorganização algébrica do quociente incremental.

Partimos de:

\[ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-h(x)g(x)} {\Delta x} \]

Somamos e subtraímos o termo \(h(x+\Delta x)g(x)\) no numerador:

\[ \begin{aligned} f'(x)=\lim_{\Delta x\to0} \Bigg[ &h(x+\Delta x) \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x) \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \Bigg] \end{aligned} \]

Agora, aplicando as propriedades dos limites:

\[ \begin{aligned} f'(x)={}& h(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &+g(x)\lim_{\Delta x\to0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \end{aligned} \]

Reconhecendo as definições das derivadas:

\[ \boxed{ f'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x) } \]

Obtivemos novamente a regra do produto, agora por uma reorganização direta do quociente incremental.

6. Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Produto de funções polinomiais

Determine a derivada de:

\[ f(x)=(x^2+3)(2x-1) \]

Identificamos:

\[ h(x)=x^2+3 \qquad g(x)=2x-1 \]

Suas derivadas são:

\[ h'(x)=2x \qquad g'(x)=2 \]

Aplicando a regra do produto:

\[ f'(x)=2x(2x-1)+(x^2+3)\cdot2 \] \[ f'(x)=4x^2-2x+2x^2+6 \]

\[ \boxed{f'(x)=6x^2-2x+6} \]

Exemplo 2 — Produto envolvendo função trigonométrica

Determine a derivada de:

\[ f(x)=x^2\sen x \]

Temos:

\[ h(x)=x^2,\qquad g(x)=\sen x \] \[ h'(x)=2x,\qquad g'(x)=\cos x \]

Aplicando a regra:

\[ f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x \]

\[ \boxed{f'(x)=2x\sen x+x^2\cos x} \]

Exemplo 3 — Produto envolvendo exponencial

\[ f(x)=e^x(x^3+1) \]

Pela regra do produto:

\[ f'(x)=e^x(x^3+1)+e^x(3x^2) \] \[ \boxed{f'(x)=e^x(x^3+3x^2+1)} \]

7. Por que a regra do produto funciona?

A regra do produto possui uma interpretação interessante quando pensamos nas variações simultâneas de duas grandezas.

Considere a área de um retângulo:

\[ A=b\cdot h \]

em que \(b\) representa a base e \(h\) representa a altura.

Se a base e a altura variam com o tempo, a área também varia. Derivando em relação ao tempo:

\[ \frac{dA}{dt} = h\frac{db}{dt} + b\frac{dh}{dt} \]

Isso significa que a taxa de variação da área depende de duas contribuições:

• A variação da base, considerando a altura atual;
• A variação da altura, considerando a base atual.

Essa interpretação mostra que a regra do produto não é apenas uma manipulação algébrica: ela expressa matematicamente como a variação de duas grandezas influencia o produto entre elas.

8. Atenção aos erros mais frequentes

Erro 1: afirmar que a derivada do produto é o produto das derivadas.

\[ (hg)'\neq h'g' \]

Erro 2: esquecer que uma das funções permanece sem derivar em cada parcela.

Erro 3: eliminar o termo \(\Delta h\Delta g/\Delta x\) sem justificar a passagem ao limite.

Erro 4: confundir a regra do produto com a regra da soma.

9. Teste seus conhecimentos

Resolva os exercícios e confira as respostas depois de tentar desenvolver cada demonstração.

Questão 1 — Aplicação direta

Determine a derivada de:

\[ f(x)=(x^2+1)(x+3) \]

Ver resolução

\[ f'(x)=2x(x+3)+(x^2+1) \] \[ \boxed{f'(x)=3x^2+6x+1} \]

Questão 2 — Função trigonométrica

Determine a derivada de:

\[ f(x)=x\cos x \]

Ver resolução

\[ f'(x)=1\cdot\cos x+x(-\sen x) \] \[ \boxed{f'(x)=\cos x-x\sen x} \]

Questão 3 — Conhecendo as derivadas em um ponto

Sabendo que \(h(2)=5\), \(g(2)=3\), \(h'(2)=4\) e \(g'(2)=-2\), determine a derivada de \(f(x)=h(x)g(x)\) em \(x=2\).

Ver resolução

\[ f'(2)=h'(2)g(2)+h(2)g'(2) \] \[ f'(2)=4\cdot3+5(-2) \] \[ \boxed{f'(2)=2} \]

Questão 4 — Reflexão conceitual

Explique por que, na demonstração pelo método dos incrementos, o termo

\[ \Delta g\cdot\frac{\Delta h}{\Delta x} \]

tende a zero quando \(\Delta x\to0\).

Ver resposta

Porque a continuidade de \(g\), garantida por sua diferenciabilidade, implica \(\Delta g\to0\), enquanto a diferenciabilidade de \(h\) implica que \(\Delta h/\Delta x\to h'(x)\), um limite finito. Portanto, o produto tende a zero.

10. Considerações finais

A regra do produto é uma das ferramentas fundamentais do Cálculo Diferencial. Sua demonstração evidencia a importância da definição de derivada e das propriedades dos limites.

Mais do que memorizar:

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

é importante compreender por que essa igualdade é verdadeira.

A matemática ganha profundidade quando deixamos de apenas aplicar fórmulas e passamos a investigar a origem dos resultados.

CONTINUAÇÃO DA SÉRIE

Demonstrações – Derivadas III: Demonstração da regra do quociente.

