Por que 180° é igual a π radianos? A história por trás do ciclo trigonométrico.

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Matemática do Pi · Trigonometria sem mistério

Por que 180° é igual a π radianos?

Uma pergunta simples abre uma porta para a história da matemática, para o comprimento da circunferência e para uma das ideias mais elegantes do ciclo trigonométrico.

π

Imagine a cena: você está começando a estudar o ciclo trigonométrico e o professor escreve no quadro 180° = π. É natural perguntar: “Isso é uma convenção? Alguém decidiu que seria assim? Existe uma demonstração?”

A resposta curta é: não é uma igualdade entre o número 180 e o número π. É uma equivalência entre duas maneiras de medir o mesmo ângulo: 180 graus correspondem a π radianos. E essa equivalência pode ser demonstrada usando apenas uma ideia sobre círculos.

A ideia central: os graus dividem uma volta em 360 partes convencionais; os radianos medem o ângulo a partir da relação entre o comprimento do arco e o raio da circunferência.

1. Primeiro mistério: por que usamos 360° em uma volta completa?

Uma volta completa poderia, matematicamente, ser dividida em 100, 400 ou 1.000 partes. O número 360 não é uma lei da natureza: é uma escolha histórica que se consolidou ao longo do tempo.

Uma parte importante dessa história passa pelas antigas civilizações da Mesopotâmia, especialmente pela tradição matemática e astronômica babilônica. Os babilônios utilizavam um sistema de numeração sexagesimal, isto é, de base 60. A astronomia antiga também observava ciclos celestes e organizava o céu por divisões angulares. A divisão da volta em 360 partes foi herdada e desenvolvida ao longo dessa tradição.

O desenho mostra os quatro quadrantes. Cada quarto de volta mede 90°; quatro quartos formam 360°.

Por que 360 é uma escolha conveniente? Além da tradição histórica, ele tem muitos divisores inteiros: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 e outros. Isso facilita dividir uma volta em metades, terços, quartos, sextos e várias frações sem recorrer imediatamente a números decimais.

360 é uma convenção.
Uma volta completa também poderia ser chamada de 1 volta, 400 grados ou 2π radianos.

Mas não é um número aleatório sem contexto.
A escolha se relaciona à história da contagem sexagesimal e da astronomia antiga, embora os detalhes exatos de sua origem sejam debatidos por historiadores.

Curiosidade: a tradição sexagesimal também ajuda a explicar por que dividimos cada grau em 60 minutos de arco e cada minuto em 60 segundos de arco.

2. E o que é um radiano?

Agora vem a ideia decisiva. Imagine uma circunferência de raio r. Escolha dois pontos nela e observe o arco entre eles. O ângulo central correspondente pode ser medido comparando o comprimento desse arco com o raio.

Por definição, um radiano é o ângulo central que determina um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.

Em linguagem matemática, se s é o comprimento do arco e r é o raio, a medida do ângulo em radianos é:

θ = s / r

Repare: estamos dividindo um comprimento por outro comprimento. Por isso, as unidades de comprimento se cancelam. O radiano é uma medida angular adimensional, embora seja muito útil escrever “rad” para deixar claro que estamos usando essa forma de medir.

3. A demonstração: por que meia volta é π radianos?

Vamos demonstrar passo a passo. A fórmula do comprimento de uma circunferência é:

C = 2πr

Em uma volta completa, o arco percorrido é a circunferência inteira. Logo, o comprimento do arco é s = 2πr. Pela definição de radiano:

θ = s/r = (2πr)/r = 2π rad

Portanto, uma volta completa corresponde a 2π radianos. Como essa mesma volta mede 360°, temos a equivalência:

360° = 2π rad

Dividindo os dois lados por 2, obtemos:

180° = π rad

Conclusão: π radianos correspondem a meia volta porque o arco de meia circunferência mede πr. Ao dividir esse comprimento pelo raio r, resulta π. Não precisamos “acreditar” na equivalência: ela vem da definição de radiano e da fórmula da circunferência.

4. Veja a ideia em movimento

Arraste o controle para mudar o ângulo. Observe como a medida em graus e a medida em radianos descrevem exatamente a mesma rotação.

Ângulo:

180°

180° = π rad · ponto (-1, 0)

O ponto sobre a circunferência tem coordenadas (cos θ, sen θ). Os valores exibidos são aproximados quando necessário.

