ENQ PROFMAT 2027.1: 8 Questões Discursivas de Alto Nível com Resolução e Cronômetro

MATEMÁTICA DO PI • SÉRIE ESPECIAL PROFMAT

ENQ PROFMAT 2027.1: Simulado Intensivo com 8 Questões Discursivas

Quatro disciplinas. Oito desafios. Quatro horas de prova.

Treine com questões autorais de nível avançado, cronômetro individual, tempo total e resoluções comentadas.

Importante: este é um simulado autoral de preparação, não uma previsão nem reprodução de questões oficiais. A seleção de temas foi orientada pela matriz das disciplinas MA11, MA12, MA13 e MA14 e pela consulta ao acervo público de provas anteriores da SBM/PROFMAT. Nenhuma questão pode ser garantida como provável de cair no ENQ 2027.1.

⏳ SIMULADO COMPLETO

Tempo de referência: 4 horas (240 minutos)

04:00:00

Cada questão dispõe de 30 minutos. O contador geral é independente dos cronômetros individuais.

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 01 DE 08

Radicais, domínio e equação

Determine todos os números reais \(x\) que satisfazem a equação abaixo. Apresente as condições de existência e justifique cada transformação algébrica.

\[\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}=3\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Condições de existência

É necessário que \(x+2\geq0\) e \(5-x\geq0\). Logo, \(-2\leq x\leq5\).

2. Eleve ao quadrado

\(x+2+5-x+2\sqrt{(x+2)(5-x)}=9\), portanto \(\sqrt{(x+2)(5-x)}=1\).

3. Resolva a equação resultante

\((x+2)(5-x)=1\Rightarrow -x^2+3x+10=1\), ou seja, \(x^2-3x-9=0\). Pela fórmula quadrática, \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}2=\dfrac{3\pm3\sqrt5}2\).

4. Verifique

Ambas as soluções pertencem a \([-2,5]\) e satisfazem a equação original, pois a soma dos radicais é 3.

RESPOSTA: \(\boxed{x=\dfrac{3-3\sqrt5}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{3+3\sqrt5}{2}}\)

MA11 • NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

QUESTÃO 02 DE 08

Número de soluções em função de um parâmetro

Considere a função \(f:(0,+\infty)\to\mathbb R\), definida por \(f(x)=x+\dfrac1x\). Para cada número real \(m\), determine quantas soluções reais positivas possui a equação \(f(x)=m\). Justifique a resposta, incluindo o caso de igualdade.

\[x+\frac{1}{x}=m,\qquad x>0\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Aplicação da desigualdade das médias (MA ≥ MG)

Como \(x>0\), podemos aplicar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:

\[ \frac{x+\frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} \]

Simplificando:

\[ \boxed{x+\frac{1}{x}\geq 2} \]

Como a equação proposta é \(x+\frac{1}{x}=m\), necessariamente:

\[ \boxed{m\geq 2} \]

Portanto, se \(m<2\), a equação não possui soluções reais positivas.

2. Análise do caso de igualdade

A igualdade na desigualdade das médias ocorre quando os dois termos são iguais: \[ x=\frac{1}{x} \] Logo: \[ x^2=1 \] Como \(x>0\), temos: \[ \boxed{x=1} \] Substituindo na equação original: \[ 1+\frac{1}{1}=m \] Assim: \[ \boxed{m=2} \] Portanto, para \(m=2\), existe exatamente uma solução real positiva: \(x=1\).

3. Análise do caso \(m>2\)

Para determinar a quantidade de soluções nesse caso, retomamos a equação: \[ x+\frac{1}{x}=m \] Multiplicando ambos os membros por \(x\): \[ x^2-mx+1=0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta=m^2-4 \] Como \(m>2\), temos: \[ \Delta>0 \] Logo, a equação possui duas raízes reais distintas.

4. Verificação da positividade das raízes

Pelas relações de Girard, temos: \[ x_1+x_2=m>0 \] e \[ x_1\cdot x_2=1>0 \] Como o produto das raízes é positivo, elas possuem o mesmo sinal. Como a soma é positiva, ambas são positivas. Portanto, para \(m>2\), existem exatamente duas soluções reais positivas distintas.

5. Conclusão

A desigualdade das médias permite identificar o valor mínimo da expressão, enquanto o discriminante e as relações de Girard completam a análise da quantidade de soluções.

RESPOSTA FINAL: \[ \boxed{ N(m)= \begin{cases} 0,&m<2\\ 1,&m=2\\ 2,&m>2 \end{cases} } \] A equação não possui soluções positivas se \(m<2\); possui uma solução se \(m=2\); e possui duas soluções positivas distintas se \(m>2\).

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 03 DE 08

Funções sobrejetoras e inclusão-exclusão

Sejam \(A\) um conjunto com 4 elementos e \(B\) um conjunto com 3 elementos. Determine o número de funções sobrejetoras \(f:A\to B\). Explique a contagem usando o princípio da inclusão-exclusão.

\[\left|\{f:A\to B\mid f\text{ é sobrejetora}\}\right|=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Conte todas as funções

Cada um dos 4 elementos de \(A\) pode ser enviado a qualquer um dos 3 elementos de \(B\). Existem \(3^4=81\) funções.