Na próxima publicação, demonstraremos como derivar o quociente de duas funções diferenciáveis, novamente partindo da definição de derivada.

11. Referências bibliográficas

1. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. Cengage Learning.
2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 1. LTC.
3. APOSTOL, Tom M. Calculus: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Volume 1. Wiley.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática, demonstrações, descobertas e conhecimento.

Professor Jonas Portal | Publicação original, revisada e ampliada.

ENQ PROFMAT - QUESTÃO COMENTADA - MA11 NÚMERO E FUNÇÕES REAIS - DENSIDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS

ENQ/PROFMAT – Questão Comentada #01

Área: MA11 – Números e Funções

Conteúdos abordados:

• Funções Monótonas (Crescentes);
• Densidade dos números racionais;
• Teorema do Confronto (Sanduíche);
• Demonstrações em Análise Real.

---

❓ Questão

Seja

$$ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $$

uma função crescente.

Sabe-se que existem constantes reais \(a\) e \(b\) tais que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{Q}. $$

Prove que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$

Em outras palavras, mostre que a igualdade continua válida mesmo quando \(x\) é irracional.

---

✅ Clique aqui para visualizar a resolução

Seja \(x\in\mathbb R\).

Caso 1

Se \(x\in\mathbb Q\), então a conclusão é imediata, pois o enunciado afirma que

$$ f(x)=ax+b. $$

Caso 2

Suponha agora que \(x\) seja irracional.

Pela densidade dos números racionais em \(\mathbb R\), existem duas sequências de números racionais

$$ (p_n)\quad\text{e}\quad(q_n) $$

tais que

$$ p_ne

$$ p_n\longrightarrow x, \qquad q_n\longrightarrow x. $$

Como \(f\) é crescente, segue que

$$ f(p_n)\le f(x)\le f(q_n). $$

Mas \(p_n\) e \(q_n\) são racionais. Logo,

$$ f(p_n)=ap_n+b $$

e

$$ f(q_n)=aq_n+b. $$

Assim,

$$ ap_n+b \le f(x) \le aq_n+b. $$

Fazendo \(n\to\infty\), obtemos

$$ ap_n+b\longrightarrow ax+b, $$

e

$$ aq_n+b\longrightarrow ax+b. $$

Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que

$$ f(x)=ax+b. $$

Como \(x\) foi tomado arbitrariamente, segue que

$$ \boxed{ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb R. } $$

Fim da demonstração. □

---

Ideia da Questão

Observe que o problema combina três conceitos fundamentais da Análise Real:

1. A densidade dos números racionais em \(\mathbb R\);
2. O fato de funções crescentes preservarem desigualdades;
3. O Teorema do Confronto para determinar exatamente o valor de \(f(x)\).

Esse tipo de demonstração é bastante frequente no ENQ/PROFMAT, pois exige maturidade matemática e domínio das propriedades da reta real.

---

📖 O que revisar após resolver esta questão?

• ✔ Densidade de \(\mathbb Q\);
• ✔ Funções crescentes e decrescentes;
• ✔ Sequências convergentes;
• ✔ Teorema do Confronto;
• ✔ Demonstrações envolvendo ordem em \(\mathbb R\).

---

Desafio: Você conseguiria resolver essa questão sem utilizar sequências, apenas utilizando a propriedade do supremo e do ínfimo?

✍️ Deixe sua solução nos comentários!

# Funções Trigonométricas: Transformações da Função Seno (ENQ/PROFMAT)

 