5. Então, π é uma convenção?

Não. O símbolo π representa uma constante matemática: a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro. Essa razão é aproximadamente 3,14159… e não depende do tamanho do círculo.

O que depende da escolha humana é a unidade usada para medir ângulos. Os graus dividem a volta em 360 partes; os radianos usam a razão entre arco e raio. Quando usamos radianos, π aparece naturalmente porque o comprimento de uma circunferência é 2πr.

Graus (°)
Uma volta = 360°.
É uma escala angular tradicional e prática.

Radianos (rad)
Uma volta = 2π rad.
Relacionam diretamente ângulo, arco e raio.

O sistema em radianos é especialmente importante em matemática avançada e física. Por exemplo, fórmulas de comprimento de arco ficam muito simples: s = rθ, desde que θ esteja em radianos. Em cálculo diferencial, várias fórmulas trigonométricas também assumem sua forma mais simples quando o ângulo é medido em radianos.

6. Tabela essencial para o ciclo trigonométrico

Graus	Radianos	Referência no ciclo
0°	0	Início da volta
30°	π/6	Primeiro quadrante
45°	π/4	Primeiro quadrante
60°	π/3	Primeiro quadrante
90°	π/2	Um quarto de volta
180°	π	Meia volta
270°	3π/2	Três quartos de volta
360°	2π	Uma volta completa

Como converter graus em radianos?

Use a proporção 180° ↔ π rad. Para passar de graus a radianos, multiplique por π/180.

θ rad = θ° × π/180

Exemplo: 60° × π/180 = 60π/180 = π/3 rad.

Para converter de radianos para graus, multiplique por 180/π.

θ° = θ rad × 180/π

7. Teste seus conhecimentos

Responda às questões e clique em “Corrigir”. É uma boa forma de verificar se a ideia ficou clara.

1. Uma volta completa corresponde a: π radianos 2π radianos 180 radianos

2. Pela definição de radiano, θ é igual a: r/s s + r s/r

3. Por que 180° corresponde a π radianos? Porque π foi definido como 180 Porque meia circunferência mede πr e πr/r = π Porque todos os ângulos devem conter π

4. A escolha de 360° para uma volta é: Uma convenção histórica que se consolidou Uma consequência obrigatória do valor de π Uma regra exclusiva do ciclo trigonométrico

8. Um desafio para pensar além da fórmula

Desafio: se uma volta completa mede 2π radianos, quanto mede um ângulo de 225° em radianos? E por que o resultado é maior que π?

Ver resolução do desafio

Convertemos multiplicando por π/180:

225° × π/180 = 225π/180 = 5π/4 rad

Como 225° é maior que 180°, o ângulo percorre mais de meia volta. Por isso, sua medida em radianos, 5π/4, é maior que π e menor que 2π.

Para guardar na memória

360° = 2π rad   |   180° = π rad   |   90° = π/2 rad

A pergunta do estudante nos lembra que aprender matemática não é apenas memorizar equivalências. É compreender de onde elas vêm. A escolha dos 360° pertence à história das medidas angulares; a presença de π nos radianos nasce da geometria da circunferência.

Da próxima vez que você encontrar π no ciclo trigonométrico, lembre-se: ele não foi colocado ali por capricho. Ele aparece porque, ao medir ângulos com arcos e raios, a própria circunferência conduz naturalmente a esse número.

Referências para aprofundamento

• OpenStax — Algebra and Trigonometry, seção 7.1: Angles. Explica a definição de radiano e a relação entre 360° e 2π.
• NIST — A brief history of the second. Contextualiza a história antiga das divisões angulares e sexagesimais.
• Swinburne University — COSMOS: Degree (angular). Resume a relação histórica entre a divisão em 360° e o sistema sexagesimal.
• U.S. Department of Energy — Fundamentals Handbook, Mathematics, Volume 2. Apresenta a definição operacional de radiano e conversões entre unidades angulares.

Material didático para estudantes do Ensino Médio. As explicações históricas são resumidas; a origem exata da adoção de 360° envolve processos antigos cuja cronologia é discutida por historiadores.

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Função do 2º Grau: 6 Questões Interativas no Padrão ENEM 2026

SÉRIE ESPECIAL • ENEM 2026

MATEMÁTICA — FUNÇÃO DO 2º GRAU

EPISÓDIO 02 | QUESTÕES NO PADRÃO ENEM

Interprete gráficos, descubra valores mínimos e resolva problemas!