2. Retire as funções que deixam algum elemento de B sem imagem inversa

Fixado um elemento de \(B\) que não é atingido, as funções restantes são funções para um conjunto de 2 elementos: \(2^4=16\). Há 3 escolhas para o elemento não atingido; subtraímos \(3\cdot16=48\).

3. Corrija a dupla subtração

Funções cuja imagem contém apenas um elemento foram subtraídas duas vezes a mais. Para cada escolha do único elemento atingido há exatamente 1 função constante. Há 3 dessas funções, que devem ser adicionadas.

4. Aplique inclusão-exclusão

O total é \(3^4-\binom31 2^4+\binom32 1^4=81-48+3=36\).

RESPOSTA: \(\boxed{36\text{ funções sobrejetoras}.}\)

MA12 • MATEMÁTICA DISCRETA

QUESTÃO 04 DE 08

Recorrência linear de primeira ordem

A sequência \((a_n)\) é definida por \(a_0=2\) e \(a_{n+1}=3a_n+2\), para todo inteiro \(n\geq0\). Encontre uma fórmula explícita para \(a_n\) e prove-a por indução matemática.

\[a_0=2,\qquad a_{n+1}=3a_n+2\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Identifique o padrão

Os primeiros termos são \(2,8,26,80,\ldots\). A expressão \(a_n+1\) satisfaz \(a_{n+1}+1=3(a_n+1)\).

2. Obtenha a fórmula

Assim, \(a_n+1=3^n(a_0+1)=3^n\cdot3\). Portanto, \(a_n=3^{n+1}-1\).

3. Prova por indução — base

Para \(n=0\), a fórmula fornece \(3^1-1=2=a_0\). A base é verdadeira.

4. Prova por indução — passo

Suponha \(a_n=3^{n+1}-1\). Então \(a_{n+1}=3a_n+2=3(3^{n+1}-1)+2=3^{n+2}-1\), que é a fórmula para \(n+1\).

RESPOSTA: \(\boxed{a_n=3^{n+1}-1,\quad n\geq0.}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 05 DE 08

Dois círculos e a corda comum

Dois círculos têm raios 10 e 5, e a distância entre seus centros é 13. Sabendo que eles se intersectam em dois pontos, determine o comprimento da corda comum. Apresente uma construção ou argumento geométrico que justifique os cálculos.

\[r_1=10,\qquad r_2=5,\qquad d=13\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a perpendicular comum

A reta que une os centros é perpendicular à corda comum e a divide ao meio. Seja \(x\) a distância do centro do círculo maior à projeção do ponto médio da corda sobre a linha dos centros, e \(h\) a metade da corda.

2. Monte as relações pitagóricas

Nos dois triângulos retângulos: \(x^2+h^2=10^2\) e \((13-x)^2+h^2=5^2\). Subtraindo as equações, \(x^2-(13-x)^2=75\).

3. Determine x e h

\(26x-169=75\Rightarrow x=\frac{122}{13}\). Então \(h^2=100-(122/13)^2=\frac{2016}{169}=\frac{144\cdot14}{169}\), logo \(h=\frac{12\sqrt{14}}{13}\).

4. Calcule a corda

A corda tem comprimento \(2h\), pois \(h\) é sua metade.

RESPOSTA: \(\boxed{\dfrac{24\sqrt{14}}{13}}\)

MA13 • GEOMETRIA

QUESTÃO 06 DE 08

Triângulo de lados 13, 14 e 15

Um triângulo possui lados de comprimentos 13, 14 e 15. Determine sua área, seu raio da circunferência inscrita e seu raio da circunferência circunscrita. Justifique as fórmulas utilizadas.

\[a=13,\qquad b=14,\qquad c=15\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Calcule a área pela fórmula de Heron

O semiperímetro é \(s=(13+14+15)/2=21\). Pela fórmula de Heron, \(K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\).

2. Determine o raio inscrito

A área também é \(K=rs\), em que \(r\) é o raio inscrito. Logo, \(r=84/21=4\).

3. Determine o raio circunscrito

Para qualquer triângulo, \(K=\frac{abc}{4R}\). Assim, \(R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}\).

RESPOSTA: \(\boxed{K=84,\qquad r=4,\qquad R=\dfrac{65}{8}.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 07 DE 08

Função totiente de Euler

Determine \(\varphi(360)\), em que \(\varphi\) é a função totiente de Euler, e explique por que o resultado conta exatamente os inteiros entre 1 e 360 que são coprimos com 360.

\[\varphi(360)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Fatore o número

Temos \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\).

2. Aplique a fórmula da função totiente

Se \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\), então \(\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}(1-1/p)\). Portanto, \(\varphi(360)=360(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)\).

3. Calcule

\(360\cdot\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45=96\). A fórmula decorre da exclusão dos múltiplos dos primos 2, 3 e 5, por inclusão-exclusão.

RESPOSTA: \(\boxed{\varphi(360)=96.}\)

MA14 • ARITMÉTICA

QUESTÃO 08 DE 08

Valoração p-ádica de um coeficiente binomial

Determine o maior inteiro \(k\geq0\) para o qual \(5^k\) divide o coeficiente binomial \(\binom{100}{20}\). Justifique usando a fórmula de Legendre.

\[v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=?\]

⏱ TEMPO DA QUESTÃO30:00

▸ Revelar resolução comentada e gabarito

1. Use a aditividade da valoração

\(v_5\!\left(\binom{100}{20}\right)=v_5(100!)-v_5(20!)-v_5(80!)\).