As transformações das funções trigonométricas são um dos assuntos mais recorrentes no ENQ do PROFMAT. Saber identificar **amplitude**, **período**, **translações** e **reflexões** permite resolver rapidamente diversas questões. A forma geral da função seno é $$ f(x)=a+b\sin(c(x-d)), $$ ou, de forma equivalente, $$ f(x)=a+b\sin(cx-\varphi). $$ Cada parâmetro possui uma interpretação geométrica: - \(a\): translação vertical; - \(b\): amplitude (\(|b|\)); - \(c\): altera o período; - \(d\): translação horizontal. O período é dado por $$ T=\frac{2\pi}{|c|}. $$ --- # Exemplo Resolvido Construa a função \(g\) obtida a partir de $$ y=\sin x $$ aplicando, nesta ordem, as seguintes transformações: 1. Compressão horizontal de fator \(3\); 2. Reflexão em relação ao eixo \(x\); 3. Amplitude igual a \(4\); 4. Translação de \(\dfrac{\pi}{6}\) para a direita; 5. Translação vertical de uma unidade para cima. Em seguida determine: a) a expressão de \(g(x)\); b) o período e a imagem; c) o menor valor positivo de \(x\) para o qual \(g(x)=1\). --- # Solução ## Passo 1 – Compressão horizontal Uma compressão horizontal de fator \(3\) significa substituir $$ x\longrightarrow 3x. $$ Logo, $$ \sin x \longrightarrow \sin(3x). $$ --- ## Passo 2 – Reflexão em relação ao eixo \(x\) Refletir em relação ao eixo \(x\) equivale a multiplicar a função por \(-1\): $$ \sin(3x) \longrightarrow -\sin(3x). $$ --- ## Passo 3 – Amplitude igual a 4 Multiplicando por \(4\), $$ -\sin(3x) \longrightarrow -4\sin(3x). $$ --- ## Passo 4 – Translação de \(\dfrac{\pi}{6}\) para a direita Uma translação horizontal para a direita é feita substituindo $$ x\longrightarrow x-\frac{\pi}{6}. $$ Assim, $$ -4\sin\!\left(3\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right). $$ Simplificando, $$ 3\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 3x-\frac{\pi}{2}. $$ Logo, $$ -4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right). $$ --- ## Passo 5 – Translação vertical Somando \(1\), $$ g(x) = 1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right). $$ Portanto, $$ \boxed{ g(x)=1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right) } $$ --- # Período Como o coeficiente de \(x\) é $$ c=3, $$ temos $$ T=\frac{2\pi}{3}. $$ Assim, $$ \boxed{T=\frac{2\pi}{3}}. $$ --- # Imagem da função Sabemos que $$ -1\leq\sin x\leq1. $$ Multiplicando por \(-4\), $$ -4\leq -4\sin x\leq4. $$ Somando \(1\), $$ -3\leq1-4\sin x\leq5. $$ Logo, $$ \boxed{\operatorname{Im}(g)=[-3,5].} $$ --- # Menor valor positivo de \(x\) tal que \(g(x)=1\) Temos $$ 1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=1. $$ Logo, $$ \sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=0. $$ Como $$ \sin\theta=0 \Longleftrightarrow \theta=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}, $$ obtemos $$ 3x-\frac{\pi}{2}=k\pi. $$ Assim, $$ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi, $$ e $$ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}. $$ As soluções são $$ x=\frac{\pi}{6},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{6},\ldots $$ Portanto, o menor valor positivo é $$ \boxed{x=\frac{\pi}{6}.} $$ --- # Resumo A função obtida é $$ \boxed{ g(x)=1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right) } $$ com: - Amplitude: $$ \boxed{4} $$ - Período: $$ \boxed{\dfrac{2\pi}{3}} $$ - Imagem: $$ \boxed{[-3,5]} $$ - Menor \(x>0\) tal que \(g(x)=1\): $$ \boxed{\dfrac{\pi}{6}} $$ --- # Dica para o ENQ Sempre memorize o significado de cada parâmetro na expressão $$ f(x)=a+b\sin(c(x-d)). $$ - \(a\): desloca o gráfico para cima ou para baixo; - \(b\): determina a amplitude (\(|b|\)); - \(c\): altera o período (\(T=\dfrac{2\pi}{|c|}\)); - \(d\): desloca o gráfico horizontalmente. Dominar essas transformações permite resolver rapidamente boa parte das questões envolvendo funções trigonométricas no ENQ/PROFMAT.

Prova Discursiva SEDUC-PA 2026: Como Responder às 2 Questões de Matemática da FGV?

Especial Concurso Público • SEDUC-PA 2026

PROVA DISCURSIVA FGV: COMO RESOLVER AS QUESTÕES DE MATEMÁTICA?

Estratégias, análise de provas anteriores, gestão do tempo e treinamento para conquistar pontos decisivos no concurso de Professor de Matemática.

MATEMÁTICA DO PI | Preparação estratégica para o magistério

Atenção, candidato! A prova discursiva pode ser um dos momentos mais decisivos do concurso. Não basta conhecer fórmulas, propriedades e teoremas. Será necessário interpretar uma situação, identificar o problema matemático e pedagógico, construir uma solução e apresentá-la com clareza, objetividade e domínio da escrita.

2questões discursivas

10pontos no total

15–30linhas por resposta

5hprova completa

O que está em jogo?
A discursiva vale 10 pontos e tem caráter eliminatório e classificatório. O candidato precisa alcançar pelo menos 5 pontos e não pode obter nota zero em nenhuma das duas situações-problema.

1. O QUE O EDITAL DETERMINA SOBRE A DISCURSIVA?

De acordo com o Edital nº 001/2026 – SEPLAD/SEDUC, a prova discursiva será composta por duas situações-problema baseadas em casos escolares, com tema atual, inédito e relacionado ao contexto escolar.

O edital também deixa claro que a avaliação não considera somente o conhecimento técnico. A banca pretende avaliar a capacidade de leitura, interpretação e escrita do candidato, observando clareza, precisão, consistência e concisão.

Aspecto	Determinação do edital
Quantidade	2 situações-problema
Natureza	Casos escolares com tema atual e inédito
Conteúdo	Conhecimentos específicos da área
Pontuação	5 pontos por questão; 10 pontos no total
Extensão	Mínimo de 15 e máximo de 30 linhas por resposta
Nota mínima	5 pontos no total, sem zerar nenhuma situação-problema
Consulta	Não permitida
Forma de resposta	Manuscrita, em letra legível, com caneta azul ou preta

Um detalhe que merece atenção: somente o texto transcrito na folha definitiva será considerado para correção. O rascunho é facultativo e não será avaliado. Portanto, o candidato precisa administrar o tempo também para passar sua resposta a limpo.

2. COMO A FGV COSTUMA CONSTRUIR UMA QUESTÃO DISCURSIVA?

Uma análise de provas anteriores da FGV para a área docente ajuda a compreender o tipo de raciocínio que merece treinamento. É importante, porém, distinguir tendência observada de previsão: nenhuma prova anterior garante a repetição de um assunto ou de uma estrutura.

Em uma prova para Professor de Matemática da rede estadual de Mato Grosso, a FGV apresentou uma situação envolvendo estudantes do 6º ano que tinham dificuldades para classificar quadriláteros. Alguns classificavam as figuras apenas pela aparência; outros não reconheciam que um quadrado também é um retângulo, um losango e um paralelogramo.