MATEMÁTICA DO PI • Prof. Jonas Portal

06 questõesSimulado interativo

20 minutosTempo sugerido

10 pontosNota proporcional

Olá, estudante!

Bem-vindo ao segundo episódio da nossa série de preparação para o ENEM 2026. Nesta atividade, você vai trabalhar com funções quadráticas em situações envolvendo produção industrial, movimento de uma bola, transporte, temperatura, lucro e planejamento urbano.

Como participar: marque uma alternativa em cada questão e clique em Corrigir meu simulado. O sistema apresentará sua pontuação, indicará as respostas corretas e permitirá conferir as resoluções comentadas.

Dica: antes de começar, lembre-se de que uma função quadrática pode ser escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero.

📝 Resolva as seis questões

QUESTÃO 01 — Função quadrática e custo de produção

O custo total de produção de uma fábrica pode ser representado por uma função quadrática da quantidade de produtos fabricados. O gráfico a seguir representa essa relação.

Qual função representa essa relação, considerando os valores apresentados nos pontos principais do gráfico?

A) C = 0,5x² − 20x + 200 B) C = x² − 40x + 200 C) C = 0,2x² − 8x + 200 D) C = x² − 20x + 50 E) C = 0,5x² − 20x

QUESTÃO 02 — Altura máxima e vértice da parábola

Durante uma atividade esportiva, uma bola é chutada para cima. Sua altura h, em metros, após t segundos, é representada por:

h(t) = t² − 4t + 5

Qual é a altura mínima atingida pela bola segundo essa função?

A)0 m B)1 m C)2 m D)4 m E)5 m

QUESTÃO 03 — Valor mínimo de uma função

Uma empresa de transporte calcula o valor de uma viagem em função da distância percorrida x, em quilômetros, por meio da função:

V(x) = 0,5x² − 6x + 50

Qual é o menor valor que pode ser obtido por essa função?

A)R$ 32,00 B)R$ 36,00 C)R$ 42,00 D)R$ 48,00 E)R$ 50,00

QUESTÃO 04 — Interpretação de gráfico e temperatura

Em um experimento de laboratório, a temperatura de um processo químico varia ao longo do tempo. O modelo matemático utilizado para representar essa variação é uma função quadrática.

Qual expressão representa a função que possui temperatura inicial de 50 °C, temperatura mínima de 10 °C no instante t = 4 minutos e retorna a 50 °C no instante t = 8 minutos?

A) T(t) = 2t² − 16t + 50 B) T(t) = t² − 8t + 50 C) T(t) = 0,5t² − 4t + 10 D) T(t) = 2t² − 8t + 10 E) T(t) = t² − 8t + 10

QUESTÃO 05 — Lucro mínimo e vértice da parábola

O lucro mensal de uma loja é modelado pela função:

L(x) = x² − 6x + 13

Nessa expressão, x representa o preço de venda de determinado produto, em reais, e L(x) representa o lucro calculado pelo modelo, também em reais.

Qual preço proporciona o lucro mínimo e qual é o valor desse lucro?

A) Preço: R$ 3,00; Lucro: R$ 4,00 B) Preço: R$ 3,00; Lucro: R$ 13,00 C) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 4,00 D) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 13,00 E) Preço: R$ 6,00; Lucro: R$ 1,00

QUESTÃO 06 — Função quadrática e área

Uma praça retangular tem comprimento igual ao dobro da largura. Se x representa a largura, em metros, sua área é dada por:

A(x) = 2x²

Inicialmente, a largura da praça é de 5 metros. Se ela for aumentada em mais 5 metros, qual será o aumento da área, em metros quadrados?

A)20 m² B)50 m² C)70 m² D)100 m² E)150 m²

📊 Resultado do seu simulado

0/10

Confira agora as resoluções comentadas!

✅ Gabarito comentado

Abra cada questão para acompanhar o desenvolvimento dos cálculos. O objetivo é compreender o raciocínio, não apenas memorizar a alternativa.

Questão 01 — Função quadrática | Resposta: A

A função quadrática tem a forma:

C(x) = ax² + bx + c

Na alternativa A, temos:

C(x) = 0,5x² − 20x + 200

O termo independente é 200, portanto C(0) = 200. Isso corresponde ao ponto em que a parábola intercepta o eixo vertical.