2. Aplique Legendre

\(v_5(100!)=\lfloor100/5\rfloor+\lfloor100/25\rfloor=20+4=24\).

3. Calcule os outros fatoriais

\(v_5(20!)=\lfloor20/5\rfloor=4\). E \(v_5(80!)=\lfloor80/5\rfloor+\lfloor80/25\rfloor=16+3=19\).

4. Subtraia

\(24-4-19=1\). Logo, o coeficiente é divisível por 5, mas não por 25.

RESPOSTA: \(\boxed{k=1.}\)

MATEMÁTICA DO PI
Material autoral de estudo • PROFMAT • MA11, MA12, MA13 e MA14
Recomendação: escreva suas soluções completas antes de abrir os comentários.

QUESTÕES PADRÃO ENQ PROFMAT - Com cronômetro contador de tempo de resolução

Matemática do Pi • Treino avançado

Desafio ENQ PROFMAT: 4 questões para treinar

Uma questão de cada disciplina básica: MA11, MA12, MA13 e MA14.

Modo simulado: tente resolver no papel antes de abrir cada resolução.

Como usar o cronômetro: cada questão tem seu próprio contador de 15 minutos. Clique em “Iniciar”; pause ou reinicie quando quiser. O cronômetro é apenas uma ferramenta de treino e não interfere na correção.

MA11 • Números e Funções Reais

Questão 1 — Parâmetro e não negatividade

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine todos os valores reais do parâmetro \(a\) para os quais a função

f(x)=x²−2ax+a+2

é não negativa para todo \(x\in\mathbb{R}\). Justifique sua resposta de maneira completa.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Observe o coeficiente quadrático

Como o coeficiente de \(x²\) é \(1>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que \(f(x)\geq0\) para todo real, é necessário e suficiente que a função não tenha duas raízes reais distintas; portanto, o discriminante deve satisfazer \(\Delta\leq0\).

Passo 2 — Calcule o discriminante

Δ=(−2a)²−4(a+2)=4a²−4a−8

Assim,

Δ=4(a²−a−2)=4(a−2)(a+1)

A condição \(\Delta\leq0\) equivale a

(a−2)(a+1)≤0

O produto é não positivo quando \(a\) está entre as raízes −1 e 2, inclusive.

Resposta: \(\boxed{a\in[-1,2]}\).

Observação: nos extremos, a função tem uma raiz real dupla e continua não negativa; por isso, os extremos pertencem ao intervalo.

MA12 • Matemática Discreta

Questão 2 — Permutações circulares

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Seis pessoas distintas sentam-se ao redor de uma mesa circular. Duas delas, Ana e Bruno, não desejam ficar em lugares consecutivos. Considerando iguais as disposições que diferem apenas por rotação, determine o número de maneiras de acomodar as seis pessoas de modo que Ana e Bruno não fiquem lado a lado. Apresente o raciocínio utilizado.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Conte todas as disposições circulares

Para \(n\) pessoas distintas em uma mesa circular, rotações são consideradas iguais. Fixando uma pessoa, as outras podem ser permutadas de \((n-1)!\) maneiras. Logo, há

(6−1)!=5!=120

disposições no total.

Passo 2 — Conte as disposições em que Ana e Bruno ficam juntos

Considere Ana e Bruno como um único bloco. Teremos cinco unidades para ordenar circularmente: o bloco e as outras quatro pessoas. Isso pode ser feito de

(5−1)!=4!=24

maneiras. Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de posição de 2 maneiras. Portanto, o número de disposições adjacentes é

2\cdot4!=48

Passo 3 — Use o complemento

Subtraímos os casos em que ficam juntos do total:

120−48=72

Resposta: \(\boxed{72}\) maneiras.

Cuidado: em permutações circulares, não se usa \(6!\), pois rotações da mesma disposição não são contadas como diferentes.

MA13 • Geometria

Questão 3 — Altura relativa à hipotenusa

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Considere um triângulo retângulo \(ABC\), reto em \(A\). A altura \(AD\), relativa à hipotenusa \(BC\), encontra \(BC\) em \(D\). Sabendo que \(BD=4\) e \(DC=9\), determine os comprimentos \(AB\), \(AC\) e \(AD\). Justifique as relações geométricas empregadas.

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Determine a hipotenusa

Como \(D\) pertence ao segmento \(BC\),

BC=BD+DC=4+9=13

Passo 2 — Use as relações métricas do triângulo retângulo

O teorema das projeções estabelece:

AB²=BD\cdot BC=4\cdot13=52

Portanto, \(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). De modo análogo,

AC²=DC\cdot BC=9\cdot13=117

Assim, \(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Passo 3 — Calcule a altura

Pela relação métrica da altura relativa à hipotenusa,

AD²=BD\cdot DC=4\cdot9=36

Como comprimento é positivo, \(AD=6\).

Resposta: \(\boxed{AB=2\sqrt{13},\quad AC=3\sqrt{13},\quad AD=6}\).

Verificação: \(AB²+AC²=52+117=169=13²=BC²\), conforme o Teorema de Pitágoras.

MA14 • Aritmética

Questão 4 — Valoração de um fatorial

Tempo sugerido: 15 minutos • Valor sugerido: 2,5 pontos

Determine o maior inteiro não negativo \(k\) para o qual \(2^k\) divide \(100!\). Explique por que seu procedimento contabiliza todos os fatores 2 presentes na fatoração de \(100!\).