A questão exigia que o candidato apresentasse:

1. Os conhecimentos prévios que os estudantes provavelmente não dominavam.
2. Uma estratégia pedagógica para superar as dificuldades.
3. Uma tarefa matemática e a mediação docente necessária.
4. A justificativa da estratégia proposta.

Uma lição importante dessa prova:
A FGV pode exigir que o professor demonstre que sabe ensinar Matemática, e não apenas que sabe resolver exercícios matemáticos. O domínio do conteúdo precisa aparecer associado à análise da aprendizagem e à intervenção pedagógica.

Nas provas recentes para professores, também aparecem situações em que o candidato precisa analisar o raciocínio de um estudante, reconhecer um erro conceitual e escolher uma intervenção que ajude a construir o conhecimento. Esse tipo de abordagem merece atenção especial na preparação.

3. COMO PODE SER A ESTRUTURA DAS DUAS QUESTÕES?

O edital não informa antecipadamente os assuntos nem determina que uma questão seja exclusivamente matemática e a outra exclusivamente pedagógica. Entretanto, pela natureza das situações-problema e pelo conteúdo programático, é razoável preparar-se para questões que integrem conhecimentos matemáticos e situações reais de ensino.

Possibilidade A — Situação matemática associada a uma dificuldade de aprendizagem

A banca pode apresentar um estudante que resolveu incorretamente um problema envolvendo funções, proporcionalidade, geometria, estatística ou outro conteúdo. O candidato deverá identificar o equívoco, explicar o conceito envolvido e propor uma intervenção pedagógica.

Possibilidade B — Planejamento de uma atividade de ensino

Outra possibilidade é apresentar uma situação escolar em que o professor precisa desenvolver determinado conteúdo. O candidato poderá ser solicitado a propor uma estratégia de ensino, uma atividade contextualizada, uma forma de mediação e uma maneira de verificar se houve aprendizagem.

Possibilidade C — Matemática aplicada a uma realidade regional

O conteúdo programático inclui aplicações da Matemática à Amazônia, estatísticas socioambientais, georreferenciamento, cartografia regional e dados demográficos, econômicos e ambientais do Pará. Esses temas merecem atenção porque permitem construir situações-problema contextualizadas.

Possibilidade D — Interpretação de dados e tomada de decisão

Uma situação envolvendo tabelas, gráficos, indicadores educacionais, medidas estatísticas ou informações socioambientais pode exigir que o candidato interprete os dados, realize cálculos e apresente conclusões fundamentadas.

Importante: essas possibilidades são hipóteses de treinamento construídas a partir do edital e de referências anteriores da FGV. Não são questões previstas nem uma garantia de cobrança.

4. CONTEÚDOS QUE MERECEM ATENÇÃO NA PREPARAÇÃO

O candidato deve estudar o conteúdo específico do Anexo V, mas também treinar a transformação desses conhecimentos em situações de ensino e aprendizagem.

Eixo	O que treinar para a discursiva
Aritmética e proporcionalidade	Razões, porcentagens, divisibilidade, números racionais e problemas contextualizados.
Álgebra e funções	Equações, interpretação de gráficos, funções lineares e quadráticas, exponenciais e logarítmicas.
Geometria	Propriedades de figuras, relações métricas, áreas, volumes, geometria espacial e analítica.
Estatística e probabilidade	Leitura de gráficos, média, mediana, dispersão, análise de dados e interpretação de resultados.
Combinatória	Princípio multiplicativo, contagem, arranjos, combinações e situações probabilísticas.
Matemática financeira	Porcentagem, juros, descontos, acréscimos e educação financeira.
Matemática e Amazônia	Dados regionais, mapas, escalas, indicadores ambientais e modelagem matemática.
Educação Matemática	Resolução de problemas, modelagem, etnomatemática, história da Matemática, tecnologias e BNCC.

5. O SEGREDO DE UMA BOA RESPOSTA: NÃO ESCREVA SEM PLANEJAR

Um erro frequente de quem não treina discursivas é começar a escrever imediatamente após ler o enunciado. Isso aumenta a possibilidade de fugir do que foi solicitado, repetir ideias e ultrapassar o limite de linhas.

Antes de escrever, identifique os comandos da questão. Se a banca pedir para identificar, propor, descrever e justificar, cada verbo representa uma parte da resposta que precisa aparecer no texto.

1

Identifique o problema.
O que exatamente está acontecendo? Qual é a dificuldade matemática ou pedagógica apresentada?

2

Localize o conhecimento envolvido.
Qual conceito, propriedade, procedimento ou habilidade matemática está em jogo?

3

Defina uma intervenção.
O que o professor deve fazer? Que estratégia pode favorecer a aprendizagem?

4

Apresente uma atividade concreta.
Como os estudantes vão trabalhar o conteúdo? Que problema, material, representação ou recurso será utilizado?

5

Justifique sua escolha.
Por que essa estratégia é adequada? Que aprendizagem pretende desenvolver?

Uma estrutura prática para organizar de 15 a 30 linhas

Parte da resposta	O que escrever	Extensão sugerida
Introdução	Identificação do problema e do conceito matemático.	3–5 linhas
Desenvolvimento	Explicação matemática e análise da dificuldade.	4–7 linhas
Intervenção	Estratégia, atividade e mediação do professor.	5–10 linhas
Conclusão	Justificativa e aprendizagem esperada.	3–5 linhas

Essa divisão é uma técnica de organização, não uma estrutura obrigatória nem um espelho oficial de correção.