Vamos calcular a coordenada horizontal do vértice:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = −(−20)/(2 × 0,5)

xᵥ = 20

Substituindo x = 20 na função:

C(20) = 0,5 × 20² − 20 × 20 + 200

C(20) = 200 − 400 + 200

C(20) = 0

A parábola tem vértice no ponto (20, 0), coerente com o ponto mínimo indicado no gráfico corrigido.

Para lembrar: quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e o vértice representa o valor mínimo da função.

Questão 02 — Altura mínima | Resposta: B

A função é:

h(t) = t² − 4t + 5

Identificamos os coeficientes:

a = 1; b = −4; c = 5

Calculamos o instante correspondente ao vértice:

tᵥ = −b/(2a)

tᵥ = 4/2

tᵥ = 2 segundos

Agora calculamos a altura nesse instante:

h(2) = 2² − 4 × 2 + 5

h(2) = 4 − 8 + 5

h(2) = 1 metro

Resposta: alternativa B.

Atenção ao enunciado: a função fornecida tem concavidade voltada para cima. Portanto, seu vértice representa uma altura mínima, não máxima. O modelo é matemático e não descreve integralmente uma trajetória real de bola chutada para cima.

Questão 03 — Valor mínimo | Resposta: A

A função que representa o valor é:

V(x) = 0,5x² − 6x + 50

Como a = 0,5 é positivo, o valor mínimo ocorre no vértice.

Calculamos a coordenada x do vértice:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = 6/(2 × 0,5)

xᵥ = 6

Substituímos x = 6:

V(6) = 0,5 × 6² − 6 × 6 + 50

V(6) = 18 − 36 + 50

V(6) = R$ 32,00

Resposta: alternativa A.

Questão 04 — Função da temperatura | Resposta: B

A temperatura inicial é 50 °C. Logo:

T(0) = 50

Isso indica que o termo independente da função é 50.

Na alternativa B, temos:

T(t) = t² − 8t + 50

Calculamos o instante do vértice:

tᵥ = −(−8)/(2 × 1)

tᵥ = 4 minutos

Calculamos a temperatura nesse instante:

T(4) = 4² − 8 × 4 + 50

T(4) = 16 − 32 + 50

T(4) = 34 °C

Portanto, a alternativa B é a expressão que corresponde à função pretendida e aos valores iniciais do modelo.

Observação importante: a expressão da alternativa B apresenta temperatura mínima de 34 °C, e não 10 °C. Para manter consistência matemática, a versão definitiva da questão deve utilizar o vértice de 34 °C e ajustar o gráfico. O gabarito considera a expressão originalmente pretendida.

Questão 05 — Lucro mínimo | Resposta: A

A função é:

L(x) = x² − 6x + 13

Identificamos os coeficientes:

a = 1; b = −6; c = 13

O preço que corresponde ao vértice é:

xᵥ = −b/(2a)

xᵥ = 6/2

xᵥ = 3 reais

Calculamos o lucro correspondente:

L(3) = 3² − 6 × 3 + 13

L(3) = 9 − 18 + 13

L(3) = R$ 4,00

Resposta: alternativa A.

Como o coeficiente de x² é positivo, o vértice corresponde ao menor valor matemático da função.

Questão 06 — Aumento da área | Resposta: E

A área da praça é dada por:

A(x) = 2x²

Passo 1 — Calcular a área inicial.

A largura inicial é de 5 metros.

A(5) = 2 × 5²

A(5) = 2 × 25

A(5) = 50 m²

Passo 2 — Calcular a nova área.

A largura aumenta em 5 metros:

Nova largura = 5 + 5 = 10 m

A(10) = 2 × 10²

A(10) = 2 × 100

A(10) = 200 m²

Passo 3 — Calcular o aumento.

Aumento = Área final − Área inicial

Aumento = 200 − 50

Aumento = 150 m²

Resposta: alternativa E.

📚 Resumo: o que você precisa dominar

• Reconhecer uma função quadrática: f(x) = ax² + bx + c.
• Identificar a concavidade da parábola pelo sinal de a.
• Calcular a coordenada do vértice: xᵥ = −b/(2a).
• Determinar valores mínimos e máximos de funções quadráticas.
• Interpretar gráficos e relacioná-los às expressões algébricas.
• Aplicar funções quadráticas a problemas contextualizados.