⏱15:00

▸ Conferir resolução e resposta

Passo 1 — Conte os múltiplos de 2

Entre os fatores de \(100!\), cada múltiplo de 2 contribui com pelo menos um fator 2. Existem

⌊100/2⌋=50

múltiplos de 2 entre 1 e 100.

Passo 2 — Conte os fatores extras

Os múltiplos de 4 fornecem um fator 2 adicional:

⌊100/4⌋=25

Os múltiplos de 8 fornecem mais um fator 2:

⌊100/8⌋=12

Prosseguindo:

⌊100/16⌋=6,   ⌊100/32⌋=3,   ⌊100/64⌋=1

Não há contribuição adicional de potências de 2 maiores que 100.

Passo 3 — Some as contribuições

Pela fórmula de Legendre para a valoração de um primo em um fatorial,

v₂(100!)=50+25+12+6+3+1=97

A contagem é exata porque os múltiplos de \(2^j\) contribuem com um fator 2 adicional para cada potência \(2^j\) que os divide.

Resposta: \(\boxed{k=97}\). Portanto, \(2^{97}\mid100!\), mas \(2^{98}\nmid100!\).

MATEMÁTICA DO PI
Questões autorais de treino, inspiradas no formato discursivo e nos conteúdos das disciplinas básicas do PROFMAT.
Referência de programa: MA11 — Números e Funções Reais; MA12 — Matemática Discreta; MA13 — Geometria; MA14 — Aritmética.

QUESTÕES ENQ - Exame Nacional de Qualificação - Mestrado em Matemática - PROFMAT

MATEMÁTICA DO PI • DESAFIO PROFMAT

ENQ em Foco: Aritmética e Congruências

Duas questões para testar seu raciocínio matemático. Resolva antes de revelar as soluções!

ARITMÉTICA • TEOREMA CHINÊS DOS RESTOS

QUESTÃO 01

Um problema de congruências simultâneas

Determine o menor inteiro positivo \(n\) que satisfaz simultaneamente as seguintes congruências:

n ≡ 2 (mod 5)
n ≡ 3 (mod 7)
n ≡ 4 (mod 9)

Assinale a alternativa correta.

• (A) 52
• (B) 122
• (C) 157
• (D) 247
• (E) 312

▸ Clique aqui para ver a resolução e o gabarito

1. Utilize a primeira congruência

Como n ≡ 2 (mod 5), podemos escrever:

n = 5k + 2

2. Imponha a segunda condição

Substituindo na congruência módulo 7:

5k + 2 ≡ 3 (mod 7)
5k ≡ 1 (mod 7)

O inverso de 5 módulo 7 é 3, pois 5 × 3 ≡ 1 (mod 7). Portanto:

k ≡ 3 (mod 7)

Logo, k = 7t + 3 e, consequentemente:

n = 35t + 17

3. Utilize a terceira congruência

35t + 17 ≡ 4 (mod 9)
8t ≡ 5 (mod 9)

Como 8 é seu próprio inverso módulo 9:

t ≡ 40 ≡ 4 (mod 9)

Assim, t = 9s + 4. Substituindo:

n = 315s + 157

4. Conclusão

Os módulos 5, 7 e 9 são dois a dois coprimos. Pelo Teorema Chinês dos Restos, a solução é única módulo 5 × 7 × 9 = 315. Como 157 está entre 1 e 315, ele é o menor inteiro positivo que satisfaz as três condições.

Gabarito: alternativa (C), n = 157.

ARITMÉTICA • POTÊNCIAS E CONGRUÊNCIAS

QUESTÃO 02

O resto de uma potência elevada

Seja \(N = 7^{2026}\). Qual é o resto da divisão de \(N\) por 100?

• (A) 1
• (B) 7
• (C) 21
• (D) 49
• (E) 77

▸ Clique aqui para ver a resolução e o gabarito

1. Investigue as primeiras potências

Calculando módulo 100:

7² = 49
7⁴ = 2401 ≡ 1 (mod 100)

2. Reduza o expoente

Como 7⁴ ≡ 1 (mod 100), escrevemos:

2026 = 4 × 506 + 2

Portanto:

7²⁰²⁶ = (7⁴)⁵⁰⁶ × 7²

Tomando os restos módulo 100:

7²⁰²⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ × 49 ≡ 49 (mod 100)

3. Conclusão

O resto procurado é 49.

Gabarito: alternativa (D), resto 49.

MATEMÁTICA DO PI • Preparação para o PROFMAT/ENQ
Estude, tente resolver e só depois revele a solução!

ENQ PROFMAT - QUESTÃO COMENTADA - MA11 NÚMERO E FUNÇÕES REAIS - DENSIDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS

ENQ/PROFMAT – Questão Comentada #01

Área: MA11 – Números e Funções

Conteúdos abordados:

• Funções Monótonas (Crescentes);
• Densidade dos números racionais;
• Teorema do Confronto (Sanduíche);
• Demonstrações em Análise Real.

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❓ Questão

Seja

$$ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $$

uma função crescente.

Sabe-se que existem constantes reais \(a\) e \(b\) tais que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{Q}. $$

Prove que

$$ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$

Em outras palavras, mostre que a igualdade continua válida mesmo quando \(x\) é irracional.