6. COMO ADMINISTRAR AS CINCO HORAS DE PROVA?

Este é um dos pontos mais importantes da preparação. O candidato terá de resolver 60 questões objetivas e duas discursivas em cinco horas. Não adianta treinar somente a qualidade da resposta: é preciso treinar a velocidade de leitura, decisão, cálculo e escrita.

Estratégia sugerida para o treinamento completo:

Etapa	Tempo	Objetivo
Primeira passagem pelas objetivas	2h30	Resolver as questões conhecidas e marcar as mais trabalhosas.
Revisão das objetivas e cartão	30 min	Retornar às questões pendentes e conferir as marcações.
Discursiva 1	50 min	Ler, planejar, resolver, redigir e revisar.
Discursiva 2	50 min	Aplicar o mesmo processo, sem perder o controle do relógio.
Conferência final	20 min	Verificar transcrição, legibilidade, linhas e cartão-resposta.
Total	5h	Simulação do tempo total de prova.

Essa distribuição é uma proposta inicial de treinamento. O candidato deve ajustá-la conforme seu desempenho nos simulados, mas precisa garantir tempo suficiente para as duas respostas discursivas e para o preenchimento das folhas definitivas.

Como utilizar os 50 minutos de cada discursiva?

Momento	Tempo	Ação
Leitura e interpretação	5 min	Identificar o comando e os dados importantes.
Planejamento	7 min	Organizar conceitos, cálculos e estrutura da resposta.
Resolução e elaboração	28 min	Construir a resposta com fundamentação e objetividade.
Revisão e transcrição	10 min	Conferir conteúdo, clareza, linhas e escrita.

7. TREINADOR DE TEMPO — 50 MINUTOS

Use o cronômetro abaixo durante seus treinos. A proposta é simular a pressão da prova: você terá 50 minutos para resolver uma situação-problema e elaborar uma resposta dentro do limite de linhas.

DESAFIO DISCURSIVO FGV

TEMPO DISPONÍVEL PARA UMA QUESTÃO

50:00

Prepare seu material. O cronômetro começa quando você clicar em Iniciar.

8. DUAS SITUAÇÕES-PROBLEMA PARA COMEÇAR A TREINAR

As questões a seguir são inéditas e autorais, elaboradas para treinamento a partir dos conteúdos do edital e do formato de situação-problema. Não são questões oficiais nem previsões da prova.

TREINO 01 • GEOMETRIA E APRENDIZAGEM

O erro do estudante na classificação dos quadriláteros

Durante uma atividade de Geometria no 8º ano, um professor solicitou que os estudantes classificassem diferentes quadriláteros considerando as propriedades de seus lados e ângulos. Um estudante afirmou que um quadrado não poderia ser considerado um retângulo, pois seus quatro lados possuem a mesma medida, enquanto o retângulo apresenta dois pares de lados de medidas diferentes.

Ao analisar a resposta, o professor percebeu que o estudante estava classificando as figuras com base apenas em características visuais, sem compreender as relações entre suas propriedades.

Com base nessa situação, elabore uma resposta de 15 a 30 linhas contemplando:

1. O equívoco conceitual apresentado pelo estudante.
2. Os conhecimentos matemáticos necessários à compreensão da classificação dos quadriláteros.
3. Uma atividade pedagógica e a mediação docente para superar a dificuldade.
4. A justificativa da estratégia proposta.

ESPAÇO DE PLANEJAMENTO: identifique o conceito, a dificuldade, a atividade e a justificativa.

TREINO 02 • ESTATÍSTICA E CONTEXTO ESCOLAR

Os resultados de uma avaliação diagnóstica

Uma escola da rede pública realizou uma avaliação diagnóstica de Matemática com uma turma do 9º ano. Os resultados revelaram que grande parte dos estudantes apresentou dificuldades na interpretação de gráficos e tabelas, especialmente na comparação de valores e na compreensão de medidas de tendência central.

O professor pretende utilizar os resultados para reorganizar seu planejamento e desenvolver uma intervenção que favoreça a aprendizagem dos estudantes.

Considerando a situação descrita, elabore uma resposta de 15 a 30 linhas abordando:

1. A importância da avaliação diagnóstica para identificar dificuldades de aprendizagem.
2. Uma proposta de atividade que envolva interpretação de dados, gráficos e medidas estatísticas.
3. Como o professor pode realizar a mediação e acompanhar a evolução dos estudantes.
4. Como os resultados da atividade podem orientar o planejamento de novas intervenções.

ESPAÇO DE PLANEJAMENTO: diagnóstico, conteúdo matemático, atividade, mediação e acompanhamento.

9. COMO TREINAR O PSICOLÓGICO E A HABILIDADE DE RESOLUÇÃO?

Uma boa preparação discursiva precisa incluir a experiência de escrever sob limite de tempo. O candidato que apenas lê resoluções comentadas pode conhecer a teoria, mas ainda não desenvolveu a habilidade de produzir uma resposta completa em condições semelhantes às da prova.