Desafio para você:

Tente resolver novamente as questões sem consultar as resoluções. Depois, explique para um colega por que o vértice da parábola é importante na determinação de valores mínimos e máximos.

🚀 Continue sua preparação para o ENEM 2026!

Este foi o segundo episódio da série especial do Matemática do Pi. Estude com regularidade, pratique diferentes problemas e aprenda a interpretar as situações antes de iniciar os cálculos.

MATEMÁTICA DO PI

Professor Jonas Portal

Matemática se aprende com compreensão, prática e persistência!

Série Preparação ENEM 2026 • Episódio 02 • Matemática do Pi

Geometria Plana e Espacial: 5 Questões Resolvidas no Estilo ENEM | Preparação ENEM 2026

SÉRIE ESPECIAL • ENEM 2026

GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

5 questões no estilo ENEM

Interprete, calcule e confira seu desempenho!

MATEMÁTICA DO PI • Professor Jonas Portal

05 questõesSimulado interativo

15 minutosTempo sugerido

10 pontos2 pontos por questão

Olá, estudante!
Está se preparando para o ENEM 2026? Nesta atividade, você vai praticar conteúdos fundamentais de Geometria Plana e Espacial por meio de situações contextualizadas, semelhantes às encontradas em provas de Matemática.

Como funciona: leia cada problema, marque uma alternativa e clique em Corrigir meu simulado ao terminar. Você verá sua pontuação, o gabarito e a resolução comentada de cada questão.

Dica: tente resolver todas as questões antes de consultar as explicações!

📝 Hora de praticar!

QUESTÃO 01 — Geometria espacial e área total

Um professor construirá um aquário retangular de vidro para um projeto escolar. O aquário terá 50 cm de comprimento, 30 cm de largura e 25 cm de altura. Ele não terá tampa, e o custo do vidro é de R$ 100,00 por metro quadrado.

Desconsiderando as emendas do vidro, quanto será gasto na construção do aquário?

A)R$ 55,00 B)R$ 150,00 C)R$ 500,00 D)R$ 600,00

QUESTÃO 02 — Volume do cilindro

Uma caneca cilíndrica tem 10 cm de altura e 6 cm de diâmetro interno. Para estimar sua capacidade, considere que ela pode ser aproximada por um cilindro circular reto.

Considerando π = 3,1, qual é o volume aproximado da caneca?

A)279 cm³ B)326 cm³ C)427 cm³ D)331 cm³

QUESTÃO 03 — Área do círculo

Uma prefeitura planeja construir uma praça circular com 50 metros de diâmetro. O projeto prevê a instalação de gramado em toda a superfície interna da praça.

Considerando π = 3,14, qual é a área da praça?

A)1.962,5 m² B)1.334,6 m² C)949 m² D)625 m²

QUESTÃO 04 — Comprimento da circunferência

Uma equipe de manutenção fará dez voltas completas ao redor da praça circular apresentada na questão anterior para inspecionar o calçamento de seu perímetro.

Qual será a distância total percorrida pela equipe ao completar as dez voltas? Considere π = 3,14.

A)1.750 m B)1.570 m C)500 m D)1.314 m

QUESTÃO 05 — Área da coroa circular

Um arquiteto projetou uma estrutura circular decorativa composta por uma região externa pintada e uma região interna que ficará sem pintura. A figura representa as duas regiões.

Qual é a área da parte pintada? Considere π = 3,14.

A)1.256 m² B)314 m² C)1.566 m² D)942 m²

📊 Seu resultado

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Agora, confira as resoluções comentadas abaixo!

✅ Gabarito comentado e resoluções

As resoluções a seguir mostram o raciocínio matemático necessário para solucionar cada problema. Abra cada quadro para estudar.

Questão 01 — Área de vidro e custo | Resposta: A

Passo 1: calcular a área do fundo.

A_fundo = 50 × 30 = 1.500 cm²

Passo 2: calcular as áreas das quatro paredes.

Duas paredes têm dimensões 50 cm × 25 cm:

A_maiores = 2 × 50 × 25 = 2.500 cm²

As outras duas paredes medem 30 cm × 25 cm:

A_menores = 2 × 30 × 25 = 1.500 cm²

Passo 3: somar as áreas.