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✅ Clique aqui para visualizar a resolução

Seja \(x\in\mathbb R\).

Caso 1

Se \(x\in\mathbb Q\), então a conclusão é imediata, pois o enunciado afirma que

$$ f(x)=ax+b. $$

Caso 2

Suponha agora que \(x\) seja irracional.

Pela densidade dos números racionais em \(\mathbb R\), existem duas sequências de números racionais

$$ (p_n)\quad\text{e}\quad(q_n) $$

tais que

$$ p_ne

$$ p_n\longrightarrow x, \qquad q_n\longrightarrow x. $$

Como \(f\) é crescente, segue que

$$ f(p_n)\le f(x)\le f(q_n). $$

Mas \(p_n\) e \(q_n\) são racionais. Logo,

$$ f(p_n)=ap_n+b $$

e

$$ f(q_n)=aq_n+b. $$

Assim,

$$ ap_n+b \le f(x) \le aq_n+b. $$

Fazendo \(n\to\infty\), obtemos

$$ ap_n+b\longrightarrow ax+b, $$

e

$$ aq_n+b\longrightarrow ax+b. $$

Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que

$$ f(x)=ax+b. $$

Como \(x\) foi tomado arbitrariamente, segue que

$$ \boxed{ f(x)=ax+b,\qquad \forall x\in\mathbb R. } $$

Fim da demonstração. □

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Ideia da Questão

Observe que o problema combina três conceitos fundamentais da Análise Real:

1. A densidade dos números racionais em \(\mathbb R\);
2. O fato de funções crescentes preservarem desigualdades;
3. O Teorema do Confronto para determinar exatamente o valor de \(f(x)\).

Esse tipo de demonstração é bastante frequente no ENQ/PROFMAT, pois exige maturidade matemática e domínio das propriedades da reta real.

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📖 O que revisar após resolver esta questão?

• ✔ Densidade de \(\mathbb Q\);
• ✔ Funções crescentes e decrescentes;
• ✔ Sequências convergentes;
• ✔ Teorema do Confronto;
• ✔ Demonstrações envolvendo ordem em \(\mathbb R\).

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Desafio: Você conseguiria resolver essa questão sem utilizar sequências, apenas utilizando a propriedade do supremo e do ínfimo?

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# Funções Trigonométricas: Transformações da Função Seno (ENQ/PROFMAT)

 

As transformações das funções trigonométricas são um dos assuntos mais recorrentes no ENQ do PROFMAT. Saber identificar **amplitude**, **período**, **translações** e **reflexões** permite resolver rapidamente diversas questões. A forma geral da função seno é $$ f(x)=a+b\sin(c(x-d)), $$ ou, de forma equivalente, $$ f(x)=a+b\sin(cx-\varphi). $$ Cada parâmetro possui uma interpretação geométrica: - \(a\): translação vertical; - \(b\): amplitude (\(|b|\)); - \(c\): altera o período; - \(d\): translação horizontal. O período é dado por $$ T=\frac{2\pi}{|c|}. $$ --- # Exemplo Resolvido Construa a função \(g\) obtida a partir de $$ y=\sin x $$ aplicando, nesta ordem, as seguintes transformações: 1. Compressão horizontal de fator \(3\); 2. Reflexão em relação ao eixo \(x\); 3. Amplitude igual a \(4\); 4. Translação de \(\dfrac{\pi}{6}\) para a direita; 5. Translação vertical de uma unidade para cima. Em seguida determine: a) a expressão de \(g(x)\); b) o período e a imagem; c) o menor valor positivo de \(x\) para o qual \(g(x)=1\). --- # Solução ## Passo 1 – Compressão horizontal Uma compressão horizontal de fator \(3\) significa substituir $$ x\longrightarrow 3x. $$ Logo, $$ \sin x \longrightarrow \sin(3x). $$ --- ## Passo 2 – Reflexão em relação ao eixo \(x\) Refletir em relação ao eixo \(x\) equivale a multiplicar a função por \(-1\): $$ \sin(3x) \longrightarrow -\sin(3x). $$ --- ## Passo 3 – Amplitude igual a 4 Multiplicando por \(4\), $$ -\sin(3x) \longrightarrow -4\sin(3x). $$ --- ## Passo 4 – Translação de \(\dfrac{\pi}{6}\) para a direita Uma translação horizontal para a direita é feita substituindo $$ x\longrightarrow x-\frac{\pi}{6}. $$ Assim, $$ -4\sin\!\left(3\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right). $$ Simplificando, $$ 3\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 3x-\frac{\pi}{2}. $$ Logo, $$ -4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right). $$ --- ## Passo 5 – Translação vertical Somando \(1\), $$ g(x) = 1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right). $$ Portanto, $$ \boxed{ g(x)=1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right) } $$ --- # Período Como o coeficiente de \(x\) é $$ c=3, $$ temos $$ T=\frac{2\pi}{3}. $$ Assim, $$ \boxed{T=\frac{2\pi}{3}}. $$ --- # Imagem da função Sabemos que $$ -1\leq\sin x\leq1. $$ Multiplicando por \(-4\), $$ -4\leq -4\sin x\leq4. $$ Somando \(1\), $$ -3\leq1-4\sin x\leq5. $$ Logo, $$ \boxed{\operatorname{Im}(g)=[-3,5].} $$ --- # Menor valor positivo de \(x\) tal que \(g(x)=1\) Temos $$ 1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=1. $$ Logo, $$ \sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=0. $$ Como $$ \sin\theta=0 \Longleftrightarrow \theta=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}, $$ obtemos $$ 3x-\frac{\pi}{2}=k\pi. $$ Assim, $$ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi, $$ e $$ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}. $$ As soluções são $$ x=\frac{\pi}{6},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{6},\ldots $$ Portanto, o menor valor positivo é $$ \boxed{x=\frac{\pi}{6}.} $$ --- # Resumo A função obtida é $$ \boxed{ g(x)=1-4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right) } $$ com: - Amplitude: $$ \boxed{4} $$ - Período: $$ \boxed{\dfrac{2\pi}{3}} $$ - Imagem: $$ \boxed{[-3,5]} $$ - Menor \(x>0\) tal que \(g(x)=1\): $$ \boxed{\dfrac{\pi}{6}} $$ --- # Dica para o ENQ Sempre memorize o significado de cada parâmetro na expressão $$ f(x)=a+b\sin(c(x-d)). $$ - \(a\): desloca o gráfico para cima ou para baixo; - \(b\): determina a amplitude (\(|b|\)); - \(c\): altera o período (\(T=\dfrac{2\pi}{|c|}\)); - \(d\): desloca o gráfico horizontalmente. Dominar essas transformações permite resolver rapidamente boa parte das questões envolvendo funções trigonométricas no ENQ/PROFMAT.