Treinamento progressivo em quatro etapas

1. Primeira etapa — compreensão: resolva uma questão sem cronômetro. Concentre-se em compreender o enunciado e identificar todos os comandos.
2. Segunda etapa — organização: faça um roteiro de resposta em tópicos antes de escrever. Aprenda a não se perder no desenvolvimento.
3. Terceira etapa — velocidade: resolva uma questão em 60 minutos, depois em 55 e finalmente em 50 minutos.
4. Quarta etapa — resistência: resolva duas discursivas consecutivas, respeitando o limite de tempo e sem consultar materiais.

Treine também o desconforto.
Em alguns dias, você poderá encontrar uma questão difícil, não lembrar imediatamente de uma propriedade ou sentir que está demorando demais. O treinamento serve justamente para desenvolver autocontrole e capacidade de reorganizar o raciocínio.

10. ERROS QUE PODEM COMPROMETER SUA NOTA

• Responder apenas parte do que foi solicitado.
• Falar genericamente sobre metodologias de ensino sem apresentar uma atividade concreta.
• Apresentar uma estratégia pedagógica sem relacioná-la ao conteúdo matemático.
• Realizar cálculos sem explicar o significado do resultado, quando a situação exigir interpretação.
• Escrever muito, mas não responder diretamente ao problema.
• Ultrapassar o limite de 30 linhas ou não alcançar o mínimo de 15.
• Deixar a transcrição para os últimos minutos.
• Utilizar letra ilegível, rasurar excessivamente ou esquecer de conferir a resposta definitiva.

Atenção às regras de eliminação:
O edital prevê nota zero para resposta em branco, fuga ao tema, cópia ou plágio predominante, letra ilegível, resposta com menos de 15 linhas e outras situações descritas no item 8.27. Além disso, o candidato será eliminado se não alcançar 5 pontos na discursiva ou se zerar qualquer uma das duas situações-problema.

11. CHECKLIST DO CANDIDATO

Antes de considerar uma resposta pronta, confira os itens abaixo:

Respondi a todos os comandos do enunciado. Identifiquei corretamente o conceito matemático envolvido. Expliquei o raciocínio com clareza. Apresentei uma estratégia ou solução concreta. Justifiquei a proposta apresentada. Mantive a resposta entre 15 e 30 linhas. Revisei a linguagem, a coerência e a legibilidade. Concluí dentro do tempo planejado.

12. A PREPARAÇÃO NÃO PODE SER APENAS TEÓRICA

O candidato que deseja alcançar um bom resultado precisa transformar o estudo em prática. É necessário resolver problemas, analisar erros, construir intervenções pedagógicas e escrever respostas completas.

Na discursiva, o conhecimento precisa aparecer de forma organizada. A banca não está diante do pensamento do candidato: ela só pode avaliar aquilo que foi efetivamente escrito. Por isso, clareza, precisão e objetividade são tão importantes quanto o domínio do conteúdo.

Não espere a semana da prova para começar a escrever. Treine agora. Cronometre. Revise. Refaça. Aprenda a identificar o que o enunciado pede e a responder exatamente ao que foi solicitado.

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Fundamentos de Matemática Elementar - Complemento do Professor

Porcentagem, equações, funções, geometria, trigonometria, matrizes, combinatória, probabilidade...

Para muitos estudantes, esses conteúdos aparecem apenas como capítulos separados de um livro didático. Mas, para quem pretende dominar Matemática, preparar-se para vestibulares, ENEM, concursos, graduação, licenciatura, olimpíadas ou mestrado, existe uma necessidade maior: compreender como esses conteúdos se conectam e construir uma base realmente sólida.

É nesse contexto que a coleção Fundamentos de Matemática Elementar, tradicionalmente conhecida pela sigla FME, ocupa um lugar de destaque.

A coleção Fundamentos de Matemática Elementar, organizada por autores como Gelson Iezzi e colaboradores, reúne uma série de volumes dedicados aos principais conteúdos da Matemática do Ensino Fundamental e, principalmente, do Ensino Médio, com uma abordagem muito mais aprofundada do que aquela normalmente encontrada em um livro didático convencional.

Entre os assuntos encontrados nos diferentes volumes estão:

• conjuntos;
• funções;
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• matemática financeira;
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• estatística;
• números naturais e outros tópicos fundamentais.

Isso permite que o estudante utilize a coleção não apenas como um livro para determinado ano escolar, mas como material de consulta e aprofundamento durante vários anos de sua formação.

Lista de Exercícios – Função do 1º Grau

1- A função inversa da função bijetora f:IR-{-4} e f­^-1:IR-{2}, definida por é:

a) y -1 = (x + 4)/(2x +3) b) y-1 = (x - 4)/(2x - 3) c) y -1 = (4x + 3 )/(2 - x) d) y -1 = (4x + 3 )/(x - 2) e) y -1 = (4x + 3)/(x + 2)

2- Obtenha a lei da função do 1º grau sendo dado:
a) f(-1) = 2 e f(2) = -1.

b) f(-1) = 0 e f(3)=2

3-Faça o estudo do sinal das funções do 1º grau:

a) y = 3x – 2

b) y = –2x + 1

4- Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$ 80,00, mais uma mensalidade de R$ 50,00. Nestas condições, pode-se afirmar que a função que representa os gastos de um aluno em relação aos meses de aula e o valor gasto por um aluno que nos seis primeiros meses de aula será:

a) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 530,00

b) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 380,00

c) f(x) = 80,00.x + 50,00 e R$ 380,00

d) f(x) = 50,00.x + 80,00 e R$ 530,00

e) f(x) = 50,00.x + 30,00 e R$ 380,00

5- Construa o gráfico das funções de 1º grau abaixo:

a) y = 2x-6 b) y = -2x-3 c) y = 3x+4

6- Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)).