A_total = 1.500 + 2.500 + 1.500
A_total = 5.500 cm²

Passo 4: converter para metros quadrados.

Como 1 m² = 10.000 cm²:

5.500 ÷ 10.000 = 0,55 m²

Passo 5: calcular o custo.

Custo = 0,55 × R$ 100,00
Custo = R$ 55,00

Portanto, a alternativa correta é A.

Atenção! Como o aquário não tem tampa, não devemos incluir a área superior no cálculo. Também é necessário converter cm² para m² antes de multiplicar pelo preço por metro quadrado.

Questão 02 — Volume do cilindro | Resposta: A

O volume de um cilindro circular reto é dado por:

V = πr²h

Passo 1: identificar o raio.

O diâmetro mede 6 cm. Portanto, o raio é metade desse valor:

r = 6 ÷ 2 = 3 cm

Passo 2: substituir os valores.

V = 3,1 × 3² × 10

Passo 3: resolver as operações.

V = 3,1 × 9 × 10
V = 27,9 × 10
V = 279 cm³

Alternativa correta: A.

Erro comum: usar o diâmetro como se fosse o raio. A fórmula do volume exige o raio elevado ao quadrado.

Questão 03 — Área do círculo | Resposta: A

A área de um círculo é calculada por:

A = πr²

Passo 1: encontrar o raio.

r = 50 ÷ 2 = 25 m

Passo 2: substituir na fórmula.

A = 3,14 × 25²
A = 3,14 × 625
A = 1.962,5 m²

Alternativa correta: A.

Dica para o ENEM: se o enunciado informa o diâmetro, divida-o por 2 antes de aplicar a fórmula da área do círculo. Não confunda área com comprimento da circunferência.

Questão 04 — Comprimento da circunferência | Resposta: B

O comprimento de uma circunferência é dado por:

C = πd

Passo 1: calcular o perímetro da praça.

C = 3,14 × 50
C = 157 m

Passo 2: calcular a distância de dez voltas.

D = 10 × 157
D = 1.570 m

Alternativa correta: B.

Observe a diferença: uma volta corresponde ao comprimento da circunferência. Dez voltas correspondem a dez vezes esse comprimento.

Questão 05 — Coroa circular | Resposta: D

A região pintada corresponde à área do círculo maior menos a área do círculo menor.

A = πR² − πr²

Colocando π em evidência:

A = π(R² − r²)

Passo 1: identificar os raios.

Raio externo: R = 20 m
Raio interno: r = 10 m

Passo 2: substituir os valores.

A = 3,14 × (20² − 10²)

Passo 3: calcular os quadrados.

A = 3,14 × (400 − 100)
A = 3,14 × 300
A = 942 m²

Alternativa correta: D.

Estratégia: para calcular a área de uma coroa circular, subtraia a área do círculo interno da área do círculo externo. Não subtraia os raios diretamente.

📚 O que você revisou nesta atividade?

• Área de superfícies de sólidos geométricos.
• Conversão de unidades de área: cm² para m².
• Volume de um cilindro circular reto.
• Área de um círculo.
• Comprimento de uma circunferência.
• Área de uma coroa circular.
• Interpretação de problemas contextualizados.

Desafio final: você conseguiu resolver as cinco questões sem consultar as fórmulas? Se ainda teve dificuldades, refaça os cálculos e procure identificar em qual etapa ocorreu o erro. Aprender Matemática também significa compreender o raciocínio por trás de cada resposta.

🚀 Sua preparação para o ENEM 2026 continua!

Este foi o primeiro episódio da nossa série especial de Matemática. Continue estudando, praticando e desenvolvendo sua capacidade de interpretar situações-problema.

MATEMÁTICA DO PI

Matemática se aprende com compreensão, prática e persistência!

Professor Jonas Portal

Série de preparação para o ENEM 2026 • Matemática do Pi

QUESTÕES PADRÃO ENQ PROFMAT - Com cronômetro contador de tempo de resolução

Matemática do Pi • Treino avançado

Desafio ENQ PROFMAT: 4 questões para treinar

Uma questão de cada disciplina básica: MA11, MA12, MA13 e MA14.

Modo simulado: tente resolver no papel antes de abrir cada resolução.