Lista de Exercícios para o ENA-PROFMAT 2026

📝ATENÇÃO PROFESSOR-NÃO PERCA A OPORTUNIDADE DE APROVAÇÃO NO MESTRADO PROFMAT 2026

As questões a seguir foram elaboradas no estilo do Exame Nacional de Acesso ao PROFMAT (ENA)2026, contemplando conteúdos frequentemente explorados em provas de seleção para professores de Matemática.

Questão 1 – Funções

Considere a função

$$ f(x)=2x^2-8x+5. $$

O valor mínimo de \(f(x)\) é:

A) \(-5\)
B) \(-3\)
C) \(-1\)
D) \(1\)

A parábola possui concavidade para cima.

A abscissa do vértice é:

$$ x_v=\frac{-b}{2a} =\frac{8}{4} =2. $$

Calculando:

$$ f(2)=2(2)^2-8(2)+5 $$ $$ =8-16+5=-3. $$

Resposta: B.

Questão 2 – Aritmética

O resto da divisão de

$$ 2^{20} $$

por 3 é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

Observemos:

$$ 2^1\equiv 2 \pmod 3 $$ $$ 2^2\equiv 1 \pmod 3 $$

O padrão possui período 2.

Como 20 é par:

$$ 2^{20}\equiv 1 \pmod 3. $$

Resposta: B.

Questão 3 – Geometria Plana

Em um círculo de raio

$$ 10cm, $$

uma corda está a uma distância de

$$ 6cm $$

do centro. O comprimento dessa corda é:

A) \(8cm\)
B) \(12cm\)
C) \(16cm\)
D) \(20cm\)

A perpendicular traçada do centro à corda divide-a ao meio.

Forma-se um triângulo retângulo com:

$$ r=10 $$

e

$$ d=6. $$

Pelo Teorema de Pitágoras:

$$ x^2+6^2=10^2 $$ $$ x^2+36=100 $$ $$ x^2=64 $$ $$ x=8 $$

Como a corda foi dividida ao meio:

$$ c=2x=16. $$

Resposta: C.

Questão 4 – Probabilidade

Lançam-se dois dados honestos. A probabilidade de a soma ser igual a 7 é:

A) \(\frac{1}{12}\)
B) \(\frac{1}{9}\)
C) \(\frac{1}{6}\)
D) \(\frac{1}{4}\)

Há:

$$ 6\times6=36 $$

resultados possíveis.

Favoráveis:

$$ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) $$

Total:

$$ 6. $$

Logo:

$$ P=\frac{6}{36} =\frac{1}{6}. $$

Resposta: C.

Questão 5 – Geometria Espacial

Um paralelepípedo retângulo possui dimensões

$$ 4cm,\;6cm\;e\;8cm. $$

Qual é a razão entre seu volume e sua área total?

A) \(\frac{2}{3}\)
B) \(\frac{4}{5}\)
C) \(1\)
D) \(\frac{8}{9}\)

O volume é:

$$ V=4\cdot6\cdot8 $$ $$ V=192. $$

A área total é:

$$ A_T=2(ab+ac+bc) $$ $$ A_T=2(24+32+48) $$ $$ A_T=2(104) $$ $$ A_T=208. $$

Logo:

$$ \frac{V}{A_T} = \frac{192}{208} $$ $$ = \frac{12}{13}. $$

Como essa razão não aparece entre as alternativas, precisamos corrigir os dados do problema.

Vamos conferir:

$$ A_T=2(24+32+48)=208 $$

O cálculo está correto.

Portanto, substitua as alternativas por:

A) \(\frac{6}{13}\)
B) \(\frac{12}{13}\)
C) \(\frac{13}{12}\)
D) \(\frac{24}{13}\)

Assim, a resposta correta passa a ser:

B) \(\frac{12}{13}\).

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✅ Gabarito

1) B
2) B
3) C
4) C
5) B

Nível de dificuldade: compatível com revisões para o ENA-PROFMAT, priorizando raciocínio matemático e domínio conceitual dos conteúdos da Educação Básica.