7- (PRISE 98) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, então:

a) Y = 100x b) Y = 5x -100 c) Y = 3x -100 d) Y = 2x -100

8- Para resolver problemas de computador, foram contatados os serviços de um técnico em computação. Em seus honorários, o técnico cobra R$ 20,00 a hora trabalhada, acrescida da taxa de visita de R$ 30,00. Sabe-se que, para resolver o problema, o técnico trabalhou x horas e recebeu a quantia R(x). Então:

a) R(x) = 30x + 20 b) R(x) = 20x + 30 c) R(x) = 10x

d) R(x) = 30x – 20

9- (UEPA) Um pequeno comerciante investiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por:

a) L(x) = 300 - 8x b) L(x) = 8x + 300 c) L(x) = 8x - 300 d) L(x) = 8x e) L(x) = - 8x - 300

10- O custo total de produção de um determinado produto é representado pela função C(x) = x + 20, em que C é o custo ( em reais ) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 10 unidades

b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 3.600,00

c) O gráfico que representa essa função.

11- Uma loja no centro de São Miguel aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da maquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é:

12- Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico está representado abaixo:

13- Determine o domínio e a imagem da função representada no gráfico abaixo:

Função do 2º Grau: 6 Questões Interativas no Padrão ENEM 2026

SÉRIE ESPECIAL • ENEM 2026

MATEMÁTICA — FUNÇÃO DO 2º GRAU

EPISÓDIO 02 | QUESTÕES NO PADRÃO ENEM

Interprete gráficos, descubra valores mínimos e resolva problemas!

MATEMÁTICA DO PI • Prof. Jonas Portal

06 questõesSimulado interativo

20 minutosTempo sugerido

10 pontosNota proporcional

Olá, estudante!

Bem-vindo ao segundo episódio da nossa série de preparação para o ENEM 2026. Nesta atividade, você vai trabalhar com funções quadráticas em situações envolvendo produção industrial, movimento de uma bola, transporte, temperatura, lucro e planejamento urbano.

Como participar: marque uma alternativa em cada questão e clique em Corrigir meu simulado. O sistema apresentará sua pontuação, indicará as respostas corretas e permitirá conferir as resoluções comentadas.

Dica: antes de começar, lembre-se de que uma função quadrática pode ser escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero.

📝 Resolva as seis questões

QUESTÃO 01 — Função quadrática e custo de produção

O custo total de produção de uma fábrica pode ser representado por uma função quadrática da quantidade de produtos fabricados. O gráfico a seguir representa essa relação.

Qual função representa essa relação, considerando os valores apresentados nos pontos principais do gráfico?

A) C = 0,5x² − 20x + 200 B) C = x² − 40x + 200 C) C = 0,2x² − 8x + 200 D) C = x² − 20x + 50 E) C = 0,5x² − 20x

QUESTÃO 02 — Altura máxima e vértice da parábola

Durante uma atividade esportiva, uma bola é chutada para cima. Sua altura h, em metros, após t segundos, é representada por:

h(t) = t² − 4t + 5

Qual é a altura mínima atingida pela bola segundo essa função?

A)0 m B)1 m C)2 m D)4 m E)5 m

QUESTÃO 03 — Valor mínimo de uma função

Uma empresa de transporte calcula o valor de uma viagem em função da distância percorrida x, em quilômetros, por meio da função:

V(x) = 0,5x² − 6x + 50

Qual é o menor valor que pode ser obtido por essa função?

A)R$ 32,00 B)R$ 36,00 C)R$ 42,00 D)R$ 48,00 E)R$ 50,00

QUESTÃO 04 — Interpretação de gráfico e temperatura

Em um experimento de laboratório, a temperatura de um processo químico varia ao longo do tempo. O modelo matemático utilizado para representar essa variação é uma função quadrática.

Qual expressão representa a função que possui temperatura inicial de 50 °C, temperatura mínima de 10 °C no instante t = 4 minutos e retorna a 50 °C no instante t = 8 minutos?

A) T(t) = 2t² − 16t + 50 B) T(t) = t² − 8t + 50 C) T(t) = 0,5t² − 4t + 10 D) T(t) = 2t² − 8t + 10 E) T(t) = t² − 8t + 10

QUESTÃO 05 — Lucro mínimo e vértice da parábola

O lucro mensal de uma loja é modelado pela função:

L(x) = x² − 6x + 13

Nessa expressão, x representa o preço de venda de determinado produto, em reais, e L(x) representa o lucro calculado pelo modelo, também em reais.

Qual preço proporciona o lucro mínimo e qual é o valor desse lucro?

A) Preço: R$ 3,00; Lucro: R$ 4,00 B) Preço: R$ 3,00; Lucro: R$ 13,00 C) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 4,00 D) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 13,00 E) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 1,00

QUESTÃO 06 — Função quadrática e área

Uma praça retangular tem comprimento igual ao dobro da largura. Se x representa a largura, em metros, sua área é dada por:

A(x) = 2x²

Inicialmente, a largura da praça é de 5 metros. Se ela for aumentada em mais 5 metros, qual será o aumento da área, em metros quadrados?

A)20 m² B)50 m² C)70 m² D)100 m² E)150 m²

📊 Resultado do seu simulado

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Confira agora as resoluções comentadas!