Como usar o cronômetro: cada questão tem seu próprio contador de 15 minutos. Clique em “Iniciar”; pause ou reinicie quando quiser. O cronômetro é apenas uma ferramenta de treino e não interfere na correção.

MA11 • Números e Funções Reais

Questão 1 — Parâmetro e não negatividade

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine todos os valores reais do parâmetro \(a\) para os quais a função

f(x)=x²−2ax+a+2

é não negativa para todo \(x\in\mathbb{R}\). Justifique sua resposta de maneira completa.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Observe o coeficiente quadrático

Como o coeficiente de \(x²\) é \(1>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que \(f(x)\geq0\) para todo real, é necessário e suficiente que a função não tenha duas raízes reais distintas; portanto, o discriminante deve satisfazer \(\Delta\leq0\).

Passo 2 — Calcule o discriminante

Δ=(−2a)²−4(a+2)=4a²−4a−8

Assim,

Δ=4(a²−a−2)=4(a−2)(a+1)

A condição \(\Delta\leq0\) equivale a

(a−2)(a+1)≤0

O produto é não positivo quando \(a\) está entre as raízes −1 e 2, inclusive.

Resposta: \(\boxed{a\in[-1,2]}\).

Observação: nos extremos, a função tem uma raiz real dupla e continua não negativa; por isso, os extremos pertencem ao intervalo.

MA12 • Matemática Discreta

Questão 2 — Permutações circulares

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Seis pessoas distintas sentam-se ao redor de uma mesa circular. Duas delas, Ana e Bruno, não desejam ficar em lugares consecutivos. Considerando iguais as disposições que diferem apenas por rotação, determine o número de maneiras de acomodar as seis pessoas de modo que Ana e Bruno não fiquem lado a lado. Apresente o raciocínio utilizado.

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Passo 1 — Conte todas as disposições circulares

Para \(n\) pessoas distintas em uma mesa circular, rotações são consideradas iguais. Fixando uma pessoa, as outras podem ser permutadas de \((n-1)!\) maneiras. Logo, há

(6−1)!=5!=120

disposições no total.

Passo 2 — Conte as disposições em que Ana e Bruno ficam juntos

Considere Ana e Bruno como um único bloco. Teremos cinco unidades para ordenar circularmente: o bloco e as outras quatro pessoas. Isso pode ser feito de

(5−1)!=4!=24

maneiras. Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de posição de 2 maneiras. Portanto, o número de disposições adjacentes é

2\cdot4!=48

Passo 3 — Use o complemento

Subtraímos os casos em que ficam juntos do total:

120−48=72

Resposta: \(\boxed{72}\) maneiras.

Cuidado: em permutações circulares, não se usa \(6!\), pois rotações da mesma disposição não são contadas como diferentes.

MA13 • Geometria

Questão 3 — Altura relativa à hipotenusa

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Considere um triângulo retângulo \(ABC\), reto em \(A\). A altura \(AD\), relativa à hipotenusa \(BC\), encontra \(BC\) em \(D\). Sabendo que \(BD=4\) e \(DC=9\), determine os comprimentos \(AB\), \(AC\) e \(AD\). Justifique as relações geométricas empregadas.

⏱15:00

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Passo 1 — Determine a hipotenusa

Como \(D\) pertence ao segmento \(BC\),

BC=BD+DC=4+9=13

Passo 2 — Use as relações métricas do triângulo retângulo

O teorema das projeções estabelece:

AB²=BD\cdot BC=4\cdot13=52

Portanto, \(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). De modo análogo,

AC²=DC\cdot BC=9\cdot13=117

Assim, \(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Passo 3 — Calcule a altura

Pela relação métrica da altura relativa à hipotenusa,

AD²=BD\cdot DC=4\cdot9=36

Como comprimento é positivo, \(AD=6\).

Resposta: \(\boxed{AB=2\sqrt{13},\quad AC=3\sqrt{13},\quad AD=6}\).

Verificação: \(AB²+AC²=52+117=169=13²=BC²\), conforme o Teorema de Pitágoras.

MA14 • Aritmética

Questão 4 — Valoração de um fatorial

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine o maior inteiro não negativo \(k\) para o qual \(2^k\) divide \(100!\). Explique por que seu procedimento contabiliza todos os fatores 2 presentes na fatoração de \(100!\).