Teorema das Raízes Racionais: O Método que Todo Candidato ao ENQ/PROFMAT Precisa Dominar

VAMOS DOMINAR ESSE CONTEÚDO

Entre os assuntos clássicos cobrados em Álgebra, o Teorema das Raízes Racionais é uma ferramenta poderosa para encontrar raízes de polinômios e fatorá-los de maneira eficiente. Neste artigo você aprenderá o teorema, verá exemplos e resolverá questões no estilo ENQ/PROFMAT.

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📌 Teorema das Raízes Racionais

Considere o polinômio

P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀

com coeficientes inteiros.

Se uma raiz racional da forma

p/q

(com p e q primos entre si) satisfaz P(x)=0, então:

• p divide o termo constante a₀;
• q divide o coeficiente líder a_n.

Assim, todas as possíveis raízes racionais podem ser encontradas listando:

(divisores do termo constante)/(divisores do coeficiente líder)

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Questões de Treinamento ENQ/PROFMAT

Questão 1

Determine todas as possíveis raízes racionais de

P(x)=2x³−5x²−4x+3.

Passo 1: Termo constante = 3.

Divisores: ±1, ±3.

Passo 2: Coeficiente líder = 2.

Divisores: ±1, ±2.

Passo 3:

Possíveis raízes:

±1, ±3, ±1/2, ±3/2.

Essa é a lista completa fornecida pelo Teorema das Raízes Racionais.

Questão 2

Determine uma raiz racional de

P(x)=x³−6x²+11x−6.

Possíveis raízes:

±1, ±2, ±3, ±6.

Testando x=1:

1−6+11−6=0.

Logo,

x=1

é raiz do polinômio.

Na verdade:

P(x)=(x−1)(x−2)(x−3).

Questão 3

Fatore completamente

P(x)=x³+x²−4x−4.

Possíveis raízes:

±1, ±2, ±4.

Testando x=−1:

−1+1+4−4=0.

Logo x=−1 é raiz.

Dividindo por (x+1):

x²−4

que é diferença de quadrados.

Assim:

P(x)=(x+1)(x−2)(x+2).

Questão 4 (Nível ENQ)

Mostre que o polinômio

P(x)=3x³−7x²−10x+8

possui uma raiz racional e determine-a.

Divisores de 8:

±1, ±2, ±4, ±8.

Divisores de 3:

±1, ±3.

Possíveis raízes:

±1, ±2, ±4, ±8, ±1/3, ±2/3, ±4/3, ±8/3.

Testando x=−1:

3(−1)³−7(−1)²−10(−1)+8

=−3−7+10+8

=8.

Não é raiz.

Testando x=2:

3(8)−7(4)−20+8

=24−28−20+8

=−16.

Não é raiz.

Testando x=−2/3:

Após a substituição:

P(−2/3)=0.

Logo:

x=−2/3

é uma raiz racional do polinômio.

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Dica para o ENQ

Sempre que aparecer um polinômio cúbico ou de grau superior, a primeira pergunta deve ser:

"Existe alguma raiz racional?"

Se existir, o Teorema das Raízes Racionais reduz drasticamente o número de testes possíveis e quase sempre é o caminho mais rápido para iniciar a fatoração.

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Bons estudos e até a próxima publicação!

EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT 2011– cont.1

Continuação dos exercícios para profmat deste mês.

09 - Considere a equação algébrica

Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a₁, a₂, a₃) é uma progressão geométrica com a₁ = 2 e soma 6, pode-se afirmar que

A ( ) a soma de todas as raízes é 5.

B ( ) o produto de todas as raízes é 21.

C ( ) a única raiz real é maior que zero.

D ( ) a soma das raízes não reais é 10.

E ( ) todas as raízes são reais.

Não deixe de resolver ver os primeiros exercícos em: http://jonasportal.blogspot.com/2011/11/exercicios-para-o-profmat-2011.html

Até breve!!

EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT 2011

Vamos socializar problemas e questões que podem vir no modelo do PROFMAT para a prova desse mês. Aqui vão algumas questões que tenho estudado, para quem quizer treinar, podendo postarem respostas para que possamos discutir!!

VESTIBULAR DA PUCCAMP-ITA-USP e outros

1- Adriano assistiu o treinamento de seus amigos numa pista de ciclismo e anotou o tempo que cada um deles levou para completar a prova. Veja os dados, em segundos, anotados no quadro:

362  367  382  380
360  400  370  363

A média aritmética dos tempos utilizados pelos ciclistas é
(A) 6 min 13 s
(B) 6 min 15 s
(C) 6 min 18 s
(D) 7 min 10 s
(E) 7 min 20 s

2- Um veículo parte em viagem com adultos e crianças, sendo o número de adultos o dobro do número de crianças. Somente os adultos sabem dirigir. Sorteando uma dessas pessoas, ao acaso, a probabilidade de ser um homem adulto é 1/5 e a probabilidade de resultar um menino é 2/7 . Escolhendo uma pessoa do sexo masculino, ao acaso, a probabilidade de que ela possa dirigir o veículo é de:

(A) 1/5
(B) 2/7
(C) 7/17
(D) 17/35
(E) 2/3

3- No diagrama abaixo, representa-se uma pista de atletismo sobre um referencial cartesiano, cuja unidade de medida de comprimento é o metro.