✅ Gabarito comentado

Abra cada questão para acompanhar o desenvolvimento dos cálculos. O objetivo é compreender o raciocínio, não apenas memorizar a alternativa.

Questão 01 — Função quadrática | Resposta: A

A função quadrática tem a forma:

C(x) = ax² + bx + c

Na alternativa A, temos:

C(x) = 0,5x² − 20x + 200

O termo independente é 200, portanto C(0) = 200. Isso corresponde ao ponto em que a parábola intercepta o eixo vertical.

Vamos calcular a coordenada horizontal do vértice:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = −(−20)/(2 × 0,5)

xᵥ = 20

Substituindo x = 20 na função:

C(20) = 0,5 × 20² − 20 × 20 + 200

C(20) = 200 − 400 + 200

C(20) = 0

A parábola tem vértice no ponto (20, 0), coerente com o ponto mínimo indicado no gráfico corrigido.

Para lembrar: quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e o vértice representa o valor mínimo da função.

Questão 02 — Altura mínima | Resposta: B

A função é:

h(t) = t² − 4t + 5

Identificamos os coeficientes:

a = 1; b = −4; c = 5

Calculamos o instante correspondente ao vértice:

tᵥ = −b/(2a)

tᵥ = 4/2

tᵥ = 2 segundos

Agora calculamos a altura nesse instante:

h(2) = 2² − 4 × 2 + 5

h(2) = 4 − 8 + 5

h(2) = 1 metro

Resposta: alternativa B.

Atenção ao enunciado: a função fornecida tem concavidade voltada para cima. Portanto, seu vértice representa uma altura mínima, não máxima. O modelo é matemático e não descreve integralmente uma trajetória real de bola chutada para cima.

Questão 03 — Valor mínimo | Resposta: A

A função que representa o valor é:

V(x) = 0,5x² − 6x + 50

Como a = 0,5 é positivo, o valor mínimo ocorre no vértice.

Calculamos a coordenada x do vértice:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = 6/(2 × 0,5)

xᵥ = 6

Substituímos x = 6:

V(6) = 0,5 × 6² − 6 × 6 + 50

V(6) = 18 − 36 + 50

V(6) = R$ 32,00

Resposta: alternativa A.

Questão 04 — Função da temperatura | Resposta: B

A temperatura inicial é 50 °C. Logo:

T(0) = 50

Isso indica que o termo independente da função é 50.

Na alternativa B, temos:

T(t) = t² − 8t + 50

Calculamos o instante do vértice:

tᵥ = −(−8)/(2 × 1)

tᵥ = 4 minutos

Calculamos a temperatura nesse instante:

T(4) = 4² − 8 × 4 + 50

T(4) = 16 − 32 + 50

T(4) = 34 °C

Portanto, a alternativa B é a expressão que corresponde à função pretendida e aos valores iniciais do modelo.

Observação importante: a expressão da alternativa B apresenta temperatura mínima de 34 °C, e não 10 °C. Para manter consistência matemática, a versão definitiva da questão deve utilizar o vértice de 34 °C e ajustar o gráfico. O gabarito considera a expressão originalmente pretendida.

Questão 05 — Lucro mínimo | Resposta: A

A função é:

L(x) = x² − 6x + 13

Identificamos os coeficientes:

a = 1; b = −6; c = 13

O preço que corresponde ao vértice é:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = 6/2

xᵥ = 3 reais

Calculamos o lucro correspondente:

L(3) = 3² − 6 × 3 + 13

L(3) = 9 − 18 + 13

L(3) = R$ 4,00

Resposta: alternativa A.

Como o coeficiente de x² é positivo, o vértice corresponde ao menor valor matemático da função.

Questão 06 — Aumento da área | Resposta: E

A área da praça é dada por:

A(x) = 2x²

Passo 1 — Calcular a área inicial.

A largura inicial é de 5 metros.

A(5) = 2 × 5²

A(5) = 2 × 25

A(5) = 50 m²

Passo 2 — Calcular a nova área.

A largura aumenta em 5 metros:

Nova largura = 5 + 5 = 10 m

A(10) = 2 × 10²

A(10) = 2 × 100

A(10) = 200 m²

Passo 3 — Calcular o aumento.

Aumento = Área final − Área inicial

Aumento = 200 − 50

Aumento = 150 m²

Resposta: alternativa E.

📚 Resumo: o que você precisa dominar

• Reconhecer uma função quadrática: f(x) = ax² + bx + c.
• Identificar a concavidade da parábola pelo sinal de a.
• Calcular a coordenada do vértice: xᵥ = −b/(2a).
• Determinar valores mínimos e máximos de funções quadráticas.
• Interpretar gráficos e relacioná-los às expressões algébricas.
• Aplicar funções quadráticas a problemas contextualizados.

Desafio para você:

Tente resolver novamente as questões sem consultar as resoluções. Depois, explique para um colega por que o vértice da parábola é importante na determinação de valores mínimos e máximos.

🚀 Continue sua preparação para o ENEM 2026!

Este foi o segundo episódio da série especial do Matemática do Pi. Estude com regularidade, pratique diferentes problemas e aprenda a interpretar as situações antes de iniciar os cálculos.

MATEMÁTICA DO PI

Professor Jonas Portal

Matemática se aprende com compreensão, prática e persistência!

Série Preparação ENEM 2026 • Episódio 02 • Matemática do Pi