⏱15:00

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Passo 1 — Conte os múltiplos de 2

Entre os fatores de \(100!\), cada múltiplo de 2 contribui com pelo menos um fator 2. Existem

⌊100/2⌋=50

múltiplos de 2 entre 1 e 100.

Passo 2 — Conte os fatores extras

Os múltiplos de 4 fornecem um fator 2 adicional:

⌊100/4⌋=25

Os múltiplos de 8 fornecem mais um fator 2:

⌊100/8⌋=12

Prosseguindo:

⌊100/16⌋=6,   ⌊100/32⌋=3,   ⌊100/64⌋=1

Não há contribuição adicional de potências de 2 maiores que 100.

Passo 3 — Some as contribuições

Pela fórmula de Legendre para a valoração de um primo em um fatorial,

v₂(100!)=50+25+12+6+3+1=97

A contagem é exata porque os múltiplos de \(2^j\) contribuem com um fator 2 adicional para cada potência \(2^j\) que os divide.

Resposta: \(\boxed{k=97}\). Portanto, \(2^{97}\mid100!\), mas \(2^{98}\nmid100!\).

MATEMÁTICA DO PI
Questões autorais de treino, inspiradas no formato discursivo e nos conteúdos das disciplinas básicas do PROFMAT.
Referência de programa: MA11 — Números e Funções Reais; MA12 — Matemática Discreta; MA13 — Geometria; MA14 — Aritmética.

QUESTÕES ENQ - Exame Nacional de Qualificação - Mestrado em Matemática - PROFMAT

MATEMÁTICA DO PI • DESAFIO PROFMAT

ENQ em Foco: Aritmética e Congruências

Duas questões para testar seu raciocínio matemático. Resolva antes de revelar as soluções!

ARITMÉTICA • TEOREMA CHINÊS DOS RESTOS

QUESTÃO 01

Um problema de congruências simultâneas

Determine o menor inteiro positivo \(n\) que satisfaz simultaneamente as seguintes congruências:

n ≡ 2 (mod 5)
n ≡ 3 (mod 7)
n ≡ 4 (mod 9)

Assinale a alternativa correta.

• (A) 52
• (B) 122
• (C) 157
• (D) 247
• (E) 312

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1. Utilize a primeira congruência

Como n ≡ 2 (mod 5), podemos escrever:

n = 5k + 2

2. Imponha a segunda condição

Substituindo na congruência módulo 7:

5k + 2 ≡ 3 (mod 7)
5k ≡ 1 (mod 7)

O inverso de 5 módulo 7 é 3, pois 5 × 3 ≡ 1 (mod 7). Portanto:

k ≡ 3 (mod 7)

Logo, k = 7t + 3 e, consequentemente:

n = 35t + 17

3. Utilize a terceira congruência

35t + 17 ≡ 4 (mod 9)
8t ≡ 5 (mod 9)

Como 8 é seu próprio inverso módulo 9:

t ≡ 40 ≡ 4 (mod 9)

Assim, t = 9s + 4. Substituindo:

n = 315s + 157

4. Conclusão

Os módulos 5, 7 e 9 são dois a dois coprimos. Pelo Teorema Chinês dos Restos, a solução é única módulo 5 × 7 × 9 = 315. Como 157 está entre 1 e 315, ele é o menor inteiro positivo que satisfaz as três condições.

Gabarito: alternativa (C), n = 157.

ARITMÉTICA • POTÊNCIAS E CONGRUÊNCIAS

QUESTÃO 02

O resto de uma potência elevada

Seja \(N = 7^{2026}\). Qual é o resto da divisão de \(N\) por 100?

• (A) 1
• (B) 7
• (C) 21
• (D) 49
• (E) 77

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1. Investigue as primeiras potências

Calculando módulo 100:

7² = 49
7⁴ = 2401 ≡ 1 (mod 100)

2. Reduza o expoente

Como 7⁴ ≡ 1 (mod 100), escrevemos:

2026 = 4 × 506 + 2

Portanto:

7²⁰²⁶ = (7⁴)⁵⁰⁶ × 7²

Tomando os restos módulo 100:

7²⁰²⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ × 49 ≡ 49 (mod 100)

3. Conclusão

O resto procurado é 49.

Gabarito: alternativa (D), resto 49.

MATEMÁTICA DO PI • Preparação para o PROFMAT/ENQ
Estude, tente resolver e só depois revele a solução!