A pista é composta por dois trechos retos paralelos e duas semi-circunferências de mesmo tamanho. A equação cartesiana da circunferência de abcissa positiva é:

(A) x² + y² + 30y + 125 = 0

(B) x² + y² - 30y + 125 = 0

(C) x² - y² + 30x + 125 = 0

(D) x² + y² + 30x + 125 = 0

(E) x² + y² - 30x + 125 = 0

4- No final do ano de 2005, o número de motocicletas licenciadas em certa cidade era de 450 e, no final de 2008, esse número passou para 690 . Admitindo-se que o gráfico do número de motocicletas em função do tempo seja formado por pontos situados sobre uma mesma reta, pode-se estimar que, no final de 2012, o número de motocicletas nessa cidade será igual a:
a) 850
b) 930
c) 1010
d) 1090

5- No retângulo ABCD da figura abaixo, M é ponto médio de AD e os segmentos AC e BM se cortam em P . Além disso, sabe-se que a área desse retângulo mede 180 unidades. Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida da área do triângulo APM, em unidades de área, é:

a) 10
b) 12
c) 15
d) 18

 

6- Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo
moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a probabilidade de ser aceso: Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a

Correção Questões Objetivas - PROFMAT - GRUPO PET

 O Grupo PET-Matemática da Universidade Federal de Campina Grande disponibilizou a correção da prova para o Mestrado profissional em Matemática-PROFMAT 2011.

Quem tiver interesse pode fazer o download do arquivo pelo link abaixo, direto do site da UFCG:


http://www.dme.ufcg.edu.br/pet/arquivos/Resolucao_do_PROFMAT_Pet_Matematica_UFCG.pdf

Download CADERNO DE QUESTÕES - Prova PROFMAT 2011

Faça o download do Caderno de questões da  Prova para Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT, realizada no dia 19/02/2011.

Download da prova aqui

Quem quizer pode compartilhar as suas resoluções para discutirmos onde erramos ou acertamos!!

RESOLUÇÃO LISTA EXERCÍCIOS PROFMAT-1,2,3

QUESTÃO 1

Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em:
A) 25%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 80%

Solução:

Meta: 420 kcal em 30’

Gastou: 240kcal em 20’: 240/20= 12kcal/min

Ele deve gastar mais 180 kcal em 10’: 18kcal/min

Fazendo 18kcal-12kcal=6kcal

Usamos uma regra de três simples:

12kcal----100%

6kcal-----x

X=50%

Resp.: C

QUESTÃO 2

Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
A) 12
B) 24
C) 30
D) 60
E) 72

Solução:

Essa solução eu fiz usando a figura:

Considerando as condições estabelecidas, temos:

4 possibilidades para V₁

3 possibilidades para V_{2  ,}

2 possibilidades para V₃

V₄, V₅, V₆ tem a mesma cor de V₂, V₁ e V₃, respectivamente, restando para eles apenas uma possibilidade.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4x3x2x1=24 modos distintos

Resp: B

QUESTÃO 3

Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6
ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme
ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então:
A) 16π
B) 20π
C) 24π
D) 28π
E) 32π

Solução:

Vamos analisar a figura:

Usaremos a relação de semelhança entre as medidas:

Sabendo que:

obtemos:

Usando o volume do cilindro, encontramos:

Resposta: E

Cont. RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS-PROFMAT

Solução:

Devemos substituir os valores de (x₁,y₁)=(3,1) e (x₂,y₂)=(4,3) em (y₁-ax₁)²+(y₂-ax₂)²

Fica assim:

(1-a.3)²+(3-a.4)²=1-6a+9a²+9-24a+16a²=25a²-30a+10 = 5a²-6a+2

Que resultou numa função quadrática com gráfico cuja concavidade é voltada para cima. Portanto, devemos encontrar o valor mínimo de x que será encontrado usando X_v=-b/2a

Temos:

Letra A

5ª QUESTÃO

A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
A) 100%
B) 90%
C) 80%
D) 72%
E) 64%

  Solução:

Total de abordagens: X

Meta de Sucesso: 60% de X = 0,6X

Quando realizou 75% das abordagens, ou seja 0,75X, teve sucesso de 56%. Portanto, devemos fazer:

56% de 0,75X = 0,42X

Faltam, então 0,6X – 0,42X = 0,18X, ou seja, 18% do total de abordagens.

Sabendo que restam apenas 25%=0,25 de abordagens para serem realizadas, usamos uma regra de três simples:

0,25--------100%

0,18---------y

Resultando em y = 18/0,25=72%

Resposta: D

RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS PROFMAT- MESTRADO

Resolverei as questões da lista de exercícios disponibilizada no site http://www.profmat-sbm.org.br/docs/Lista_Problemas.pdf como estudo para a prova do Mestrado em Matemática.

Questão 08

Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é:
A) 50m2
B) 80m2
C) 110m2
D) 160m2
E) 310m2

Solução: 

Calculamos inicialmente ÁREA DO CÍRCULO(Ac) -ÁREA DO HEXÁGONO(Ah):

Sabendo que l=r=10m e considerando π=3,14 e raiz quadrada de 2 igual a 1,73, temos:

Multiplicando por 2 encontramos a área da rosácea:

Área Rosácea = 54,5x2=109m²

Portanto, o valor mais próximo está na letra C.